【KS5U解析】吉林省遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)友好學(xué)校第六十八屆2020屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、友好學(xué)校第六十八屆期末聯(lián)考高三數(shù)學(xué)（理科）說(shuō)明：本試卷分為第卷選擇題和第卷非選擇題兩部分，共4頁(yè).考試時(shí)間120分鐘，分值150分.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生必須將自己的姓名，考號(hào)填寫清楚，并將條形碼粘貼到指定區(qū)域.2.選擇題必須用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清晰.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在草紙，試題卷上答案無(wú)效.4.保持卡面清吉，不要折疊，不要弄破，弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液，修正帶，刮紙刀.第卷一、單項(xiàng)選擇（每題5分，共計(jì)60分）1.已知集合且，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（ ）a. 1b. 2c. 3d.

2、4【答案】d【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)與整除的方法枚舉即可.【詳解】因?yàn)?故,即共四種情況.故集合中元素個(gè)數(shù)為4.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用整除求解集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題.屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)l,m,n均為直線，其中m,n在平面內(nèi)，“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】設(shè)l,m,n均為直線，其中m,n在平面內(nèi)，“l(fā)”，則“l(fā)m且ln”，反之若“l(fā)m且ln”，當(dāng)m/n時(shí)，推不出“l(fā)”， “l(fā)”是“l(fā)m且ln”的充分不必要條件，選a3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ）a. 18b. 36c. 48d.

3、 72【答案】c【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為,故.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的等和性與求和公式,屬于基礎(chǔ)題.4.下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是a. b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：焦點(diǎn)在軸上的是c和d，漸近線方程為，故選c考點(diǎn)：1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)5.若平面向量與向量平行，且，則（ ）a. b. c. 或d. 【答案】c【解析】【分析】求得后根據(jù)平行向量滿足求解即可.【詳解】由題.又且平面向量與向量平行.故,即或.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行向量的運(yùn)用以及向量模長(zhǎng)的運(yùn)用,屬

4、于基礎(chǔ)題.6.設(shè)，其中滿足，若的最小值是，則的最大值為（ ）a. b. 12c. d. 9【答案】b【解析】【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，可求得的值，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，即可求出答案.【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)可行域，如下圖陰影部分，目標(biāo)函數(shù)可化為，聯(lián)立，可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，則，解得，聯(lián)立，可得，即，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，利用數(shù)形結(jié)合方法是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.從1，2，3，4，5中任取5個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則組成的五位數(shù)是偶數(shù)的概率是（ ）a. b.

5、 c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求出基本事件總數(shù)n，再求出這個(gè)五位數(shù)是偶數(shù)包含的基本事件數(shù)m，利用古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中任取5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，基本事件總數(shù)n120，這個(gè)五位數(shù)是偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m48，這個(gè)五位數(shù)是偶數(shù)的概率p故選d【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，是基礎(chǔ)題.8.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【詳解】將函數(shù)y=sin(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變

6、）得到y(tǒng)=sin(x)，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為y=sin(（x+）)= y=sin(x)，故選c9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）a. 2b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由三視圖確定該幾何體的直觀圖，利用三角形面積公式、正方形面積公式得出該幾何體表面積【詳解】由題意該幾何體的直觀圖是一個(gè)四棱錐構(gòu)成，如下圖所示，則該幾何體的表面積為、正方形的面積之和，即該幾何體表面積為故選c.【點(diǎn)睛】三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問(wèn)題相結(jié)合，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖.10.四

7、棱錐的底面為正方形，底面，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則的長(zhǎng)為（ ）a. 3b. 2c. 1d. 【答案】c【解析】【分析】連接ac、bd交于點(diǎn)e，取pc的中點(diǎn)o，連接oe,可得o為球心，由該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，可得pa的值.【詳解】解：連接ac、bd交于點(diǎn)e，取pc的中點(diǎn)o，連接oe，可得oepa,oe底面abcd，可得o到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即o為球心，設(shè)球半徑為r，可得，可得，解得pa=1,故選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體外接球的相關(guān)知識(shí)及球的體積公式，得出球心的位置是解題的關(guān)鍵.11.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，則雙

8、曲線的兩條漸近線的夾角為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式求得,再根據(jù)求得,進(jìn)而求得漸近線的斜率與夾角即可.【詳解】由雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式有得故.故漸近線的斜率.故雙曲線的兩條漸近線傾斜角分別為與.故雙曲線的兩條漸近線的夾角為.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式與漸近線的傾斜角與斜率的關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題.12.定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立.則有（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】：先構(gòu)造的原函數(shù)，由此題意，得出原函數(shù)單增函數(shù)，由此判斷函數(shù)值的大小【詳解】：先構(gòu)造的原函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，那么

9、在不等式的兩邊同時(shí)乘以不等號(hào)不變，所以原函數(shù)單增函數(shù)，由此，所以，所以a錯(cuò)，所以b錯(cuò) ，所以c錯(cuò)故選d【點(diǎn)睛】：已知抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式的基本解法有兩種：（1）構(gòu)造滿足題目條件的特殊函數(shù)，（2）還原抽象函數(shù)，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求解第卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_(kāi).【答案】.【解析】分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)的圖像，可以求得的值，利用周期公式求出，利用當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值1，求出，得到函數(shù)的解析式，即可得結(jié)果.詳解：由題意可知，所以，當(dāng)時(shí)取得最大值1，所以，結(jié)合，解得，所以函數(shù)的解析式是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用圖像

10、求函數(shù)解析式的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確解析式中的參數(shù)由最值和周期所決定，由特殊點(diǎn)所確定，最后求得結(jié)果.14.設(shè)sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若,則_.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，表示，可得值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則,又，所以,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前和公式，注意在運(yùn)用公式時(shí)應(yīng)用整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.15.拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，據(jù)此確定m縱坐標(biāo)，最后由兩點(diǎn)之間距離公式求解點(diǎn)m到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即可.【

11、詳解】由題意知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，得，則，可得，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線定義的應(yīng)用，是中檔題16.已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時(shí)，f(x)6x，則f(919)_.【答案】6【解析】【分析】先求函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及偶函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，再代入求值.【詳解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函數(shù),且,所以 .【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期及其應(yīng)用，考查基本求解能力.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求；（2）若，求的面積

12、【答案】（1）；（2）2【解析】分析：(1)在中，由正弦定理的推論可把 邊化成角得，用誘導(dǎo)公式變形為，再用兩角和的正弦公式變形化簡(jiǎn)可得，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求得（2）由(1)的結(jié)論和條件，要求三角形的面積，應(yīng)先求一條邊所以應(yīng)由正弦定理求一條邊先由， ，求得 再由和兩角和的正弦公式求得再由正弦定理可得進(jìn)而用三角形的面積公式可得詳解：(1)在中，因?yàn)?，所以所以 ，化簡(jiǎn)可得 因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以（2）因?yàn)椋?，所以 因?yàn)樗?在中，由正弦定理可得 所以 的面積為2.點(diǎn)睛：（1）有關(guān)求三角形面積或其最值的問(wèn)題，應(yīng)由三角形的面積公式求得面積； （2）知邊和角，求其它的邊和角，注意正弦定理、余弦定理的運(yùn)用

13、，知對(duì)角對(duì)邊，可用余弦定理；若知邊的平方關(guān)系，應(yīng)想到余弦定理；18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（其中），且是和的等比中項(xiàng).（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出關(guān)于的遞推公式,再根據(jù)是和的等比中項(xiàng)利用基本量法求解首項(xiàng)即可.(2)根據(jù)(1)中可得,再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】（1）由得,所以,又所以,故.故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且是和的等比中項(xiàng),即,得,解得,所以.（2）由題得,【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系證明等差數(shù)列的方法,同時(shí)也考查了等比中項(xiàng)的運(yùn)用與裂項(xiàng)相消的求和

14、方法.屬于中檔題.19.在四棱錐中，底面為正方形，.（1）證明：面面；（2）若與底面所成的角為， ，求二面角的余弦值【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）要證面面垂直，一般先證線面垂直，設(shè)ac與bd交點(diǎn)為o，則pobd，而正方形中acbd，于是可證得結(jié)論（2）由線面角的定義可得，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出面bpc和面dpc的法向量，再由法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦【詳解】（1）證明：連接ac,bd交點(diǎn)為o，四邊形abcd為正方形，,又, 又,.（2），過(guò)點(diǎn)p做,垂足為epa與底面abcd所成的角為，,又，設(shè),則 如圖所示，以a

15、為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x,y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)面法向量為，,，同理法向量，求二面角的余弦值【點(diǎn)睛】在立體幾何中求角問(wèn)題的常用方法是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角來(lái)求得空間角（如線面角、二面角）解題關(guān)鍵是圖中相互垂直的直線（最好是過(guò)同一點(diǎn)有三條相互垂直的直線）20.某少兒游泳隊(duì)需對(duì)隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的仰臥起坐達(dá)標(biāo)測(cè)試.已知隊(duì)員的測(cè)試分?jǐn)?shù)與仰臥起坐個(gè)數(shù)之間的關(guān)系如下：；測(cè)試規(guī)則：每位隊(duì)員最多進(jìn)行三組測(cè)試，每組限時(shí)1分鐘，當(dāng)一組測(cè)完，測(cè)試成績(jī)達(dá)到60分或以上時(shí)，就以此組測(cè)試成績(jī)作為該隊(duì)員的成績(jī)，無(wú)需再進(jìn)行后續(xù)的測(cè)試，最多進(jìn)行三組；根據(jù)以往的訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)，隊(duì)員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時(shí)測(cè)試的頻率分布直方圖如下

16、：（1）計(jì)算值；（2）以此樣本的頻率作為概率，求在本次達(dá)標(biāo)測(cè)試中，“喵兒”得分等于的概率；“喵兒”在本次達(dá)標(biāo)測(cè)試中可能得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）頻率分布直方圖中所有頻率之和為1，由此可求得；（2）由頻率分布直方圖可得一次測(cè)試得分的分布列，三組測(cè)試中，“喵兒”得80分為事件a，則“喵兒”可能第一組得80分，或者第二組得80分，或者第三組得80分，由于三組相互獨(dú)立，從而可計(jì)算概率，仿照可計(jì)算出三組測(cè)試其得分的概率，得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望【詳解】（1） （2）由直方圖可知，“喵兒”的得分情況如下：060801000.10.50.1在本次的三組

17、測(cè)試中，“喵兒”得80分為事件a，則“喵兒”可能第一組得80分，或者第二組得80分，或者第三組得80分，則（6分），分布列如下：060801000.0010.555數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，考查相互獨(dú)立事件的概率，考查隨機(jī)變量的分布列和期望解題時(shí)依據(jù)概率公式計(jì)算出概率是解題關(guān)鍵.21.已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的頂點(diǎn)公式求解即可.(2) 設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達(dá)定理,并根據(jù)直線與圓相切得出的關(guān)系式,代入證明即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),所以,所以.所以橢