多元線性相關(guān)與回歸分析

1、第三節(jié)多元線性相關(guān)與回歸分析一、標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型上一節(jié)介紹的一元線性回歸分析所反映的是1個(gè)因變量與1個(gè)自變量之間的關(guān)系。但是，在現(xiàn)實(shí)中，某一現(xiàn)象 的變動(dòng)常受多種現(xiàn)象變動(dòng)的影響。例如，消費(fèi)除了受本期收入水平的影響外，還會(huì)受以往消費(fèi)和收入水平的影 響；一個(gè)工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)額的大小除了與總產(chǎn)值多少有關(guān)外，還與成本、價(jià)格等有關(guān)。這就是說(shuō)，影響因變量的 自變量通常不是一個(gè)，而是多個(gè)。在許多場(chǎng)合，僅僅考慮單個(gè)變量是不夠的，還需要就一個(gè)因變量與多個(gè)自變 量的聯(lián)系來(lái)進(jìn)行考察，才能獲得比較滿意的結(jié)果。這就產(chǎn)生了測(cè)定與分析多因素之間相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題。研究在線性相關(guān)條件下，兩個(gè)和兩個(gè)以上自變量對(duì)一個(gè)因變量的數(shù)量變化

2、關(guān)系，稱(chēng)為多元線性回歸分析， 表現(xiàn)這一數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，稱(chēng)為多元線性回歸模型。多元線性回歸模型是一元線性回歸模型的擴(kuò)展，其基 本原理與一元線性回歸模型相類(lèi)似，只是在計(jì)算上比較麻煩一些而已。限于本書(shū)的篇幅和程度，本節(jié)對(duì)于多元 回歸分析中與一元回歸分析相類(lèi)似的內(nèi)容，僅給岀必要的結(jié)論，不作進(jìn)一步的論證。只對(duì)某些多元回歸分析所 特有的問(wèn)題作比較詳細(xì)的說(shuō)明。多元線性回歸模型總體回歸函數(shù)的一般形式如下：Yt =p1 + p2X2t 中+PkXkt +Ut(7.51)上式假定因變量 丫與(k-1)個(gè)自變量之間的回歸關(guān)系可以用線性函數(shù)來(lái)近似反映.式中，Yt是變量丫的第t個(gè)觀測(cè)值；Xt是第j個(gè)自變量X的第t個(gè)

3、觀測(cè)值(j=1,2,，k) ； ut是隨機(jī)誤差項(xiàng)；3 1，3 2，3 k是總 體回歸系數(shù)。3j表示在其他自變量保持不變的情況下，自變量 X變動(dòng)一個(gè)單位所引起的因變量 Y平均變動(dòng)的數(shù) 額，因而又叫做偏回歸系數(shù)。該式中，總體回歸系數(shù)是未知的，必須利用有關(guān)的樣本觀測(cè)值來(lái)進(jìn)行估計(jì)。假設(shè)已給岀了 n個(gè)觀測(cè)值，同時(shí)f?，?2，K為總體回歸系數(shù)的估計(jì)，則多元線性回歸模型的樣本回歸函數(shù)如下：Yt =(?1 +(?2X2t + f?kXkt +et(7.52)(t = 1,2,n)式中，et是Yt與其估計(jì)旳之間的離差，即殘差。與一元線性回歸分析相類(lèi)似，為了進(jìn)行多元線性回歸分析也需 要提岀一些必要的假定。多元線性

4、回歸分析的標(biāo)準(zhǔn)假定除了包括上一節(jié)中已經(jīng)提岀的關(guān)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的假定 外，還要追加一條假定。這就是回歸模型所包含的自變量之間不能具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，同時(shí)樣本容量必須大 于所要估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)即n > k。我們稱(chēng)這條假定為標(biāo)準(zhǔn)假定6。二、多元線性回歸模型的估計(jì)(一) 回歸系數(shù)的估計(jì)多元線性回歸模型中回歸系數(shù)的估計(jì)同樣采用最小二乘法。設(shè)=S(Yt ? ?2X 2t一氏 X kt) (7 53)根據(jù)微積分中求極小值的原理，可知?dú)埐钇椒胶蚎存在極小值，欲使Q達(dá)到最小，偏導(dǎo)數(shù)必須等于零。將Q對(duì)?1、?，?k求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，加以整理后可得到以下k個(gè)方程式：(?1、(?2 f?k(?ZX2t

5、+(?2Sx2t+f?k2 X2t Xkt =無(wú) X2tYt (7 54)以上k元一次方程組稱(chēng)為正規(guī)方程組或標(biāo)準(zhǔn)方程組，通過(guò)求解這一方程組便可以得到 求解多元回歸方程，用矩陣形式來(lái)表達(dá)較為簡(jiǎn)便11。記則總體回歸函數(shù)(7.51)式可以寫(xiě)為：Y = XB + U(7.55)樣本回歸函數(shù)(7.52)式可以寫(xiě)為:11這里給出的矩陣形式具有一般性，對(duì)于一元線性回歸模型也同樣適用。對(duì)于尚未學(xué)過(guò)矩陣代數(shù)的讀者，可以不必掌握這一部分內(nèi)容。Y= X B + e(7.56)標(biāo)準(zhǔn)方程組(7.54)式可以寫(xiě)為:g = X'Y (7.57)式中X'表示X的轉(zhuǎn)置矩陣。(X'X)是一個(gè)kXk的對(duì)稱(chēng)矩

6、陣，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)假定6,k個(gè)自變量之間不存在高度的線 性相關(guān)，因此其逆矩陣存在。在(7.57)式的兩邊同時(shí)左乘(X'X)可以得到：(X'X)? = (X'X廠1X'Y (7.58)上式是回歸系數(shù)最小二乘估計(jì)的一般形式。實(shí)際求解多元回歸方程中的回歸系數(shù)的估計(jì)值，通常需要依靠電子計(jì)算機(jī)。在電子計(jì)算機(jī)技術(shù)十分發(fā)達(dá)的今天，多元回歸分析的計(jì)算已經(jīng)變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。利用現(xiàn)成的軟件包如EXCEL等，只要將有關(guān)數(shù)據(jù)輸入電子計(jì)算機(jī)，并指定因變量和相應(yīng)的自變量，立刻就能得到計(jì)算結(jié)果。因此，對(duì)于從事應(yīng)用研究的人們來(lái)說(shuō)，更為重要 的是要能夠理解輸入和輸岀之間相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以及對(duì)電子計(jì)算機(jī)輸岀

7、的結(jié)果做岀正確的解釋。限于篇幅，這里不給岀具體的數(shù)值計(jì)算實(shí)例。而在下一節(jié)中，我們將結(jié)合實(shí)際的例子，講解如何利用EXCEL進(jìn)行多元線性回歸分析。(二)總體方差的估計(jì)除了回歸系數(shù)以外，多元線性回歸模型中還包含了另一個(gè)未知參數(shù)，那就是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差回歸分析相類(lèi)似，多元線性回歸模型中的b 2也是利用殘差平方和除以其自由度來(lái)估計(jì)的。即有：b 2。與一元Set2nk (7.59)上式中，n是樣本觀測(cè)值的個(gè)數(shù)；k是方程中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)；在(k -1)元回歸模型中，標(biāo)準(zhǔn)方程組有k個(gè)方程式，殘差必須滿足k個(gè)約束條件，因此其自由度為(n k)。數(shù)學(xué)上可以證明，的正平方根S又叫做回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。S越小表明樣本

8、回歸方程的代表性越強(qiáng)。在編制計(jì)算機(jī)程序時(shí)，殘差平方和一般不是按照其定義式計(jì)算，而是利用以下公式計(jì)算：S 2是/的無(wú)偏估計(jì)。S2ete'e= Y'Y- ?X'Y (7.60)Y是因變量樣本觀測(cè)值向量；X是自變量樣本上式是殘差平方和的矩陣形式。式中的“”表示求轉(zhuǎn)置； 觀測(cè)值矩陣；§ '是回歸系數(shù)估計(jì)值向量的轉(zhuǎn)置向量。(三)最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)與一元線性回歸模型類(lèi)似，多元線性回歸模型中回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量也是隨機(jī)變量。數(shù)學(xué)上可以證 明，在標(biāo)準(zhǔn)假定條件可以得到滿足的情況下，多元回歸模型中回歸系數(shù)最小二乘估計(jì)量的期望值同樣等于總體 回歸系數(shù)的真值，即有：E(

9、 E? )= B(7.61)回歸系數(shù)最小二乘估計(jì)量的方差、協(xié)方差矩陣為: Var( R)=E( S B)( W B)'2 -1b (X'X )(7.62)( j 3 j)2，其他元素是各回歸系數(shù)估計(jì)量之間的協(xié)方差E該矩陣主對(duì)角元素是各回歸系數(shù)估計(jì)量的方差E(j- 3 j)( H- 3 i) (i工j )。在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步證明回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì) 量和一致估計(jì)量。也就是說(shuō)，在標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型中，高斯.馬爾可夫定理同樣成立。三、多元線性回歸模型的檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)(一)擬合程度的評(píng)價(jià)在多元線性回歸分析中，總離差平方和的分解公式依然成立。因此也可以用上一節(jié)

10、所定義的決定系數(shù)作為評(píng)價(jià) 模型擬合程度的一項(xiàng)指標(biāo)。不過(guò)，為了避免混淆，多元回歸的決定系數(shù)用利用R2來(lái)評(píng)價(jià)多元線性回歸方程的擬合程度，必須注意以下問(wèn)題。由決定系數(shù)的定義可知，R2的大小取決于殘差平方和在總離差平方和R 2=1 Z( YtZ2(Yt -Y )(7.63)_ 2一丫)中所占的比重。在樣本容量一定的條件下，總離差平方和與自變量的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，而殘差平方和則會(huì)隨著模型中自變量個(gè)數(shù)的增加不斷 減少，至少不會(huì)增加。因此，R2是自變量個(gè)數(shù)的非遞減函數(shù)。在一元線性回歸模型中，所有模型包含的變量數(shù)目都相同，如果所使用的樣本容量也一樣，決定系數(shù)便可以直接作為評(píng)價(jià)擬合程度的尺度。然而在多元線性回 歸模型中

11、，各回歸模型所含的變量的數(shù)目未必相同，以R2的大小作為衡量擬合優(yōu)劣的尺度是不合適的。因此,在多元回歸分析中，人們更常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)是所謂的修正自由度的決定系數(shù)R。該指標(biāo)的定義如下：2Zet /(n-k)(7.64)R2 =1-2 (YtY)2/( n1)(n1)=1- (n-k)(1- R2)22(7.65) 式中，n是樣本容量；k是模型中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。(n 1)和(n-k )實(shí)際上分別是總離差平方和與殘差平方和的自由度。2修正自由度的決定系數(shù)R具有以下特點(diǎn)：2值和n值，R21. R2 <R 2。因?yàn)閗>l，所以根據(jù) R2和R 2各自的定義式可以得岀這一結(jié)論。對(duì)于給定的R k值越大

12、R2越小。在進(jìn)行回歸分析時(shí)，一般總是希望以盡可能少的自變量去達(dá)到盡可能高的擬合程度。 作為綜合評(píng)價(jià)這兩方面情況的一項(xiàng)指標(biāo)顯然比R2更為合適。2 22. R小于1，但未必都大于0。在擬合極差的場(chǎng)合，R有可能取負(fù)值。6,【例7-9】假設(shè)有7年的年度統(tǒng)計(jì)資料，現(xiàn)利用其對(duì)同一因變量擬合了兩個(gè)樣本回歸方程。方程一中：k = R 2=0.82 ;方程二中：k=2，R 2= 0.80。試對(duì)這兩個(gè)回歸方程的擬合程度做岀評(píng)價(jià)。解：如果僅從R 2考察，似乎方程一的擬合程度更佳。但是，由于兩個(gè)方程選用的自變量個(gè)數(shù)不同，這一結(jié)論是不正確的。將上列數(shù)據(jù)代入(7.65)式，可得：2方程一的 R = 1-(7-1)/(7-

13、6)(1-0.82)=-0.082方程二的 R = 1-(7-1)/(7-2)(1-0.80)=0.76 由此可見(jiàn)，方程二的實(shí)際擬合程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于方程一。(二) 顯著性檢驗(yàn)多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)同樣包括兩方面的內(nèi)容，即回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)與回歸方程的顯著性檢 驗(yàn)?，F(xiàn)分述如下：1.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)多元回歸中進(jìn)行這一檢驗(yàn)的目的主要是為了檢驗(yàn)與各回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是否顯著，以 便對(duì)自變量的取舍做岀正確的判斷。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)自變量的影響不顯著時(shí)，應(yīng)將其從模型中刪除。這 樣才能夠做到以盡可能少的自變量去達(dá)到盡可能高的擬合優(yōu)度。多元模型中回歸系數(shù)的檢驗(yàn)同樣采用t檢驗(yàn)，其原理和

14、基本步驟與一元回歸模型中的t檢驗(yàn)基本相同，這 里不再贅述。下面僅給岀回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)量的一般計(jì)算公式。t ? = S? j=1,2,k(7.66)式中，？是回歸系數(shù)的估計(jì)值，S B是？j的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。S B按下式計(jì)算:式中，是H 0：的。2.Vjj是(X'X) -1的第j個(gè)對(duì)角線元素,3 j = 0,因此t的絕對(duì)值越大表明2是隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)值。(7.66)式的t統(tǒng)計(jì)量背后的原假設(shè)3 j為0的可能性越小，即表明相應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是顯著回歸方程的顯著性檢驗(yàn),因此對(duì)于多元回歸模型，除了要對(duì)單個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)外,多元線性回歸模型包含了多個(gè)回歸系數(shù)還要對(duì)整個(gè)回歸

15、模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。由離差平方和的分解公式可知，回歸模型的總離差平方和等于回歸平方22對(duì)于不包含常數(shù)項(xiàng)的回歸方程，該公式不適用。和與殘差平方和的和?；貧w模型總體函數(shù)的線性關(guān)系是否顯著，其實(shí)質(zhì)就是判斷回歸平方和與殘差平方和之比 值的大小問(wèn)題。由于回歸平方和與殘差平方和的數(shù)值會(huì)隨觀測(cè)值的樣本容量和自變量個(gè)數(shù)的不同而變化，因此 不宜直接比較，而必須在方差分析的基礎(chǔ)上利用F檢驗(yàn)進(jìn)行。其具體的方法步驟可歸納如下：(1)假設(shè)總體回歸方程不顯著，即有H 0： 3 2= 3 3= 3 k=o離差名稱(chēng)平方和自由度方差回歸平方和ssQ (丫？-丫)2k-1SSR(k-1)殘差平方和n-kSSE( n-k)總離差平

16、方和SS活(Yt -丫)27-3 )(2)進(jìn)行方差分析，列岀回歸方差分析表(見(jiàn)表表7-3回歸模型方差分析表表中，回歸平方和的取值受k個(gè)回歸系數(shù)估計(jì)值的影響，同時(shí)又要服從藝Yi/n二丫的約束條件，因此其自由度是k-1。殘差平方和取決于n個(gè)因變量的觀測(cè)值，同時(shí)又要服從k個(gè)正規(guī)方程式的約束，因此其自由度 是n-k。回歸平方和與殘差平方和各除以自身的自由度得到的是樣本方差。(3)根據(jù)方差分析的結(jié)果求F統(tǒng)計(jì)量，即SSR/(k-1)F= SSE/(n-k)(7.68)數(shù)學(xué)上可以證明，在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布同時(shí)原假設(shè)成立的條件下，F(xiàn)服從于自由度為(k-1)和(n-k)的Fa。當(dāng)F>F a時(shí)，拒絕原假

17、設(shè)，即認(rèn) a時(shí)，接受原假設(shè)，即認(rèn)為總體回歸函數(shù)分布。(4)根據(jù)自由度和給定的顯著性水平a，查F分布表中的理論臨界值F為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線性回歸關(guān)系顯著。當(dāng)FVF 中，自變量與因變量的線性關(guān)系不顯著，因而所建立的回歸模型沒(méi)有意義。(三) 多元線性回歸預(yù)測(cè) 在通過(guò)各種檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，多元線性回歸模型可以用于預(yù)測(cè)。多元線性回歸預(yù)測(cè)與一元線性回歸預(yù)測(cè)的原 理是一致的，其基本公式如下：Yf月X2f+歐Xkf (7.69)式中，Xif(j=2,3,時(shí)Y的預(yù)測(cè)值。k)是給定的X在預(yù)測(cè)期的具體數(shù)值；岡是已估計(jì)岀的樣本回歸系數(shù)；丫?是Xj給定該方程的矩陣形式為：丫f二X f ? ( 7.70 )式

18、中，多元線性回歸預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式如下：Sef = sj1+ X 'f(X X 廠X f (7.71)式中，S是回歸方程估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。多元線性回歸預(yù)測(cè) Y f的(1 a )的置信區(qū)間可由下式給岀:Y f 士 ta/ 2X Sef( 7.72 )式中，t a/2是顯著水平為a的t分布雙側(cè)臨界值。四、復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)在多變量的情況下，變量之間的相關(guān)關(guān)系是很復(fù)雜的，需要計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)與偏相關(guān)系數(shù)。(一)復(fù)相關(guān)系數(shù)樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)相關(guān)系數(shù))的定義式如下：送（YtY）（Y?Y）R_& "t-n2!： M-Y）2（7.73）上式與單相關(guān)系數(shù)的定義式十分類(lèi)似，

19、不同之處僅在于用根據(jù)X2,X3,Xk等計(jì)算的回歸估計(jì)值代替了單相關(guān)系數(shù)定義式中的 X o在所涉及的變量只有兩個(gè)時(shí)，因?yàn)?Y?是 Xt的嚴(yán)密函數(shù)，所以（7.73）式完全等價(jià)于單相關(guān) 系數(shù)的定義式。而在多元分析的場(chǎng)合，以上定義的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方實(shí)際上就是多元線性回歸方程的決定系 數(shù)。實(shí)際計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)時(shí)，一般不直接根據(jù)其定義式，而是先計(jì)算岀決定系數(shù)，然后再求決定系數(shù)的平方根。 應(yīng)當(dāng)指岀：在多個(gè)變量的情況下，丫與其他多個(gè)變量之間既可能有正相關(guān)又可能有負(fù)相關(guān)，所以復(fù)相關(guān)系數(shù)也就只取正值。因此，復(fù)相關(guān)系數(shù)只是反映一個(gè)變量丫與其他多個(gè)變量 X>,X3,Xk之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)，而不能反映其相互之間

20、線性相關(guān)的方向。復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為：0WRW1 o復(fù)相關(guān)系數(shù)為1表明Y與X2,X3,Xk之間存在嚴(yán)密的線性關(guān)系，復(fù)相關(guān)系數(shù)為0則表明丫與X2,X3,Xk之間不存在任何線性相關(guān)關(guān)系。一般情況下，復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值在0和1之間，表明變量之間存在一定程度的線性相關(guān)關(guān)系。（二）偏相關(guān)系數(shù)在對(duì)其他變量的影響進(jìn)行控制的條件下，衡量多個(gè)變量中某兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度和相關(guān)方向的指標(biāo)稱(chēng) 為偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)不同于上一節(jié)中所介紹的單相關(guān)系數(shù)。在計(jì)算單相關(guān)系數(shù)時(shí)，只需要掌握兩個(gè)變量 的觀測(cè)數(shù)據(jù)，并不考慮其他變量對(duì)這兩個(gè)變量可能產(chǎn)生的影響。而在計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)時(shí)，需要掌握多個(gè)變量的 數(shù)據(jù)，一方面考慮多個(gè)變量

21、相互之間可能產(chǎn)生的影響，一方面又采用一定的方法控制其他變量，專(zhuān)門(mén)考察兩個(gè) 特定變量的凈相關(guān)關(guān)系。在多變量相關(guān)的場(chǎng)合，由于變量之間存在錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，因此偏相關(guān)系數(shù)與單相關(guān) 系數(shù)在數(shù)值上可能相差很大，有時(shí)甚至符號(hào)都可能相反。單相關(guān)系數(shù)受其他因素的影響，反映的往往是表面的 非本質(zhì)的聯(lián)系，而偏相關(guān)系數(shù)則較能說(shuō)明現(xiàn)象之間真實(shí)的聯(lián)系。例如，一種商品的需求既受收入水平的影響又 受其價(jià)格的影響。按照經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，在一定的收入水平下，該商品的價(jià)格越高，商品的需求量就越小。也就是 說(shuō)，需求與價(jià)格之間應(yīng)當(dāng)是負(fù)相關(guān)?？墒牵诂F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，由于收入和價(jià)格常常都有不斷提高的趨勢(shì)，如 果不考慮收入對(duì)需求的影響，僅僅利用需

22、求和價(jià)格的時(shí)間序列數(shù)據(jù)去計(jì)算單相關(guān)系數(shù)，就有可能得岀價(jià)格越高 需求越大的錯(cuò)誤結(jié)論。在明確偏相關(guān)系數(shù)與單相關(guān)系數(shù)區(qū)別的基礎(chǔ)上，我們?cè)賮?lái)討論偏相關(guān)系數(shù)的定義公式。在上一節(jié)中，我們 已經(jīng)給岀了樣本單相關(guān)系數(shù)的定義公式_ Js (Xt 乂)2送(Yt -Y)2Z (Xt -X)(¥ -Y)（7.74 ）X和Y是同等r樣本相關(guān)系數(shù)的定義還可以從另一個(gè)角度給岀。在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，對(duì)于所涉及的兩個(gè)變量 看待的。若設(shè)(7.75 )(7.76 )(7.77 )r取負(fù)ft =<?1 +<?2Ytr_±r取正值；回歸系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，單相關(guān)系數(shù)可以表現(xiàn)為兩個(gè)回歸系數(shù)的幾何則樣本單相關(guān)系數(shù)

23、也可定義為兩個(gè)樣本回歸系數(shù)的乘積的開(kāi)方，即上式中r的符號(hào)應(yīng)與回歸系數(shù)的符號(hào)一致?；貧w系數(shù)為正數(shù)時(shí)， 值。容易證明（7.74 ）式與（7.77 ）式是完全等價(jià)的。也就是說(shuō)， 平均數(shù)。樣本偏相關(guān)系數(shù)也可以按照類(lèi)似的形式來(lái)定義，即偏相關(guān)系數(shù)等于兩個(gè)相應(yīng)的偏回歸系數(shù)的幾何平均 數(shù)。XI、X和X3o3個(gè)變量各自以另兩個(gè)變量為為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，下面舉3變量的偏相關(guān)分析為例。設(shè)有3個(gè)變量 自變量擬合的樣本回歸方程如下：刃 1t =%23 + f?2.3X2t+f?i3.2X3t(7.78)?2t = f?2.13 + (?21.3X1t + (?23.1X3t (7.79)X?3t = f?3.12 + (?i1.2X1