有限元的發(fā)展現(xiàn)狀與新趨勢

1、精品、有限元法基本思想有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化，用有限個簡單的單元來表示復(fù)雜的對象, 單元之間通過有限個節(jié)點相互連接，然后根據(jù)平衡和變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由 于單元的數(shù)目是有限的，節(jié)點的數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法（FEM ,FiniteEleme nt Method）。有限單元方法是迄今為止最為有效的數(shù)值計算方法之一，它對科學(xué)與工程技術(shù)的 提供巨大支撐。、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展?在17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運(yùn)算具有整體對局部的可加性。?在18世紀(jì)，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。另一位數(shù)學(xué)家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是

2、將偏微分方程改寫為 積分表達(dá)式的另一途經(jīng)。?在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運(yùn)用位移函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)。?1915年，數(shù)學(xué)家伽遼金提出了選擇位移函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法方法被廣泛地用于有限元。?1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用位移函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。?20世紀(jì)50年代，飛機(jī)設(shè)計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機(jī)翼離散 為三角形板塊的集合來進(jìn)行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得成功。（Clough教授參與研究。）? 20世紀(jì)50年代，大型電子計算機(jī)投

3、入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。?I960年，美國加州大學(xué)伯克利分校的R.W.CIough教授在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。值得驕傲的是我國南京大學(xué)馮康教授在此前后獨立地在論文中提出了“有限單元”。三、有限元法計算方法及軟件有限元計算方法作為一種技術(shù)更多的與 FEM軟件的發(fā)展緊密的結(jié)合起來。方法不斷更新，優(yōu)勝劣汰，傳承和發(fā)展。在傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計算方法之中，有 直接計算法（DirectSolver）與迭代法（Iterative 所謂快速解法）兩種。常見的有限元軟件有：美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC、COSMOS、ELAS、MS

4、C 和 STARDYNE，德國的 ASKA、英國的 PAFEC、法國的 SYSTUS等。顯式/隱式有限元法：只需對可以簡化為對角陣的質(zhì)量矩陣求逆，沒有增量步內(nèi) 迭代收斂問題，可以一直計算下去。隱式計算具有時間步長增量較大、 每個荷載 步都能控制收斂，避免誤差累積、存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)模增 大而成超線性增長的特點。相對與隱式顯式計算具有時間步長很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)?；緸榫€性增長的特點。 這種計算 方法的代表軟件有 ABQUS 。離散單元法：離散單元法也被稱為散體單元法，最早是 1971年由Cundall提出的一種不連續(xù)數(shù)值方法模型，這種方法的優(yōu)

5、點是適用于模擬離散顆粒組合體在準(zhǔn)靜態(tài)或動態(tài)條件下的變形過程。離散單元法不是建立在最小勢能變分原理 上，而是建立在最基本 的牛頓第二運(yùn)動定律上。它以每個剛體的運(yùn)動方程為基 礎(chǔ)，建立描述整個破壞過程的顯式方程組后，通過動力松弛迭代求解。剛體彈簧單元法：剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由Kawai于1976年提出，當(dāng)初提出的意圖是以較少的自由度來求解結(jié)構(gòu)問題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系統(tǒng)聯(lián)系起來的剛性元，剛性元本身不發(fā)生彈性變形，因此結(jié)構(gòu)的變形能僅能儲存在接觸面的彈簧系統(tǒng)中。由于剛 體彈簧元單元間 的作用力通過單元界面上彈簧傳遞，可以直接得

6、到界面的作用 力，因此在巖土界面分析等領(lǐng)域也有著較好的應(yīng)用。接觸判斷法：通過單元之間的相互接觸判斷得到相互之間的作用力，進(jìn)而形成運(yùn)動方程。因此，快速而準(zhǔn)確的接觸算法對有限元方法非常重要。由于由于計算過 程中單元往往會發(fā)生較大位移，使得原有的塊體間的空間拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化， 使 接觸判斷變得更加復(fù)雜。無網(wǎng)格法：傳統(tǒng)有限元需要構(gòu)造特定的單元網(wǎng)格來形成位置插值函數(shù)，是否可以 讓計算機(jī)根據(jù)節(jié)點信息來“自動”形成位移插值函數(shù)？無網(wǎng)格法可以實現(xiàn)。 無網(wǎng) 格法對函數(shù)的要求有:?光滑連續(xù)?影響的節(jié)點有限無網(wǎng)格法常用插值方法有：移動最小二乘、核函數(shù)與徑向基函數(shù)。整體方程有配 點法、最小二乘法、伽遼金法。伽遼金法是

7、應(yīng)用最廣、最穩(wěn)定的無網(wǎng) 格法之一。XFEM : 1999年提出，擴(kuò)展有限元法（XFEM），在Belytschko 等學(xué)者努力下XFEM得到長足發(fā)展，在ABAQUS的6.10版本軟件中得以實現(xiàn)。四、結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域有限元法的發(fā)展趨勢1. 多物理場耦合問題磁場、滲流和聲場等近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場、電傳導(dǎo)、問題的求解計算，最近又發(fā)展到求解幾個交叉學(xué)科的問題。如需要用固體力學(xué) 和流體動力學(xué)的 有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂“流固耦合”的問題。2. 線性工程問題到非線性分析問題線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計的要求。例如土木工程中的高層建筑和大跨度 懸索橋的出現(xiàn)，就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位 移和

8、大應(yīng)變等幾何非線性問題;航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力，也要考慮材料的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn)，僅靠線性計算理論就不足以解 決遇到的問題，只有 采用非線性有限元算法才能解決。3. 時變結(jié)構(gòu)及連續(xù)倒塌問題結(jié)構(gòu)不可能天生就存在那里，也不可能憑空消失，所以結(jié)構(gòu)物的建造或則拆除 過程，均為動態(tài)的，在不同階段可能表現(xiàn)出不同力學(xué)性能， 其中存在很多復(fù)雜問 題。有限元對于此類過程分析，往往根據(jù)施工過程，編制時程程序，動態(tài)跟蹤結(jié) 構(gòu)性能變化。4. 優(yōu)化問題:在有限元中有這幾個方面的需求，如邊界形狀優(yōu)化、最小質(zhì)量、等強(qiáng)度、等應(yīng)變、 動力學(xué)參數(shù)優(yōu)化等，優(yōu)化問題的特點是變量多（幾十 /數(shù)百），許多實際的優(yōu)化算法這樣多的變量中穩(wěn)健性還有待提高。5. 湍流問題:目前已經(jīng)有一些較好的方法，如有限體積法等，仍需深入，目前湍流問題實際上 根本不是算法問題，而是介質(zhì)的物理模型問題；人們對湍流的認(rèn)識可能還受到目 前科學(xué)技術(shù)水平的限制。五、結(jié)語有限元法不是萬能的，關(guān)鍵是其思想，它完美地體現(xiàn)了哲學(xué)中局部與整體的關(guān)系,要