5-3-1方向?qū)?shù)與梯度

1、第五章3.1方向?qū)０绝B偏導(dǎo)救引例：設(shè)xoi R /是平面上某一向量,其單位向量記為/ :U（x（J彤用R 是一個(gè)二元函數(shù).現(xiàn)討論于在點(diǎn)觀處沿2方向的變化率.解：過點(diǎn)無。作與2平行的直線厶它的方程為x= x0 + tet ? R.于（工）在點(diǎn)兀0處沿方向2的變化率，就是當(dāng)點(diǎn)工在直線乙 上變化時(shí)/（兀）在點(diǎn)X。處的變化率.在心與弓固定的情況下，當(dāng)點(diǎn)工在直線0上變化時(shí)，函數(shù)fM= /(x0 + tet)是自變量為(的一元函數(shù)，記作FQ)= /Oo+ 均).因此，/(x)0處沿方向2的變化率就是函數(shù)F(t)在匸0 處的導(dǎo)數(shù)，即応竺尺°)f® 0tf® 0t方向?qū)?shù)的定義定

2、義：設(shè)x0I 7?2, /是平面上一向量，與2同向的單位向量為耳二元函數(shù)彤疋 R、在C/(%) 內(nèi)讓自變量工由觀沿與耳平行的直線變到人)+均，從而對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有改變*/(xo+)- /(x0).若 lim/(o+rg/)- /(xo)f® 0t存在，貝！I稱此極限值為f在點(diǎn)必處沿2方向的方向?qū)?shù).記作Id ,或址即=iim/（"o+均卜 /（%）r® 0t勺HIGH EDUCATION PRESS/關(guān)于方向?qū)?shù)的幾點(diǎn)說明(1) 定義中的r的絕對(duì)值是兩點(diǎn)X。與%+均 之間的距離.(2) 方向?qū)?shù)實(shí)際上是函數(shù)/在兀。沿Z方向 關(guān)于距離的變化率.> 0(<

3、0),貝I/在處(3) 若方向?qū)?shù)#| '沿Z方向增加(減少).o o o o 目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方向?qū)?shù)的幾何意義過直線L:x= x0 + tet作平行于z軸的平面JI,平面與曲面相交的曲線為C.（1）當(dāng)t>0,喬的方向與2的方向相對(duì)應(yīng) 于（勺+均）-/（勺）t表示曲線C的割線麗 與向量Z交角的正切值，即尋（關(guān)于2的方向）的斜率.（2）當(dāng)xO,麗的方向與Z的方向相反,/（Xo+均）-/（兀0）二 /（兀0）-于（勺+均）表示鳳（關(guān)于Z的方向）的斜率.當(dāng)t®0, X®%,割線轉(zhuǎn)化為切線. 如果極限lim/(o+rg/)- /(o)f® 0t存在，那

4、么曲線C在點(diǎn)人僅有唯一的切線T,它關(guān)于Z方向的斜率是方向?qū)?shù)普|勺目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.1設(shè)二元函數(shù)i rv2f(、2?°；o x2 + v2 = o求/在點(diǎn)(0,0)沿方向石二(cosq,sinq)的方向?qū)?shù).解：當(dāng)cos? 0時(shí)，有?/w)limf® 0/(f cosq/sinq)f(0,0)cosgin%lim 9r®o cosp+ t sin qsin%cosg從而卑嚴(yán)0.ll當(dāng)cos0時(shí)，由于/(tcossing)- y(o,o)= 0,下頁(yè)返回結(jié)束DxDv 其中(%, y) ? D(x Dx,y) ? D,(x, yDy) ? D./對(duì)兀的偏導(dǎo)函數(shù)

5、簡(jiǎn)記為彳 楚二J J，4、I 3定義 設(shè)函數(shù)z = fg y)在區(qū)域內(nèi)有定義,則/對(duì)兀及y的偏導(dǎo)函數(shù)分別定義為 fx(x,y)= lim 心+D")- /(")八 _I)x? 0及z. (、 r Jx , v+ Dv)- Jx . v)人(")=腫。/對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)記為HIGH EDUCATION PRESS例3. 2設(shè)函數(shù)z= arctan ,求及乂扌* y以非（口）解：把y看作常數(shù)，對(duì)兀求導(dǎo)得把X看作常數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)得勺兀(U)讀 HIGH EDUCATION PRESSx2,2二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義由方向?qū)?shù)的意義知，在點(diǎn)(,兒)處 對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)就是曲面z二f(x,y)與平面y二y0的交線 h= /(兀，刃t y= %在點(diǎn)M(x0,y0,/(x0,y0)處切線卑的斜率，即£(兀0，兒)=tana,同理，ZyCWo)= tanb.元函數(shù)的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的方向?qū)?shù)的定