氣體動(dòng)理論習(xí)的題目解答

1、習(xí)題8-1設(shè)想太陽(yáng)是由氫原子組成的理想氣體，其密度可當(dāng)成是均勻的。若此理想氣體的壓強(qiáng)為1.35 XW14 Pa。試估計(jì)太陽(yáng)的溫度。(已知?dú)湓拥馁|(zhì)量 m = 1.67 XO-27 kg，太陽(yáng)半徑 R = 6.96 X8 m,太陽(yáng)質(zhì)量 M = 1.99 X30 kg)解:P Mn =m VmM3(4/3) nR mTk(4/3)二 R3mMk=1.15 107K8-2目前已可獲得1.013 X0-10 Pa的高真空，在此壓強(qiáng)下溫度為27 C的1cm3體積內(nèi)有多少個(gè)氣體分子？40解：N 二nV V 1.013 J 10 = 2.45 1 04/cm3kT1.38"0漢 3008-3 容積

2、V = 1 m3的容器內(nèi)混有N1= 1.0 >1023個(gè)氫氣分子和 2 =4.0 1023個(gè)氧氣分子，混合氣體的溫度為400 K，求：(1) 氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能總和；(2)混合氣體的壓強(qiáng)。解: ( 1)；tkT(N1 N2)1.38 10400 5 10 =4.14 10 J2 2_ 3233(2) p 八 口燈=1.38 10400 5 10=2.76 10 Pa8-4 儲(chǔ)有1mol氧氣、容積為1 m3的容器以v=10 m/s的速率運(yùn)動(dòng)。設(shè)容器突然停止，其中氧氣的80%的機(jī)械運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為氣體分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能。問(wèn)氣體的溫度及壓強(qiáng)各升高多少？(將氧氣分子視為剛性分子)解：1mol氧氣的質(zhì)量

3、M =32 10Sg, i=51 252由題意得Mv2 80% R T =.汀=6.2 10 K2 2pV = ' RT = V = . R. ：T：.p =：-8.31 6.2 10 0.52paV8-5 一個(gè)具有活塞的容器中盛有一定量的氧氣，壓強(qiáng)為1 atm。如果壓縮氣體并對(duì)它加熱，使溫度從27 C上升到177 C，體積減少一半，則氣體的壓強(qiáng)變化多少？氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能變化多少？分子的方均根速率 變化多少？解：已知 =1atm、T1 = 300KV2 二乂/2、T2 =450K卩 o2 =32"0kg/mol根據(jù)pV二.RT二也=座二.T1T2p2 = 3p3atm.

4、打1.38 10尤 150=3.11 10J2 28-6溫度為0 C和100 C時(shí)理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能各為多少?欲使分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于1 eV，氣體的溫度需多高?33解：(1)；t1 =3口 二3 1.38 10'3 273.15 =5.65 10，J223303_21；t2kT21.38 10373.15 = 7.72 10 J2219 3(2) 1ev =1.6 10 J = ；tkT22；t3k2 1.6 10"3 1.38 103= 7729.5K8-7 一容積為10 cm3的電子管，當(dāng)溫度為 300 K時(shí)，用真空泵把管內(nèi)空氣抽成壓強(qiáng)為 5X10-4 mmH

5、g的高真空，問(wèn)此時(shí)(1)管內(nèi)有多少空氣分子？(2) 這些空氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？( 3)平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？ ( 4)平均動(dòng)能的總和是多少？(將空氣分子視為剛性雙原子分子，760mmHg = 1.013X 105 Pa)解:彳 u1.013 005 133Pa1mmHg133Pa760(1) N =nV = PV =1.61 1014 個(gè)kT3336(2) ' 厲=N kT RT pV ： 1 10 J222(3) 刀；=N2kT zRT = pV =6.65 10”J2(4) '；- ' 亠二：r = 5 pV = 165 10 J、 18-8水蒸氣

6、分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O H 2+ 022也就是1mol水蒸氣可分解成同溫度的1mol氫和1/2mol的氧。當(dāng)不計(jì)振動(dòng)自由度時(shí)，求此過(guò)程的內(nèi)能增量。解：E =丄.RT ,=1mol2A 55 163E RT RT RT RT22 224若水蒸氣溫度是100 c時(shí)：E 二3 8.31 373 =2325J48-9已知在273 K、1.0氷0-2 atm時(shí)，容器內(nèi)裝有一理想氣體，其密度 為1.24 XI0-2 kg/m3。求：(1)方均根速率；(2)氣體的摩爾質(zhì)量，并確定 它是什么氣體；(3)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能各為多少？ (4)容器單位體積內(nèi)分子的總平動(dòng)動(dòng)能是多少？(5)若

7、該氣體有0.3 mol，其內(nèi)能是多少？解：(1) pv =3494m/sv23RT-p-3RTv2:. 28g3p所以此氣體分子為 CO或N23(3) ；tkT =5.65 10，1J2 2_21；r kT =3.77 10 J2(4) : ；t =n kT = P =1.52 10 Jt 2 25(5) E RT =1701J28-10 一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為1.01 X05 Pa,溫度為27.0C，求:（1）分子數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；（4）分子 間的平均距離。（設(shè)分子間均勻等距排列）解：(1) -k< 2.44 1025/m33RT呻RT3=1.29

8、7kg/m；= 3kT =6.21 101J2(4) d =1= d - 3.45 10m n8-11設(shè)容器內(nèi)盛有質(zhì)量為 M1和M2的兩種不同的單原子理想氣體,此混合氣體處在平衡態(tài)時(shí)內(nèi)能相等，均為E，若容器體積為 V。試求：（1）兩種氣體分子平均速率 v1與v2之比；（2）混合氣體的壓強(qiáng)。解:（ 1）3 M12 7RTMgM1A2M2(2) p 八nkTkT NV VkT JkTV有內(nèi)能為6.75 102 J的剛性雙原338-12 在容積為2.0 XO- m的容器中, 子分子理想氣體。（1 ）求氣體的壓強(qiáng)；（2）設(shè)分子總數(shù)為5.4 1022個(gè)，求分 子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度。解：（1）E=

9、RT=LpV= p=i.35 105pa22iV5QT pV 1.35 105 2 10I 2223Nk 5.4 101.38 10=3kT =7.5 10，J28-13已知f（v）是速率分布函數(shù)，說(shuō)明以下各式的物理意義:Vp（1）f （v）dv ；（2）Nf （v）dv ；（3）0 f （v）dv解：（1）v-v，dv范圍內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比;（2）v -v dv范圍內(nèi)的粒子數(shù)（3）速率小于vp的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比8-14圖中I、II兩條曲線(xiàn)是兩種不同氣體（氫氣和氧氣）在同一溫度 下的麥克斯韋速率分布曲線(xiàn)。試由圖中 數(shù)據(jù)求：（1）氫氣分子和氧氣分子的最 概然速率；（2）兩種氣體

10、所處的溫度。解：（1）由習(xí)題8-14圖可知：（vp）H2 =2000m/s一 （2RT1=（Vp）°2 FPM=500m/s= 481.3KUp2_ 5002 32 10"2R 一 2 8.318-15 在容積為3.0 X0'2 m3的容器中裝有2.0 >10-2 kg氣體，容器內(nèi)氣 體的壓強(qiáng)為5.06 104 Pa，求氣體分子的最概然速率。解：由 pV 二 M RT = RT 二 pVJJ M2RT2pV -389.6m/sM_148-16 質(zhì)量m=6.2 10 g的微粒懸浮在27C的液體中，觀察到懸浮粒子的方均根速率為 1.4 cm/s,假設(shè)粒子服從麥克斯

11、韋速率分布函數(shù)，求阿伏伽德羅常數(shù)。3kT3RTmNA? Na3RT236.15 10/mol2mv8-17有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為C（V。啟 V A 0）i 0 （VAV。）(1)作速率分布曲線(xiàn)；(2)由v0求常數(shù)C；(3)求粒子平均速率。”?01解：（2）| cdv =1= c -右V0（3） VJ vf（v）dv = .rV0V0CV =028-18有N個(gè)粒子，其速率分布曲線(xiàn)如圖所示，當(dāng)V 2v0時(shí)f(V)= 0。求：（1）常數(shù)a; （2）速率大于v0和小于Vo的粒子數(shù)；（3）求粒子平均速率。解：（1）由速率分布函數(shù)的歸一化條件可得v av0 a =：1 ： a =223v0(2)v

12、: v0 時(shí):N1 =1av° N1N23二 Nvv(）時(shí)：N2=N -N13(3)f (v)2kv 2 v v _ v03vo=<a =3vo0v0 _ v _ 2v0v v°:'v°2v°v = o vf(v)dv vf(v)dv 亠 i vf (v)dv2233Io2V0 2 vdvv。vo 3v098-19質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)地球引力作用所需的逃逸速率為v=$2gr，其中r為地球半徑。（1）若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應(yīng)有多高的溫度；（2）說(shuō)明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少。（取r=6.40 X06 m)2gr沁8

13、R又 畑=32 10kg/mol=2 10kg/mol.TO2 -1.9 105KTh2 -1.18 104K(2)根據(jù)上述分析，當(dāng)溫度相同時(shí)，氫氣的平均速率比氧氣的要大(約為4倍)，因此達(dá)到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多。按大爆炸理論，宇 宙在形成過(guò)程中經(jīng)歷了一個(gè)極高溫過(guò)程。在地球形成的初期，雖然溫度已大大降低，但溫度值還是很高。 因而，在氣體分子產(chǎn)生過(guò)程中就開(kāi)始有分子逃 逸地球，其中氫氣分子比氧氣分子更易逃逸。另外，雖然目前的大氣層溫度不可能達(dá)到上述計(jì)算結(jié)果中逃逸速率所需的溫度，但由麥克斯韋分子速率分布曲線(xiàn)可知，在任一溫度下，總有一些氣體分子的運(yùn)動(dòng)速率大于逃逸速率。 從分布曲線(xiàn)也可知道在相

14、同溫度下氫氣分子能達(dá)到逃逸速率的可能性大于 氧氣分子。衣8-20試求上升到什么高度時(shí)大氣壓強(qiáng)減至地面的75% ?設(shè)空氣溫度為0C,空氣的摩爾質(zhì)量為 0.0289 kg/mol。解：由 p = p0 exp(坐)=z = - RT In P0RT也 pP038-21 (1)求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)和平均自由程；(2)若溫度不變，氣壓降低到1.33 >10-4 Pa,平均碰撞次數(shù)又為多少？平均自由程為多少？(設(shè)分子有效直徑為10-10 m)、/1kT解：8.38 10-7 mZ2 叱2n、'2 兀d2pZ =V/7； =5.42 108 次 /s8-22真空管的線(xiàn)度為10-2

15、 m,真空度為1.33 XO-3 Pa,設(shè)空氣分子有效 直徑為3X1O-10 m，求27C時(shí)單位體積內(nèi)的空氣分子數(shù)、平均自由程和平均碰撞頻率。解:p 1.33 1023kT 1.38 10300173= 3.21 10/m3當(dāng)容器足夠大時(shí),取 d =3 10_10m.r v 1kT田二.Z J2id2n *2id2p代入可得彊=7.8m102m （真空管線(xiàn)度）所以空氣分子間實(shí)際不會(huì)發(fā)生碰撞，而只能與管壁碰撞，因此平均自由程就是真空管的線(xiàn)度，即=10 ° m4691 10,= 4.69 104/s8-23在氣體放電管中，電子不斷與氣體分子碰撞。因電子速率遠(yuǎn)大于 氣體分子的平均速率， 所

16、以可以認(rèn)為氣體分子不動(dòng)。 設(shè)氣體分子有效直徑為d，電子的“有效直徑”比起氣體分子來(lái)可以忽略不計(jì)，求：（1）電子與氣體分子的碰撞截面；（2）電子與氣體分子碰撞的平均自由程。 （氣體分子數(shù) 密度為n）解：（1） ；- （d -生）2 ：二224（2） = 2 亙 其中U為電子相對(duì)于分子的平均相對(duì)速率Znu由于ve >> V分子，所以u(píng) ve142二 n: d n* 8-24在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氦氣（He）的內(nèi)摩擦系數(shù)=1.89 X05 Pas，求:（1）在此狀態(tài)下氦原子的平均自由程；（2）氦原子半徑。解：標(biāo)況：p =1.01 105pa、T =273.15K"出=4 10”kg/m

17、ol11(1)nmvv 二33-p3把0.18kg/m_，8RTv1202m/s 代入TtP得=2.62 10m1一2二d2nkT- 2 二 d2 pkT.2 二p 220 2d =3.2 10 m衣8-25熱水瓶膽的兩壁間距d h.79 10 "mL = 4 XI0'3 m,其間充滿(mǎn)溫度為27C的氮?dú)猓肿拥挠行е睆綖閐 = 3.1 X0-10 m,問(wèn)瓶膽兩壁間的壓強(qiáng)降低到多大 數(shù)值以下時(shí)，氮的熱傳導(dǎo)系數(shù)才會(huì)比它在一個(gè)大氣壓下的數(shù)值小?1 _ 解：熱傳導(dǎo)系數(shù)K cVv 3由于=nm,1- 2 二d 2n，所以與壓強(qiáng)無(wú)關(guān)，即熱傳導(dǎo)系數(shù)與壓強(qiáng)無(wú)關(guān)。然而在抽真空的容器中當(dāng)壓強(qiáng)降到一定程度時(shí),平均自由程會(huì)大于容器本身的線(xiàn)度，這時(shí)取為容器的線(xiàn)度不變，當(dāng)真空度進(jìn)一步提高時(shí)，因不變，所以p 時(shí)，則K .，于是熱傳導(dǎo)系數(shù)就小于一個(gè)大氣壓下的數(shù)值了。因此當(dāng)kT2 = L時(shí)傳導(dǎo)系數(shù)開(kāi)始發(fā)生變化。2 二 d pkT；2kT1.38 1023 300.2：d2L 2- (3.1 100)2 4 10=2.42pa* 8-26由范德瓦耳斯方程 （p a V2）（V -b RT，證明氣體在臨界狀態(tài)下溫度Tk、壓強(qiáng)pk及體積Vk為8a26bRPk27b2 'Vk =3b并且在理論上有如下的關(guān)系3PM 匚kTk