2005年數(shù)學建模B題(含代碼)

1、實用文案2013 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料） ，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：B我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設

2、置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜喝A南師范大學增城學院參賽隊員 ( 打印并簽名 ) ：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人( 打印并簽名 ) ：日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：標準文檔實用文案2013 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：標準文檔實用文案DVD在線租賃摘要問題（三）：題目需要我們回答購買各種DVD 的數(shù)量來使 95%的會員能看到他 DVD 想看到的 DVD

3、，并且要怎么分配才能使?jié)M意度達到最大；每種建立以總的購買數(shù)最小、 會員滿意度最大為雙目標的規(guī)劃模型。 通過確定在一個月內(nèi)每張DVD 的在每個會員中手中的使用率； 然后通過 c 語言程序編程來確定每種 DVD 的購買量；建立 0-1 規(guī)劃模型；通過 LINGO 軟件使?jié)M意度達到最大，來最終確定 DVD 的分配；一級，二級目標，將多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標；同時將第 j 種 DVD的購買量yj 的整數(shù)約束去掉，求解出最小購買數(shù)為178.125 張。將最小購買數(shù)作為約束條件，優(yōu)化滿意度后，得到最大滿意度為95%；然后對此時 DVD的購買量 y j 向上取整，得到總購買數(shù)為186 張。當購買數(shù)為186 張

4、時，會員滿意度達到97%。三、模型假設1、租賃周期為一個月，每月租兩次的會員可以在月中再租賃一次；2、同一種 DVD 每人只能租賃一次；3、 DVD 在租賃過程中無損壞；4、會員每月至少交一次訂單；5、會員只有把前一次所借的DVD寄回，才可以繼續(xù)下一次租賃6、月底 DVD 全部收回，繼續(xù)下個周期的租賃；7、隨著時間的推移，該網(wǎng)站的會員們的流動情況不會出現(xiàn)大變動。四、符號說明符號意義QDVD 的張數(shù)aij會員 i 對 DVD j 訂單的數(shù)量cij會員 i 對某種 DVD j 偏愛度標準文檔實用文案bj第 j 種 DVD 總中張數(shù)B會員對網(wǎng)站的滿意度i會員的標號jDVD 的種類k網(wǎng)站對 DVD 購

5、買的量一、問題的重述隨著信息時代的到來， 網(wǎng)絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。 許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度， 面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。 這項服務充分發(fā)揮了網(wǎng)絡的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務?？紤]如下的在線 DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費成為網(wǎng)站會員， 可以訂購 DVD租賃服務。會員對哪些 DVD有興趣，只要在線提交訂單， 網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。 會員提交的訂單包括多張基于其偏愛程度排序的DVD。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的

6、DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過 2 次，每次獲得 3 張 DVD。會員看完 3 張 DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔） ，就可以繼續(xù)下次租賃?？紤]回答下面問題：（ 1）網(wǎng)站準備購買一些新的 DVD，通過問卷調(diào)查 1000 個會員，得到了愿意觀看這些 DVD的人數(shù)（表 1 給出了其中 5 種 DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示， 60% 的會員每月租賃 DVD兩次，而另外的 40%只租一次。假設網(wǎng)站現(xiàn)有 10 萬個會員，對表 1 中的每種 DVD來說，應該至少準備多少張， 才能保證希望看到該 DVD的會員中至少 50%在一個月內(nèi)能

7、夠看到該 DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少 95%的會員能夠看到該 DVD呢？（ 2）表 2 中列出了網(wǎng)站手上 100 種 DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的 1000 位會員的在線訂單， 如何對這些 DVD進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前 30 位會員（即 C0001C0030）分別獲得哪些 DVD。（ 3）繼續(xù)考慮表 2，并假設表 2 中 DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為 0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，如何決定每種 DVD的購買量， 以及如何對這些 DVD進行分配， 才能使一個月內(nèi) 95%的會員得到他想看的 DVD，并且滿意度最大？標準文檔實用文案（ 4）如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，

8、你覺得 DVD的需求預測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應的數(shù)學模型。表 1 對 1000 個會員調(diào)查的部分結果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人200100502510數(shù)表 2現(xiàn)有 DVD張數(shù)和當前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520C00016000會 員C00020000在 線C00030003訂單C00040000注： D001D100表示 100 種 DVD, C0001C1000表示 1000 個會員 ,會員的在線訂單用數(shù)字1,2, 表示，

9、數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0 表示對應的 DVD當前不在會員的在線訂單中。二、問題的分析問題分析：題中列出了網(wǎng)站手上 20 種 DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的 100 位會員的在線訂單， 要得到使會員獲得最大滿意度的 DVD分配方案，這可以通過建立線形規(guī)劃模型來實現(xiàn)。 由于每個會員對不同 DVD的偏愛程度不同， 且題中所給的列表中會員的在線訂單中數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高。 由于每個會員可以按偏愛程度在 20 種 DVD ( 可以參考 )五、模型的建立與求解（一）：問題一由歷史數(shù)據(jù)， 60%的會員每月租賃 DVD 兩次，而另外 40%的人只租一次。由假設會員如果在當月歸還了 D

10、VD ，一般會同時有第 2 次的租賃要求，因此認為有 60% 的會員在一個月有兩次租賃需求，其他 40%的會員為一次。近似認為會員的需求基本上能滿足，從而認為有 60%的會員會在一個月內(nèi)歸還 DVD ，另外 40%則不能。在一個月內(nèi)歸還的 DVD 還可以滿足另一個會員，又新購 DVD 一般會較受歡迎，因此認為該 DVD 一直在周轉(zhuǎn)中，沒有出現(xiàn)該 DVD 空閑情況。故可以合理地認為一張新 DVD 在一個月內(nèi)以 60%的概率滿足兩個會員， 40%的概率滿足一個會員，從而一張 DVD 的相對一個人來說使用率為60%；40% 0.72需要準備的 DVD j 張數(shù)為 Q j ；由調(diào)查結果1000 個會員

11、中愿意觀看 DVD的購買量標準文檔實用文案為 xi 。模型一、保證希望看到該 DVD 的會員中至少 50%在一個月內(nèi)能夠看到該 DVD 需要準備的 DVD 的張數(shù)：Q j100000x j50%0.71000保證希望看到該 DVD 的會員中至少95%在三個月內(nèi)能夠看到該 DVD 需要準備的DVD 的張數(shù)：100000Q j0.731000x j 95%模型的求解：當 x1200 時 保證希望看到該 DVD 的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD 需要準備的 DVD 的張數(shù)Q110000020050%0.770001000保證希望看到該 DVD 的會員中至少95%在三個月內(nèi)能夠看到該 DV

12、D 需要準備的DVD 的張數(shù)：100000Q120095%0.7344341000同理可得各種 DVD 需要準備的張數(shù)，計算得下表1：表 1：各種 DVD 需要準備的張數(shù)DVD 名稱DVD 1DVD 2DVD 3DVD 4DVD 5為50%時 DVD 購買700035001750875350量為95%時 DVD 購買443422171109555222量為了驗證模型一的準確性：我們建立了模型二模型二我們將每月租憑 DVD 兩次的會員平均分成兩部分，一部分是在月初借DVD ，月中還 DVD ；第二部分是在月中借DVD ，月末還 DVD ；這樣就將第一部分月初借的 DVD 在月中的時候再借給第二部

13、分； 這樣就能使需要準備的 DVD 數(shù)達到最小。保證希望看到該 DVD 的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該 DVD 需要準備的DVD 的張數(shù)：100000x j60%100000 x jQj ( 100040%)50%21000保證希望看到該 DVD 的會員中至少95%在三個月內(nèi)能夠看到該 DVD 需要準備的標準文檔實用文案DVD 的張數(shù)：100000x j 60% 100000 x j 40%) 95%(1000Q j210003模型求解：保證希望看到該 DVD 的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該 DVD 需要準備的DVD 的張數(shù)：100000Q j (100020060%10000

14、0 20040%)50% 700021000保證希望看到該 DVD 的會員中至少95%在三個月內(nèi)能夠看到該 DVD 需要準備的DVD 的張數(shù)：100000(100020060%100000 20060%)95%Q12100044343同理可得各種 DVD 需要準備的張數(shù)，計算得下表2：表 2：各種 DVD 需要準備的張數(shù)DVD 名稱DVD 1DVD 2DVD 3DVD 4DVD 5為50%時 DVD 購買700035001750875350量為95%時 DVD 購買443422171109555222量( 二) 、問題二會員 i 對某種 DVD 偏愛度 cij 的量化：會員對DVD 偏愛度 c

15、ij 是隨著訂單數(shù)字aij (aij0時 ) 的增加而減少，其中會員對網(wǎng)站的滿意度與滿足會員的偏愛度是掛鉤的；因此我們可用一非增函數(shù)來度量；從心理學的角度來看：隨著aij 的增加，相鄰的兩個訂單數(shù)字之間的偏愛度的差會越來越小，所以我們定義了;cij10aijaijcijaij00不同會員在對同一種 DVD 偏愛指數(shù)相同時， 我們在分配 DVD 時優(yōu)先考慮編號在前的會員。要確定把那張 DVD 租給哪個會員，才能使?jié)M意度達到最大，因此我們引入 xij 表示把第 j 種 DVD 是否租給第 i 個會員；從問題我們可以看出這是一個如何分配的問題，我們不妨把其中現(xiàn)有DVD 的張數(shù)看成現(xiàn)有判斷條件為需要完

16、成的任務，把每一為會員看成完成這些任務的人選，其中他們對各種DVD 的標準文檔實用文案偏愛度就代表他們完成相對應的任務的能力； 我們就要使他們對各種任務的完成能力達到最大；i 1000 j100max Bcijxiji 1j1約束條件所有的會員分配到j 種 DVD 的數(shù)量之和不能超過現(xiàn)有的第j 種 DVD 的張數(shù)i 1000xijbj ( j 1、2.100； xij 為 0-1 變量 )i 1由于網(wǎng)站每次對每個會員DVD 的分配要么 0 張要么 3 張所以j1003ui（i=1 、 2、 .1000 ； uij 為 0-1 變量）j0對問題（ 2）建立 01 規(guī)劃模型。模型三：目標函數(shù)；i

17、1000j 100max Bcij xiji 1j 1i1000xijb ji 1約束條件： j 100（ ui 、xij 均為 0-1 變量；i=1 、2.1000；j=1 、2.100）；xij3j0模型求解： 用 LINGO數(shù)學軟件實現(xiàn)對此題0-1 規(guī)劃模型的求解；執(zhí)行的代碼見附錄一；可以獲得的最大滿意度為1634.712 其中前30 位會員（即C0001C0030）獲得 DVD情況如下表所示前 30 名會員獲得 DVD 的情況會員編號DVD 編號C0001DVD 8DVD 41DVD 98C0002DVD 6DVD 44DVD 62C0003DVD 32DVD 50DVD 80C000

18、4DVD 7DVD 18DVD 41C0005DVD 66DVD 68DVD 11C0006DVD 19DVD 53DVD 66標準文檔實用文案C0007DVD 26DVD 66DVD 81C0008DVD 31DVD 35DVD 71C0009DVD 53DVD 78DVD 100C0010DVD 41DVD 55DVD 85C0011DVD 59DVD 63DVD 66C0012DVD 31DVD 2DVD 41C0013DVD 21DVD 78DVD 96C0014DVD 52DVD 23DVD 89C0015DVD 13DVD 85DVD 52C0016DVD 84DVD 97DVD

19、10C0017DVD 67DVD 47DVD 51C0018DVD 41DVD 60DVD 78C0019DVD 84DVD 86DVD 66C0020DVD 45DVD 89DVD 61C0021DVD 53DVD 45DVD 50C0022DVD 57DVD 55DVD 38C0023DVD 95DVD 29DVD 81C0024DVD 76DVD 41DVD 37C0025DVD 9DVD 69DVD 94C0026DVD 22DVD 68DVD 95C0027DVD 58DVD 78DVD 80C0028DVD 8DVD 34DVD 37C0029DVD 55DVD 30DVD 26C

20、0030DVD 62DVD 37DVD 98（三）：問題三問題三是問題一和問題二的結合，要求我們在確保95%的會員能得到他想看的DVD 的前提下使會員對網(wǎng)站的滿意度達到最大；在這里我們需要解決的問題如何使采購的 DVD 總數(shù)量最少； 2、如何每種 DVD 的采購量，才能使客戶的滿意度達到最大；因此我們求出需要準備 DVD 總數(shù)的上下限，假定網(wǎng)站在一個月標準文檔實用文案內(nèi)分配給會員一次DVD （三張他想要看的DVD ）即認為會員得到他想看的DVD 。由于在一個月內(nèi)一張DVD 使用率為 0.7 設購買第 j 種 DVD 的數(shù)量為 b j ，相當于能夠滿足網(wǎng)站在一個月內(nèi)需求為j 種 DVD 的會員數(shù)

21、 bj 。每一種 DVD 都 0.7滿足 95%的會員的觀看，這樣既能滿足題目要求，又能使?jié)M足度達到最大；所以需要購買 j 種 DVD 的數(shù)量 b j 有如下表達式：上限：每月租二次的人兩次會員還回來的DVD 全部不能重復利用，則得出可以借出的 DVD 總數(shù)的上限為0.41000 95%30.6 100095%64560下限：每月租二次的人兩次會員還回來的DVD 全部能重復利用，則得出可以借出的 DVD 總數(shù)的下限為0.41000 95%30.6 1000 95%32850利用模型一的方法進行求解：i1000目標函數(shù)：bj 0.795%xiji 1（ xij 為 0-1 變量，即當 aij 小

22、于 6 大于時 0，xij 就為 1；否則就為 0；j=1 、2.100）2850j 1004560約束條件：bjj 1（ xij 為 0-1 規(guī)劃；當 aij =0 時 xij =0， xij =1,j=1 、 2.100）建立 0-1 規(guī)劃模型i 1000xijbji 1i 1000j 100目標函數(shù)：max Bcij xij約束條件： j 100i 1j 1xij3uij 0（ ui 為 0、 1、2 變量， xij 為 0-1 變量； i=1 、2.1000；j=1 、 2.100）；模型求解：在通過 c 語言進行編程求解中過程中，在數(shù)據(jù)的輸入方面存在很大困難，所以我們先把 excel

23、 里們的數(shù)據(jù)復制記事本然后復制到 word ，通過查找、 替換我們把空格替換成逗號， 然后就把數(shù)據(jù)復制帶 vc 6.0 里面，這樣數(shù)據(jù)的處理就得到了解標準文檔實用文案決；然后通過 c 語言和 LINGO 進行編程可以求出各種 DVD 的購買量，執(zhí)行的程序見附錄二與附錄三；表 2： DVD 的購買量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號12345678910購買43674876395456586949量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號11121314151617181920購買51555163517552455167量DVDD

24、VDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號21222324252627282930購買68496541505952395071量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號31323334353637383940購買47686062686143595852量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號41424344454647484950購買88665165645257505464量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號51525354555657585960購買7152574557595

25、7465958量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號61626364656667686970標準文檔實用文案購買47605560486065616166量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號71727374757677787980購買64664759463939575651量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號81828384858687888990購買59334535634466424355量DVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVDDVD編號919293949596979

26、899100購買73494345794767623966量（四）：問題四我覺得 DVD 的需求預測、購買和分配中還要考慮收入和費用；假設 : 會員的入會費為 y 元，網(wǎng)站每月共有 i 名新會員加入；每月的收入就為 yi 每一張 DVD 的平均購買費為 s 元， DVD 的購買數(shù)量為 k ；每月的購買費就為 ks每一張 DVD 使用的時間為 m 月，所以每月 DVD 的折舊費為s 元；m網(wǎng)站每月正常使用費用（如工人的工資，日常飲用水等）為 L 元；建立模型五syi > ks+ L所以每月 DVD 的購買數(shù)量syiLk m s在 DVD 的需求預測方面還需要考慮會員的入會費和DVD 的更新速

27、度；在 DVD 的分配方面還需要考慮會員的在線時長， 會員們之前所訂購的 DVD 的種類，消費習慣。六、模型結果的分析標準文檔實用文案3、在問題三方面我們對每一種 DVD 都滿足 95%的會員的觀看，這樣既能滿足題目要求使 DVD 的總數(shù)要達到滿足 95%的會員的觀看，又能使?jié)M足度達到最大；附件一：model:sets:dvd/1.100/:total;!total為網(wǎng)站現(xiàn)有 DVD j 的數(shù)量 ;huiyuan/1.1000/; !自定義 0-1 向量 ;pianai(huiyuan,dvd):data0;bianliang(huiyuan,dvd):data1;Endsets! 目標函數(shù)（

28、總體滿意度最大） ; max=sum(pianai(i,j):data1(i,j)*data0(i,j);! x (i,j) ,t (i)為 0-1 變量 ;for(bianliang:bin(data1);! 約束條件每人可租 DVD 數(shù)Yi=3 或0;for(huiyuan(j):sum(bianliang(j,i):data1(j,i)<=3);! 所租 DVD j 總數(shù)小于網(wǎng)站現(xiàn)有 DVD j 的數(shù)量 ; for(dvd(i):sum(bianliang(i,j):data1(i,j)<=total(i);data:total=10401520201230333525293

29、128612282826313834293522298111925412935140395106302921106153634113225264402633266121138443627314244128110353330240151128242088928318223702134438273928241550243655240; ! 網(wǎng)站現(xiàn)有 DVD j 的數(shù)量;data0=600000810040000000000000000000000000000標準文檔實用文案070000000500000000000000000000000000000000200900000000000030000

30、005100080000000000000000010000000000700030200000000000000000400000000600000000000000000000000090000.00000000000000100000000200098000000000000043005000001000000000000000000000000000000000000600700000000000000000080100000000005100000000000000000000000000040000000000000900060000000000000030020007000000

31、000000500000000010000000000000800000100700020000000000000000000090000000000630000000000004000000000000000003000000000000000000000000000801000600000000200000000000000000079000000000000000000000050010000004;enddataend標準文檔實用文案附錄二：#include<stdio.h>int main(void)int x1000100=6，0 ，0 ， 0 ，0 ，0 ， 8， 1

32、 ，0，0 ，4 ， 0 ，0，0 ， 0 ，0.;/輸入每位會員的的在線訂單int maxB,i,j,c1000100,b100,k=0,y=0,n100=0; for(i=0;i<1000;i+)for(j=0;j<100;i+)if(xij=0)cij=0;else cij=1/xij;/ 得出偏愛度，當1/xij不為 0 時； cij=1/xij；當當 1/xij為 0 時 cij=0；/ 進行 01 規(guī)劃；for(i=0;i<1000;i+)for(j=0;j<100;i+)if(xij=0)xij=0;else if(xij<=3)xij=1;else

33、 xij=0;/ 求出需要第 j 種 DVD的人數(shù) for(j=0;j<100;i+ )for(i=0;i<1000;i+)nj=nj+xij;/ 得出第 j 種 DVD需采購數(shù)量 for(j=0;j<100;i+)bj=0.7*0.95*nj;/ 再次進行 0-1 規(guī)劃 for(j=0;j<100;i+)for(i=0;i<1000;i+)if(k<bj)k=k+xij;elsexij=0;標準文檔實用文案for(i=0;i<1000;i+)for(j=0;j<100;i+)if(y!=3)y=y+xij;elsexij=0;/ 輸出需要購買

34、j 種 DVD的數(shù)量，并且求出滿意度。 for(j=0;j<100;i+)printf("%d",bj);for(i=0;i<1000;i+)maxB=maxB+cij*xij;/ 輸出滿意度printf("%dn",maxB);return 0;附錄三：model:sets:dvd/1.100/:total;!total為網(wǎng)站現(xiàn)有 DVD j 的數(shù)量 ;huiyuan/1.1000/; !自定義 0-1 向量 ;pianai(huiyuan,dvd):data0;bianliang(huiyuan,dvd):data1;Endsets! 目標函數(shù)（總體滿意度最大） ; max=sum(pianai(i,j):data1(i,j)*data0(i,j);! x (i,j) ,t (i)為 0-1 變量 ;for(bianlian