年挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題(全套)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第一部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問(wèn)題§ 11 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 §12 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題 §13 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題 § 14 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題§ 15 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題§ 1 6 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問(wèn)題§ 17 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問(wèn)題第二部分圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題§21由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題第三部分圖形運(yùn)動(dòng)中的計(jì)算說(shuō)理問(wèn)題§ 31代數(shù)計(jì)算及通過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題§ 32幾何證明及通過(guò)幾何計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題第四部分圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)

2、67;41圖形的平移§ 42圖形的翻折§ 43圖形的旋轉(zhuǎn)§ 44 三角形§ 45 四邊形§ 46 圓§ 47 函數(shù)的圖象及性質(zhì)§11 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題課前導(dǎo)學(xué) 相似三角形的判定定理有 3 個(gè)，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有對(duì)應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，一般情況下首先尋找一組對(duì)應(yīng)角相等判定定理 2 是最常用的解題依據(jù)， 一般分三步： 尋找一組等角， 分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn) 如果已知 A D，探求 ABC與 DEF相似，只要把夾 A 和 D的兩邊表示出來(lái)，按照對(duì)應(yīng)邊成比例，分A

3、BDE和ABDF 兩種情況列方程ACDFACDE應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對(duì)應(yīng)角相等應(yīng)用判定定理3解題不多見(jiàn)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例列連比式解方程（組）還有一種情況， 討論兩個(gè)直角三角形相似，如果一組銳角相等， 其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問(wèn)題求線段的長(zhǎng)，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個(gè)公式容易記錯(cuò)理解記憶比較好如圖 1，如果已知 、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求、兩點(diǎn)間的距離呢？A BA B我們以 AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊 AB的長(zhǎng)了水平距離 BC的長(zhǎng)就是 A、B 兩點(diǎn)間的水

4、平距離， 等于 A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減；豎直距離 AC就是 A、 B 兩點(diǎn)間的豎直距離，等于 A、 B 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減圖1圖1圖2例 1湖南省衡陽(yáng)市中考第28 題二次函數(shù)y a2 b c（ a 0）的圖象與x軸交于 ( 3, 0)、 (1, 0)兩點(diǎn)，與y軸xxAB交于點(diǎn) C(0, 3m)（ m 0），頂點(diǎn)為 D（ 1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（ 2）如圖1，當(dāng) m 2 時(shí)，點(diǎn) P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)APC的面積為，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；S文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 3）如圖 2，當(dāng) m取何值時(shí)，以A、 D、 C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與

5、OBC相似？動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14 衡陽(yáng) 28”，拖動(dòng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到 AC的中點(diǎn)的正下方時(shí)， APC的面積最大拖動(dòng) y 軸上表示實(shí)數(shù) m的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，拋物線的形狀會(huì)改變，可以體驗(yàn)到， ACD和 ADC都可以成為直角思路點(diǎn)撥1用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡(jiǎn)便2連結(jié) OP， APC可以割補(bǔ)為：AOP與 COP的和，再減去AOC3討論 ACD與 OBC相似，先確定 ACD是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD存在兩種情況圖文解析（ 1）因?yàn)閽佄锞€與x 軸交于 A( 3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，設(shè) y a( x3)(x 1) 代入點(diǎn) (0,3

6、 )，得 3 3 解得a Cmmam所以該二次函數(shù)的解析式為2y m( x 3)( x1) mx 2mx 3m（ 2）如圖 3，連結(jié)當(dāng) 2時(shí)， (0,6) ，y 22 4x 6，那么(, 2x24 OPmCxP xx6) 由于 AOP1324 6)326 9， COP1OC ( xP ) SOA ( yP ) (2 xxxxS222 3x， S AOC 9，所以 S SAPC SAOPS COP S AOC 3x2 9x 3( x3) 227 24所以當(dāng) x3 時(shí)， S 取得最大值，最大值為27 24圖 3圖 4圖 5圖 6（ 3）如圖 4，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交于 E

7、DE F由 y m( x 3)( x1) m(x 1) 2 4m，得 D( 1, 4m) 在 Rt OBC中， OB OC 13m如果與相似，那么是直角三角形，而且兩條直角邊的比為1 3 ADCOBCADCm如圖 4，當(dāng) ACD 90°時(shí)， OAOC 所以 33m 解得 m 1ECEDm1此時(shí) CAOC3， OC3 所以 CAOC 所以 CDA OBCCDEDOBCDOB如圖 5，當(dāng) ADC 90°時(shí)， FAFD 所以 4m2 解得 m2 EDEC1m2此時(shí) DAFD222，而 OC3m3 2 因此 DCA與 OBC不相似DCECmOB2綜上所述，當(dāng) m 1 時(shí)， CDA

8、OBC考點(diǎn)伸展 第（ 2）題還可以這樣割補(bǔ)：如圖 6，過(guò)點(diǎn) P作 x 軸的垂線與 AC交于點(diǎn) H由直線 AC： y 2x 6，可得 H( x, 2x 6) 又因?yàn)?P( x, 2 x2 4x 6) ，所以 HP 2x2 6x因?yàn)?PAH與 PCH有公共底邊 HP，高的和為 A、C兩點(diǎn)間的水平距離 3，所以文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)S SAPC S APH S CPH 3( 2x2 6x) 3( x3)227 224例 22014年湖南省益陽(yáng)市中考第21 題如圖 1，在直角梯形ABCD中， AB/ CD， AD AB， B 60°， AB 10， BC 4，點(diǎn) P 沿線段 AB從點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)

9、動(dòng)，設(shè) AP x 2· 1· c· n· j · y（ 1）求 AD的長(zhǎng)；（ 2）點(diǎn) P 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、 D為頂點(diǎn)的三角形與以 P、 C、 B 為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；圖1（ 3）設(shè) ADP與 PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若 S S1 S2，求 S的最小值 .動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14 益陽(yáng) 21”，拖動(dòng)點(diǎn)P 在 AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓心O的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段觀察S隨點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的圖象，可以看到，S有最小值，此時(shí)點(diǎn)P 看上去象是 AB的中點(diǎn)，

10、其實(shí)離得很近而已思路點(diǎn)撥 1第（ 2）題先確定 PCB是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)三角形是否相似2第（ 3）題理解的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線PCB上，同時(shí)又在不確定的 BP的垂直平分線上 而 BP與 AP是相關(guān)的， 這樣就可以以 AP為自變量，求 S 的函數(shù)關(guān)系式 圖文解析（ 1）如圖 2，作 CH AB于 H，那么 AD CH在 Rt BCH中， B 60°， BC4，所以 BH 2， CH 2 3 所以 AD 23 （ 2）因?yàn)?APD是直角三角形，如果 APD與 PCB相似，那么 PCB一定是直角三角形如圖 3，當(dāng) CPB 90°時(shí)， AP 1

11、0 2 8所以AP8 43，而 PC3 此時(shí) APD與 PCB不相似AD2 33PB圖 2圖 3圖 4如圖 4，當(dāng) BCP 90°時(shí)， BP 2BC 8所以 AP 2所以AP2 3 所以 APD 60°此時(shí) APD CBPAD233綜上所述，當(dāng)x 2 時(shí)， APD CBP（ 3）如圖 5，設(shè) ADP的外接圓的圓心為G，那么點(diǎn) G是斜邊 DP的中點(diǎn)設(shè) PCB的外接圓的圓心為O，那么點(diǎn) O在 BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點(diǎn) E，與 AB交于點(diǎn) F設(shè) AP2m作 OM BP于 M，那么 BM PM5m在 Rt BEF中， BE 2， B 60°，所以 BF

12、 4在 Rt OFM中， FM BF BM 4 (5 ) 1，30°，所以31) m mOFMOM( m3222m)21 (m22222所以 OB BM OM (51)2 在 Rt ADP中，DP AD AP12 4m所以 GP32223 m2(5 m) 21 (m1)2 3 m于是 S S1 S2 (GP OB) 3文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(7 m232m 85) 所以當(dāng) m16 時(shí)， S 取得最小值，最小值為113 377圖 5圖 6考點(diǎn)伸展 關(guān)于第（ 3）題，我們?cè)儆懻搨€(gè)問(wèn)題問(wèn)題 1，為什么設(shè) AP 2m呢？這是因?yàn)榫€段 AB AP PM BM AP 2BM10這樣 BM5 m，后續(xù)可以減

13、少一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算這不影響求S的最小值問(wèn)題 2，如果圓心 O在線段 EF的延長(zhǎng)線上， S 關(guān)于 m的解析式是什么？如圖 6，圓心 O在線段 EF的延長(zhǎng)線上時(shí)，不同的是FMBM BF(5 m) 4 1 m此時(shí)222m)212這并不影響 S關(guān)于 m的解析式OB BMOM (5(1m)3例 32015年湖南省湘西市中考第26 題如圖 1，已知直線 y x 3 與 x 軸、 y 軸分別交于A、B 兩點(diǎn)，拋物線 y x2 bxc經(jīng)過(guò) A、 B兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在線段 OA上，從 點(diǎn) O出發(fā)，向點(diǎn)A 以每秒 1 個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn) Q在線段 AB上，從點(diǎn) A 出發(fā)，向點(diǎn) B以每秒2 個(gè)單位的速度勻速運(yùn)

14、動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）問(wèn)：當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ為直角三角形；（ 3）過(guò)點(diǎn) P作 PE/ y 軸，交 AB于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) Q作 QF/ y 軸，交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié) EF，當(dāng) EF/ PQ時(shí)，求點(diǎn) F 的坐標(biāo)；（ 4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連結(jié) BP、 BM、 MQ，問(wèn)：是否存在t 的值，使以 B、Q、 M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)、 B、 P 為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖 1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 15 湘西 26”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在 OA上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APQ有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有

15、一個(gè)時(shí)刻可以成為平行四邊形，MBQ與BOP思路點(diǎn)撥有一次機(jī)會(huì)相似1在 APQ中， A45°，夾 A 的兩條邊 AP、AQ都可以用 t 表示，分兩種情況討論直角三角形 2先用含t的式子表示點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)、F的坐標(biāo)，根據(jù)APQP QEPEQF 列方程就好了 3 MBQ與 BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對(duì)應(yīng)成比例分兩種情況討論 圖文解析 （ 1）由 y x 3，得 A(3, 0) ， B(0, 3)將 A(3, 0) 、 B(0,3)分別代入 y x2 bx c，得9 3bc0, 解得 b2,c3.c3.所以拋物線的解析式為y2 2 3xx（ 2）在中， 45°，3，2

16、 t分兩種情況討論直角三角形：APQPAQAPtAQAPQ當(dāng) 90°時(shí)，解方程 3 2，得t 1（如圖 2）PQAAP2 AQtt當(dāng) 90°時(shí)，解方程2 t2(3 t) ，得t1.5 （如圖 3）QPAAQ2 AP文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖 2圖3圖4圖 5（ 3）如圖4，因?yàn)?PE/ QF，當(dāng) EF/PQ時(shí)，四邊形EPQF是平行四邊形所以 EPFQ所以 y y y y 因?yàn)?x t ，x 3 t ，所以 y 3 t ，y t ，y (3EPFQPQEQF t ) 2 2(3 t ) 3 t2 4t 因?yàn)?yE yP yF yQ，解方程 3t ( t 2 4t ) t ，得 t 1，或

17、 t 3（舍去）所以點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 (2, 3) （ 4）由 x2 23 (x 1)2 4，得 (1, 4) yxM由 A(3, 0)、 B(0,3)，可知 A、 B兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，AB 32 由 B(0, 3)、 M(1,4)，可知 B、 M兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，BM2所以 MBQ BOP90°因此 MBQ與 BOP相似存在兩種可能：當(dāng) BMOB 時(shí)，3223 解得 t9 （如圖 5）BQOP2tt4當(dāng) BMOP 時(shí)，322t 整理，得 t 2 3t 3 0此方程無(wú)實(shí)根BQOB2t3考點(diǎn)伸展第（ 3）題也可以用坐標(biāo)平移的方法：由P tE t, 3tt,t

18、) ，按(,0)，() ， Q(3照 P E 方向，將點(diǎn) Q向上平移，得 F(3 t , 3)再將 F(3 t , 3) 代入 y x2 2x 3，得t 1，或 t 3 §12因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題課前導(dǎo)學(xué)1已知線段2已知線段我們先回顧兩個(gè)畫(huà)圖問(wèn)題：AB 5 厘米，以線段 AB為腰的等腰三角形 ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn) C的軌跡是什么？AB 6 厘米，以線段 AB為底邊的等腰三角形 ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn) C的軌跡是什么？已知腰長(zhǎng)畫(huà)等腰三角形用圓規(guī)畫(huà)圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C已知底邊畫(huà)等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，一般都要

19、先分類(lèi)如果 ABC是等腰三角形，那么存在ABAC， BA BC， CA CB三種情況解等腰三角形的存在性問(wèn)題， 有幾何法和代數(shù)法， 把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合， 可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算哪些題目適合用幾何法呢？如果 ABC的 A（的余弦值） 是確定的， 夾 A 的兩邊 AB和 AC可以用含 x 的式子表示出來(lái)，那么就用幾何法如圖1，如果 AB AC，直接列方程；如圖2，如果 BA BC，那么1AC AB cos A ；如圖3，如果CACB1AB AC cosA 2，那么2代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類(lèi)列方程，解方程并檢驗(yàn)如果三角形的三個(gè)角都是不確定的， 而三個(gè)頂

20、點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含 x 的式子表示出來(lái)， 那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長(zhǎng)（的平方）就可以羅列出來(lái)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖 1圖 2圖 3圖 1例 92014年長(zhǎng)沙市中考第26 題如圖 1，拋物線 y ax2bx c（ a、b、c 是常數(shù)， a 0）的對(duì)稱(chēng)軸為 y 軸，且經(jīng)過(guò) (0,0)和 (a,1) 兩點(diǎn)，點(diǎn) P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P 為圓心的 P 總經(jīng)過(guò)定點(diǎn) A(0, 2) 16（ 1）求 a、 b、c 的值；（ 2）求證：在點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與 x 軸相交；（ 3）設(shè) P與x軸相交于 (1, 0)、 (2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)M xN xAMN動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何

21、畫(huà)板文件名“14 長(zhǎng)沙 26”，拖動(dòng)圓心 P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與 x 軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況思路點(diǎn)撥 1不算不知道，一算真奇妙，原來(lái)P 在 x 軸上截得的弦長(zhǎng)MN 4 是定值2等腰三角形 AMN存在五種情況，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有三個(gè)值，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，MA MN和 NA NM時(shí)，點(diǎn) P的縱坐標(biāo)是相等的圖文解析 （ 1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0) ，所以 y ax2所以 b 0， c 0將 (a , 1 ) 代入 yax2，得 1a2 解得 a1 （舍去了負(fù)值） 16164（ 2）拋物線的解析式為y1 x2 ，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x, 1 x2 ) 44已知(0, 2

22、)，所以PAx2122)214412A( x16x4x 14而圓心 P 到 x 軸的距離為x2 ，所以半徑 PA圓心 P 到 x 軸的距離4所以在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與 x 軸相交（ 3）如圖 2，設(shè)的中點(diǎn)為，那么垂直平分MNHPHMN在 Rt PMH中，PM2PA21x44， PH21x)2142 416(16x ，所以MH4所以 MH 2因此 MN 4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng) AM AN時(shí)，點(diǎn) P 為原點(diǎn) O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 0圖 2圖3圖4圖 5如圖 4，當(dāng) MA MN時(shí)，在 Rt AOM中， OA2， AM4，所以O(shè)M2 3此時(shí) x OH 2 3 2

23、所以點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 1x21(2 32) 2(31)24 2344如圖 5，當(dāng) NANM時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn) P的縱坐標(biāo)為也為423如圖 6，當(dāng) NA NM 4 時(shí)，在 Rt AON中， OA 2， AN4，所以O(shè)N 23 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)此時(shí)x 2 32 所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為12122OHx(23 2)(31) 42344如圖7，當(dāng) 4 時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為 42 3 MN MA圖 6圖 7考點(diǎn)伸展 如果點(diǎn) P 在拋物線 y1x2 上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P 為圓心的 P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(0, 1)，4那么在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， P 始終與直線 y 1 相切這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x,1

24、x2 ) 已知 B(0,1) ，所以 PBx2( 1 x21)2( 1 x21)21 x21 4444而圓心 P 到直線 y 1 的距離也為124x 1 ，所以半徑 PB圓心 P 到直線 y 1 的距離所以在點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與直線 y 1 相切例 102014年湖南省張家界市中考第25 題如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y ax2bx c（a 0）過(guò) O、 B、 C三點(diǎn)， B、C坐標(biāo)分別為 (10, 0)和 (18,24) ，以 OB為直徑的 A 經(jīng)過(guò) C點(diǎn)，55直線l垂直x軸于B點(diǎn)（1）求直線的解析式；（ 2）BC求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（ 3）點(diǎn) M是 A

25、上一動(dòng)點(diǎn)（不同于 O、B），過(guò)點(diǎn) M作 A 的切線，交 y 軸于點(diǎn) E，交直線 l 于點(diǎn) F，設(shè)線段 ME長(zhǎng)為 m，MF長(zhǎng)為 n，請(qǐng)猜想 mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點(diǎn) P 從 O出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q同時(shí)從 B 出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t （ 0 t 8）秒時(shí)恰好使BPQ為等腰三角形，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的t 值圖 1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14 張家界25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， EAF保持直角三角形的形狀， AM是斜邊上的高拖動(dòng)點(diǎn)Q在 BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，BPQ有三個(gè)時(shí)刻可以成為等腰三角形思路點(diǎn)撥 1從直線 BC的解析

26、式可以得到OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊 2設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡(jiǎn)便3第（ 3）題連結(jié) AE、 AF容易看到 AM是直角三角形 EAF斜邊上的高 4 第（ 4）題的 PBQ中， B 是確定的，夾 B 的兩條邊可以用含 t 的式子表示分三種情況討論等腰三角形圖文解析 （ 1）直線 BC的解析式為 y3 x15 （2）因?yàn)閽佄锞€與x 軸交于 O、B(10, 0)42兩點(diǎn)，設(shè) y ax( x10) 代入點(diǎn) C 1824，得 241832)解得5 ( ,)5a(a555524文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)所以 y5x( x 10)5x225x5(x 5)2125 拋物線的頂2424122424點(diǎn)為

27、 (5,125) （3）如圖2，因?yàn)?EF 切 A 于 M，所以 AM EF由24， ，可得 Rt RtAEAEAO AMAOEAME所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90°所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 MAME MFMA所以· 2，即 25ME MF MAmn圖 2（ 4）在 BPQ中， cos B 4 ，BP 10t ， BQ t 分三種情況討論等腰三角形BPQ：5如圖 3，當(dāng)時(shí)， 10tt解得t 5BP BQ如圖 4，當(dāng) PB PQ時(shí)， 1BQBP cosB 解方程 1t4(10t) ，得 t80 22513 如圖 5，當(dāng)時(shí)， 1BPBQ cos

28、B 解方程1(10t)450QB QP22t ，得 t135圖3圖4圖5圖6考點(diǎn)伸展 在第（ 3）題條件下，以EF為直徑的 G與 x 軸相切于點(diǎn)A如圖 6，這是因?yàn)?AG既是直角三角形EAF斜邊上的中線， 也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心 G到 x 軸的距離等于圓的半徑，所以G與 x 軸相切于點(diǎn)A例 112014年湖南省邵陽(yáng)市中考第26 題在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線 yx2( m n) xmn（ m n）與 x 軸相交于 A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 位于點(diǎn) B的右側(cè)），與 y 軸相交于點(diǎn) C（ 1）若 m 2，n 1，求 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）若 A、 B 兩點(diǎn)分別位于 y 軸的兩側(cè)

29、， C點(diǎn)坐標(biāo)是 (0, 1) ，求 ACB的大??；（ 3）若 m 2， ABC是等腰三角形，求 n 的值 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14 邵陽(yáng) 26”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動(dòng)點(diǎn)A 在 x 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，ABC保持直角三角形的形狀點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)，觀察的頂點(diǎn)能否落在對(duì)邊的垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰ABC三角形 ABC有 4 種情況 思路點(diǎn)撥1拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式，用，表示點(diǎn)、 、的坐標(biāo)m nA B C2第（ 2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3第（ 3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長(zhǎng)

30、（的平方）羅列出來(lái)，再分類(lèi)解方程圖文解析 （ 1）由 y x2 ( mn) x mn( x m)( x n) ，且 m n，點(diǎn) A 位于點(diǎn) B 的右側(cè)，可知 A( m, 0) ， B( n, 0) 若 m 2， n 1，那么 A(2, 0) ， B(1, 0) 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 2）如圖1，由于 C(0,mn) ，當(dāng)點(diǎn) C的坐標(biāo)是 (0, 1) ， mn 1， OC 1若 A、 B兩點(diǎn)分別位于 y 軸的兩側(cè)，那么OA· OB m( n) mn 1所以 OC OA· OB所以 OCOB 2OAOC所以 tan 1 tan 2所以 1 2又因?yàn)?1 與 3 互余，所以2與3互余所

31、以 ACB 90°（ 3）在 ABC中，已知 A(2, 0)， B( n, 0) ， C(0, 2n) 討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間的距離公式，得22AB ( n 2) ，25 2，24 42當(dāng)時(shí)，解方程 (n2)2 4 4 2，得n4（如圖 2）BCnACnABACn34 4 252，得當(dāng)時(shí)，解方程n 2（如圖 3），或2（ 、重合，舍CACBnnnA B去）當(dāng)時(shí)，解方程 (2)2 52，得n51（如圖 4），或 n51（如圖5）BABCnn22圖 1圖 2圖3圖4圖 5考點(diǎn)伸展 第（ 2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理由于 C(0,mn) ，當(dāng)點(diǎn) C的坐標(biāo)

32、是 (0, 1) ， mn 1由(,0)， (, 0)， (0,1)，得2() 222 2 2 22，A mB nCAB m nm mn n m n2222222BC n 1， AC m 1所以 AB BCAC于是得到 Rt ABC， ACB 90°第（ 3）題在討論等腰三角形時(shí)，對(duì)于的情況，此時(shí)、兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)ABCCA CBA B稱(chēng)，可以直接寫(xiě)出 B( 2,0) ， n 2例 122014年湖南省婁底市中考第27 題如圖 1，在 ABC中， ACB 90°， AC 4cm，BC 3cm如果點(diǎn) P 由點(diǎn) B出發(fā)沿 BA方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)點(diǎn) Q由點(diǎn) A出發(fā)沿 A

33、C方向向點(diǎn) C勻速運(yùn)動(dòng)， 它們的速度均為 1cm/s 連結(jié) PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t （ s）（ 0 t 4），解答下列問(wèn)題： （ 1）設(shè) APQ的面積為 S，當(dāng) t 為何值時(shí)， S取得最大值？ S的最大值是多少？（ 2）如圖 2，連結(jié) PC，將 PQC沿 QC翻折，得到四邊形 PQP C，當(dāng)四邊形 PQPC為菱形時(shí)，求 t 的值；（ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ是等腰三角形？圖1圖2圖3圖4動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14 婁底 27”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在 AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到 AB的中點(diǎn)時(shí)， APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況還可以體文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)到，當(dāng) QC 2HC時(shí)，四邊形 PQP C是菱形思路點(diǎn)撥1在 APQ中， A 是確定的，夾A的兩條邊可以用含t 的式子表示2四邊形PQP C的對(duì)角線保持垂直，當(dāng)對(duì)角線互相平分時(shí)，它是菱形，圖文解析（ 1）在 RtABCACBCABAA4 中， 4， 3，所以5， sin3 ，cos55作 QD AB于 D，那么 QDAQsin A 3 t 所以 S S APQ 1 AP QD 1 (5 t)3 t 52