導(dǎo)數(shù)壓軸題中的零點(diǎn)問題(找點(diǎn)技巧和常見模型)

1、導(dǎo)數(shù)大題的常用找點(diǎn)技巧和常見模型湖南邵陽楊歆琪【引子】（ 2017 年全國新課標(biāo)1·理· 21）已知 fxae2xa 2 exx .（ 1）討論 fx 的單調(diào)性；（ 2）若 f x有兩個(gè)零點(diǎn)，求a 的取值范圍 .解析：（ 1） f ' x2ae2 xa 2 ex1 2ex1aex 1若 a0 ，則 f' x0 恒成立，所以f x 在 R 上遞減；若 a0 ，令 f ' x0 ，得 ex1 , x ln 1 .aa當(dāng) xln 1時(shí)， f 'x0，所以 fx 在,ln 1上遞減；aa當(dāng) xln 1時(shí)， f 'x0，所以 fx 在 ln1,

2、上遞增 .aa綜上，當(dāng) a 0時(shí)， fx 在 R 上遞減；當(dāng) a0 時(shí)， fx在,ln1上遞減，在ln1,aa上遞增 .（ 2） fx有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足fx min0，即 a0 ，且 f x minfln 11 1ln 10 .aaa構(gòu)造函數(shù) gx1xln x ， x0 .易得 g ' x11x1 xln x 單調(diào)遞減 .0 ，所以 gx又因?yàn)?g 10，所以 11ln 10g1g 1110a1 .aaaa下面只要證明當(dāng)0a1時(shí)， fx有兩個(gè)零點(diǎn)即可，為此我們先證明當(dāng)x0 時(shí)， x ln x .事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)h xxln x ，易得 h 'x11 ， hx minh11 ，

3、所以 h x0 ，即 x ln x .x當(dāng) 0a1時(shí)， f1aa21aeae22e2ee20 ，3a323333f lnaa 21 ln110 ，a1aa1 lnaaa其中1ln 1， ln 3aln 1，所以 fx在1,ln 1和 ln 1 ,ln 3a上各有一個(gè)零點(diǎn) .aaaaaa故 a 的取值范圍是0,1.注意： 取點(diǎn)過程用到了常用放縮技巧。一方面： ae2 xa 2 exx 0ae2 xa2 exex0aexa30 ex 3 ax ln 31 ；aa另一方面： x0 時(shí)， ae2xa2 exx 0a2 exx 0x1（目測的）常用的放縮公式 （考試時(shí)需給出證明過程）第一組：對(duì)數(shù)放縮（放

4、縮成一次函數(shù)）（放縮成雙撇函數(shù)）ln x x 1， ln xx ， ln 1 xx ， ln xx .eln x1x1x 1 ， ln x1x10 x 1 ，2x2xln xx1x 1 ， ln xx10 x 1 ，xx（放縮成二次函數(shù)）ln xx2x ， ln 1xx1 x21x0 ， ln 1xx1 x2x 022（放縮成類反比例函數(shù)）ln x11 ， ln x2x10x1， lnx12xx0xx1x 2ln 1 xx， ln x2x1x 1， ln 1 x2xx 01x12xx第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）exx1， exx， exex ，（放縮成類反比例函數(shù)）ex1x0， ex1x

5、0，1xx（放縮成二次函數(shù)）exx2 ， ex1x1 x2x0，2第三組：指對(duì)放縮exln xx1x12第四組：三角函數(shù)放縮sin xxtan x x0， sin xx1 x2， 11 x2cos x11 sin2x .222第五組：以直線yx1為切線的函數(shù)y ln x ， y ex 11， y x2x ， y11 ， y x ln x .x常用的找點(diǎn)技巧方法一：放縮法。成功關(guān)鍵：在目標(biāo)區(qū)間上找到一個(gè)合適的逼近函數(shù).【示例】證明：當(dāng)01時(shí)， fxln xax 有兩個(gè)零點(diǎn) .ae分析：極值點(diǎn)為x11ln11 0 ，所以需要在左右兩側(cè)各找一個(gè)函數(shù)值小于零的點(diǎn).（大于 e ）， faaa因?yàn)?ln

6、x x 1 ，要使得 ln xax0 ，只需要 x1ax0 ，即 x1 ，考慮到 0 a1 ，所以11,e，1ae1 ae1所以左側(cè)可?。篺1a0 ，f1ln111a11a0；1aaa1a1a另一方面：因?yàn)?ln xx x1 或 ln xx1x1 ，要使得 ln xax0 ，只需要x ax 0 ，即 x12，所以xa右側(cè)可?。篺1ln1 11 a1a 0 .22aaaaa方法二：目測法。成功關(guān)鍵：數(shù)感與大膽.【示例】證明：當(dāng)a e時(shí)， fx exax 有兩個(gè)零點(diǎn) .分析：極值點(diǎn)為x ln a （大于1）， f nl aa 1 nl a 0，所以需要在左右兩側(cè)各找一個(gè)函數(shù)值大于零的點(diǎn).左側(cè)，自變

7、量越小，成功的可能性越高，則可找：f 111ea1 0 ， f 01 0 ， f 1a 0 .ae右側(cè)，自變量越大，成功的可能性越高，則可找：f2ln ae2ln a2a ln aa a2ln a0 ， faeaa20 .方法三：分而治之。成功關(guān)鍵：對(duì)乘積式的每個(gè)因式進(jìn)行適當(dāng)放縮.【示例】證明：當(dāng)a0 時(shí)， fxx2exa x 12有兩個(gè)零點(diǎn) .分析：極值點(diǎn)為 x1， f 1e 0 ， f2a0 ，難點(diǎn)是在1 的左側(cè)找一個(gè)函數(shù)值大于零的點(diǎn)，顯然自變量越小越容易成功，要使得x 2 exa x1 20，即 a x 1 22x ex ，只需要滿足aex2 ，x 12 x即取 b 滿足 b15 且 b

8、 ln a 即可使得 f b 0 .2很明顯，上述拆分已經(jīng)達(dá)到目的，但是結(jié)果還可以從視覺上優(yōu)化：優(yōu)化：弱化 x 121 且 bln a 也可使得 f b 0 .2 x 的解，也就是取 b優(yōu)化：為了使得解集更好看，配湊一下系數(shù)，使得該二次不等式常數(shù)項(xiàng)為0，即aex22，2 xx1 2所以，取 b 滿足 b0 且 bln a 即可使得 f b0 .（這就解釋了2016 年全國卷標(biāo)準(zhǔn)答案中找點(diǎn)的思路）2方法四：分析與構(gòu)造。成功關(guān)鍵：分析零點(diǎn)區(qū)間隨參數(shù)變化的趨勢，構(gòu)造與之相匹配的代數(shù)式作為區(qū)間端點(diǎn).【示例】證明：當(dāng)0a2xa x ln x 有兩個(gè)零點(diǎn) .時(shí)， fe分析：極值點(diǎn)為x1（接近0）， f12

9、0 ，顯然 f 1a01的左側(cè)找一個(gè)函數(shù)值大于e22a，難點(diǎn)是在 2 1eee零的點(diǎn)，顯然點(diǎn)應(yīng)滿足如下幾個(gè)條件：始終為正數(shù)；既能開根，也能取對(duì)數(shù)；當(dāng) a 越小時(shí)，它也隨之變小，并且能無限趨于零.從條件來看，我們應(yīng)該取指數(shù)的形式，且最好為偶次冪，從條件來看，我們找的指數(shù)當(dāng)趨于0 時(shí)應(yīng)趨于負(fù)無窮，所以可取反比例函數(shù)的形式或雙撇函數(shù)的形式，經(jīng)過嘗試與調(diào)整，找可找到如下的點(diǎn)：444aafeaaaaa0.24ea2a方法五：局部構(gòu)造 . 成功關(guān)鍵：舍去一些影響計(jì)算但是不影響符號(hào)判斷的項(xiàng)，對(duì)剩下的部分進(jìn)行解方程的操作 .【示例】證明：當(dāng)1a0時(shí)， fxa ln x 11有兩個(gè)零點(diǎn) .x分析：極值點(diǎn)為x1

10、（大于 1），且 f1a ln11 aa111a 0 ，aaaa又 f 10 ，所以只需在1 的右側(cè)找一個(gè)函數(shù)值小于0 的點(diǎn) . 即找到一個(gè) x1 使得 a ln x 110 ，aax考慮到1a ln x10 即可，因此我們得到下面這個(gè)點(diǎn)：0 是恒成立的，所以取x1111且 fe aea0 ，其中 e a.a1所以有兩個(gè)零點(diǎn)，x10 ， x21 , e aa幾個(gè)經(jīng)典函數(shù)模型經(jīng)典模型一： yln x 或 yx .xln x【例 1】討論函數(shù) fxln xax的零點(diǎn)個(gè)數(shù) .（ 1） a1 時(shí)，無零點(diǎn) .ef'x1a ， fx maxf1110 .xalna（ 2） a1時(shí)， 1個(gè)零點(diǎn) .e

11、f'x11， fx maxfeln e10 .xe1（3）當(dāng) 0a時(shí)， 2個(gè)零點(diǎn) .ef 1a0（目測）， f1ln1a11a0，其中 11e .（放縮）1 a1 a 1 a 1 a1 a1 afe1ea0 .f1ln1111a0 ，其中12e .（用到了 ln x1x 1 ）a22aaaa2exaax（ 4）當(dāng) a0時(shí)， 1個(gè)零點(diǎn) .f 'x1a0，單調(diào)遞增 .f 1a0 ，xa11a11a11f eaaaeaa1a0.aae2e2af eaa aeaa 1 ea0 .【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1： fxln xax ）：1.討論 fxln xmx 的零點(diǎn)

12、個(gè)數(shù) （令xma ）；t ，22.討論 fxxmln x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) （令 1a ）；m3.討論 fxx ln xmx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) （考慮 gxfx）；xln x33 m4.討論 fxmx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 考慮 gxx fx，令 tx2 ，a ）；x25.討論 fxln xmx2 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 令 tx2 ，2m a ）；6.討論 fxaxex 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) （令 ext） .經(jīng)典模型二： yex或 yexxx【例 2】討論函數(shù) fxexax 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) .（ 1） a 0 時(shí)， 1 個(gè)零點(diǎn) .f ' x exa0 ， fx ex ax 單調(diào)遞增 .111且 f01 a 0 ， fea10

13、 ，所以在,0上有一個(gè)零點(diǎn)；aa（ 2） a0 時(shí)，無零點(diǎn) .fxex0恒成立；（ 3） 0ae 時(shí)，無零點(diǎn) .fx minfln aa 1ln a0 ；（ 4） ae 時(shí)， 2 個(gè)零點(diǎn) .11fea1 0 ， f 1e a 0 ， f 2ln a a a 2ln a a e 2 0 .a【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2： fx exax ）：1.討論 fxe2xmx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 令 2x t ， ma ）；22.討論 fxexm的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 去分母后與1等價(jià)）；xex3.討論 fxexmx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 移項(xiàng)平方后與1等價(jià)）；4.討論 fxexmx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 移項(xiàng)開方

14、后換元與 1 等價(jià)）；5.討論 fxex1mx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 乘以系數(shù) e，令 ema ）；6.討論fxln xmx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 令 x et2，轉(zhuǎn)化成 ）x7.討論 fxex1mx m 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ 令 x1t ， ma ）；e2經(jīng)典模型三： yx ln x 或 yxex【例】討論函數(shù)fxln xa的零點(diǎn)個(gè)數(shù) .（ 1） a0x時(shí)，1個(gè)零點(diǎn) .f 'xxa0， fxln xa單調(diào)遞增 .x2xf 1a 0 ， f 1 aln 1 aa1a1 a1a0 .11 a（ 2） a0時(shí)， 1 個(gè)零點(diǎn) （ x01） .（ 3） a1 時(shí)，無零點(diǎn) .ef 'xxax minfalna10x2， f（ 4） a1時(shí)， 1個(gè)零點(diǎn) .ex01. fxminf1ln11 0eee（ 5）1a 0 時(shí)， 2 個(gè)零點(diǎn) .ef a2ln a2 1a11a 0 ， f11 ea 0 ， f 1a 0 ，aaae【變式】（經(jīng)過換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3： fxln xa ）：1x1.討論 fxa ln x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；x2.討論 fxmx ln x