2015年高考理科數(shù)學試題全國卷

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學第I卷.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)設復數(shù)z滿足-=i ,則|z| =(A)11 z(B) 2(C) 3(D)29(2)sin20cos10cos160sin10(A)設命題p：(A)(C)3(B) 22 o1n > 21(C)2P為1(D)-22n2n>2(B)(D)n2< 2=2n(4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(A) 0. 648(B) 0. 4

2、32(C)0. 36(D)0. 312(5)已知M(X0, y0)是雙曲線C:x2y2 1上的一點，F(xiàn)1、F2是C上的兩個焦點，若ME MF2 <0,則y。的取值范圍是B)(33屋T)(C)(2 22 2丁)(D)( 2-3,=)33(6)九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一 ) 米堆底部的弧度為 8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少 ？”已知1斛米的體積約 為1.62立方尺，圓周率約為 3,估算出堆放斛的米約有(A)14 斛設D為

3、eABC所在可面內(nèi)一點T 1AB(B)22 斛tC(C)36 斛(D)66 斛(A)4AC3 .4 AB3(B) AD(D) AD(8)函數(shù)f(x) =85 fSM + lp的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(A)( kurL+二)，k三工(b)( Zkn 二.2kn 41一), 44(C)( k-,k-), k£ Z(D)(2k-.2k-) , k三 N44一(9)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01,則輸出的n =(A)5(B)6 (C)7 (D)8(10) (x2 x y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(A)10(B)20(C)30(D)60(11)圓柱被一個

4、平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,(12)該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的(13)表面積為16 + 20 ,則r =(A)1(B)2(C)4(D)812.設函數(shù)f(x) = ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)xo,使得f(xo) : 0,A. , 1) B.2e則a的取值范圍是()3 3 一,一) 2e 43 3、 C.,-) 2e 4a/，1)第II卷俯視圖、填空題：本大題共 3小題，每小題5分(13)若函數(shù) f(x)= xln(x+ Va2、x )為偶函數(shù)，則a =x2(14) 一個圓經(jīng)過橢圓一162y4x(15)若x, y

5、滿足約束條件1的三個頂點，且圓心在 x軸上，則該圓的標準方程為1 0y 0 ，則 ' 的最大值為xy 4 0(16)在平面四邊形ABCD中，/A=/B=/C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是.三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分12分)&為數(shù)列an的前n項和.已知an>0,巧-Wi3tl=4Sn-F3(I)求2門的通項公式：(n)設晨=,求數(shù)歹U的前n項和£2fSjt-4-ILiIWABCD,(18)如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE,平面DFL平面AB

6、CD,BE=2DF,AEXEC.(1)證明：平面AECL平面AFC(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值E(19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單年 銷 售 縣 里/t14 x4 yw84(xi- x)2i=18 . L(Wi W ) i=18 .(xi x)(yi- i=14y)8(Wi 41.W)(yL y )46.656.36.8289.81.61469108.8年宣傳費(千元)年山川118表中 Wi = Jxi , , w = -wi8 i=i位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費Xi和年銷售量yi(i=1,

7、2,，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值(I)根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dJX哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(n)根據(jù)(I)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；(出)以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為z=0.2yx.根據(jù)(n)的結果回答下列問題:(i )年宣傳費(ii )年宣傳費附：對于一組數(shù)據(jù)(Ui 二乘估計分別為：n_(Ui U)(Vi V)i 1n，2(Ui u)i 1x= 49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少? x為何值時，年利率的預報值最大？vi)(U2 V2) (Un Vn),其回

8、歸線 V =U的斜率和截距的最小(20)(本小題滿分12分)2x在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線l:y=kx+a(a>0)父于M,N兩點,4(I)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(H)y軸上是否存在點P,使得當k變動時，總有/OPM=/OPN?說明理由.(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3ax,g(x)lnx4(I)當a為何值時，x軸為曲線yf(x)的切線；(n)用minm,n表示m,n中的最小值，設函數(shù)h(x)minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點的個數(shù)請考生在(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多

9、做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.(22)(本題滿分10分)選彳41:幾何證明選講如圖，AB是。的直徑，AC是。的切線，BC交。于點E(I) 若D為AC的中點，證明：DE是。的切線;(II)若OA=J3CE,求/ACB的大小.(23)(本小題滿分10分)選彳4>44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中.直線C1：x=2,圓C2：(x1)2+(y2)2=1,以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(II) 求C1，C2的極坐標方程；(III) 若直線C3的極坐標方程為一R,設C2與C3的交點為M,N,求ACaMN的面積4(24)(

10、本小題滿分10分)選彳45:不等式選講已知函數(shù)=|x+1|2|x-a|,a>0.(I)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(n)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題答案A卷選擇題答案一、選擇題(1) A(2) D(3) C(7) A(8) D(9) CA、B卷非選擇題答案二、填空題(13) 1(14) (x 3-)2 y2 2524(4) A(5) A(6) B(10) C(11) B(12) D(16) + 揚(15) 3二、解答題(17)解：i2_2_(I)由an2an4Sn3,可知an12an14S

11、n13.可得a21a22(an1a)4an1即2(an1an)an1an(an1a)(an1a)由于an0可得an1an2.又a22al4a13,解得41(舍去)，a13所以an是首相為3,公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(II)由an2n1bn1ana 11(2n 1)(2 n 3)設數(shù)列bn的前n項和為Tn,則Tnb1b2Wbn1 (35) (517)III1 (2n1)(2n在直角梯形 BDFE中，由BD=2EG AC.在 Rt EBG 中, 一 6 6FDG中，可得FG= .- 4BE= «2 , DF= 一 ,可得FE=W2.從而EG2 FG2 2EF2,所以 E

12、G FGn3(2n3)(18)解：(I)連結BD,設BDpAC=G,連結EG,FG,EF.在菱形ABCD中不妨設GB=1.由ABC=120°,可得AG=GC=百.由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AEEC,所以EG=33,且可得BE=:2故DF=£.在Rt又AC口FGG,可得EG平面AFC.因為EG平面AEC所以平面AEC平面AFC(III) W圖，以G為坐標原點，分別以 GB, GC的方向為x軸，y軸正方向, GBi為單位長，建立空間直角坐標系 G-xyz.由(I)可得 A(0, 6。)，E(1Q,揚，F(xiàn)所以直線AE與直線CF所成直角的余弦值為-y .(1,

13、0, J),C(0,石0)所以 cos對"弱手(19)解：(I)由散點圖可以判斷，y c djx適宜作為年銷售量型。y關于年宣傳費x的回歸方程類2分(II)令 wd?Jx,先建立y關于w的線性回歸方程。由于n(Wi W)( yi y) i 1 n(Wi w) i 1y dW 563 68108.81.6686.8 100.6。因此y關于x的回歸方程為6分所以y關于w的線性回歸方程為P100.668w,?100.668,X。(III)由(II)知，當x=49時，年銷售量y的預報值?100.66849576.6年利潤z的預報值576.60.24966.32。(ii)根據(jù)(II)的結果知，

14、年利潤z的預報值?0.2(100.668x)xx13.6.x20.12所以當7x6.8,即x=46.24時，？取得最大值2故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大。12分(20)解：2(I)有題設可得M(2Ta,a),N(2點舊),或M(-2J0>).又y=二，故y上在x2H24處的導數(shù)值為ja,c在點(2ja,a)出的切線方程為ya區(qū)(x2后),即VOXya02y在x2后，即/aXya0.4股所求切線方程為.axya0和'Exya0(III)存在符合題意的點，證明如下：設P(0,b)為符合題意的點，M(x,y),N(x,y)直線PM,PN的斜率分別為k1,k2ykxa代

15、入C的方程得x24kx4a0.故x1x24Kxix24a.從而kxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k,x1x24a.從而k1k2b七一bxix22kx1x2(ab)(x1x2)xx2k(ab)OP的OPN所以點P(0,-a)符合題意當b=-a時，有kik20,則直線PM的傾角與直線PN勺傾角互補，故(21)解：(x0,0)則f(x0)0,f(%)0即31c,x0ax0-0(I)設曲線y=f(x)與x軸相切于點43x2a0解得x0，a3243因此，當a時，x軸為曲線yf(x)的切線4(II)當)無零點x(1,)時，g(x)inx0,從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,

16、故h(x)在(1,55一當x1時，右a一則f(1)a-0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x445一，一一一.，是h(x)的零點；若a,則f(1)<0,h(1)=minf(1),g(1)f(1)0,故x1不是h(x的零點4當x(0,1)時，g(x)1nx0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù)15 ,f(0) -, f(1)a 5,所以當 a44(i)若a-3或a0,則f(x)=3x2+a在(1,0)無零點，故f(x)在(0,1)單調(diào)-3時，f(x)在(0,1)有一個零點；當a0時f(x)在(1,0)沒有零點(ii)若 3 a當x 時,0,1 )中0,則f(x)在(0

17、,ja)單調(diào)遞減，在(aa,1)單調(diào)遞增，故在(f(x)取得最小值，最小值為f(J)g若f(Ja)0即?a0,f(x)在(0,1)無零點;若f(J|)=0,即a=-;則f(x)在(0,1)有唯一零點5 .時，f(x)在(0,1)有一個零點.43 5 一，一 .一.一或a -時，h(x)有兩個苓點4 4若f(Ja)0,即3a3,由于f(0)1,f(1)a-5a時，f(x)在(0,1)有兩個零點；當-3<a綜上，當3 5.一.a一或a<-時，h(x)有一個苓點；當a4 45 3.當一a-時，h(x)有二個苓點.6 4(22)解：(I)鏈接AE,由已知得，AEBCACAB在RtAEC中，由已知得，DE=DC故DECDCE鏈接OE,貝UOBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90故OED90o,DE是0O得切線(II)設CE=1,AE=X,由已知得AB2向，BE，12x2由攝影定理可得，AE=CE.BE,所以x2J12x2即x4x2120可得x、.3,所以ACB600cos 2 , C2的極坐標方程5分3 J24 0,解得 i 2 J2 ,10分(23)解:(I)因為xcos,ysin,所以C1的極坐標方程為2為2cos4sin40。(II)將一代入22cos4sin40,得242夜。