有限元分析 均布荷載作用下深梁的變形和應(yīng)力

1、有限元分析上級報告學(xué)院:專業(yè):姓名:班級:學(xué)號:均布荷載作用下深梁的變形和應(yīng)力兩端簡支,長度l=5m,高度h=1m的深梁,在均布荷載q =5000N/m作用下發(fā)生平面彎曲(如圖4.1所示。已知彈性模量為30Gpa,泊松比為0.3,試利用平面應(yīng)力單元PLANE82,確定跨中的最大撓度,和上下邊緣的最大拉壓應(yīng)力。 4.1 均布荷載作用下深梁計算模型1.理論解具有兩個簡支支座支承的簡支梁,它的變形和應(yīng)力分布在理論上是沒有解析表達式。在一般的彈性力學(xué)教科書中,只有將兩邊支座簡化為等效力的條件,即在兩個支座的側(cè)表面上作用有均勻分布的剪力情況,才可以得到理論解答。(1 設(shè)定應(yīng)力函數(shù)。獲得這種情況下的解答的

2、主要思路是:按照應(yīng)力解法,考慮到應(yīng)力分量關(guān)于該梁中心位置(x=2.5,y=0.5有對稱和反對稱關(guān)系。可以首先假定一個應(yīng)力函數(shù)為: = A(y - 0.55+ B(x - 2.52 (y -0.53 +C(y -0.53+ D(x- 2.52+ E(x -2.52 (y - 0.5 (4.1依據(jù)這個應(yīng)力函數(shù),可以獲得各個應(yīng)力分量,按照上表面受均布壓力作用簡支梁的上下表面和左右側(cè)表面的應(yīng)力邊界條件,確定出應(yīng)力函數(shù)(4.1中的各個待定系數(shù)A,B,C, D和E。按照應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題方法,應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該滿足雙調(diào)和函數(shù):22 = 0 (4.2將(4.1應(yīng)力函數(shù)代入上式后,得到:24 B( y - 0.5

3、 +120A(y - 0.5 = 0 (4.3即:B = -5A (4.4(2確定應(yīng)力分量。應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為: (3 利用梁的上下表面邊界條件確定積分常數(shù)。上表面受均布壓力作用簡支梁的上表面(y=h=1m的應(yīng)力邊界條件: 下表面(y=0的應(yīng)力邊界條件: (5 將梁的左右端面邊界條件降低為積分滿足。考察邊界條件(4.13到(4.16,可以看出,無法找到能滿足兩端側(cè)表面的所有應(yīng)力邊界條件的待定系數(shù)。根據(jù)彈性力學(xué)中的圣維南原理,可以在次要邊界上放松邊界條件。注意到梁的上下表面幾何尺寸大于兩端側(cè)表面的高度,所以上下表面可以認為是主要邊界,左右兩端側(cè)表面是次要邊界。將左右側(cè)面的應(yīng)力邊界條件

4、放松為積分滿足,從而得到在左右支座位置有偏差,在遠離兩端區(qū)域成立的解析解。將左側(cè)面(x=0的應(yīng)力邊界條件(4.13和(4.13轉(zhuǎn)換為積分條件: 將右側(cè)面(x=l=5m的應(yīng)力邊界條件(4.15和(4.16轉(zhuǎn)換為積分條件: 這些積分條件中的(4.17,(4.19,(4.20和(4.22會自動滿足。條件(4.18和(4.21相同,并且可以確定出: (6 獲得最準(zhǔn)的應(yīng)力解答。將這些待定系數(shù)代入到(4.5,(4.6和(4.7,得到各個應(yīng)力分量為:應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系為: (7 應(yīng)力結(jié)果的討論。以上應(yīng)力表達式在遠離支座的區(qū)域內(nèi)是準(zhǔn)確的。我們知道,在梁的跨中,彎矩取得最大值,所以彎曲應(yīng)力x 在跨中最

5、大。從彎曲應(yīng)力x 的(4.24的化簡過程可以看出,該應(yīng)力分量沿著梁的截面高度Y分布除了第一個線性(材料力學(xué)解答項外,疊加了一個非線性項,這一項就是對材料力學(xué)解答的修正項。這一修正項在梁的下邊緣y=0和上邊緣y=1處的值為: 由此可以看出,深梁和細長梁在最大彎矩截面引起的拉壓應(yīng)力,差別不大。代入數(shù)值,可以得到最大應(yīng)力為x max=18.95q=94750Pa。從豎向應(yīng)力y 的表達式(4.25可以看出,它與水平位移無關(guān),只與豎向坐標(biāo)y有關(guān)。遠離支座區(qū)域的豎向應(yīng)力的最大值為5000 ymax s = -q = - P P a a,最小值為0。剪應(yīng)力和截面位置有關(guān),并且和截面上的總剪力成正比,呈拋物線

6、分布。這一結(jié)論和材料力學(xué)中的梁內(nèi)剪應(yīng)力分布規(guī)律相同。在支座附近剪應(yīng)力最大,且最大值達到: (8 用圖形顯示應(yīng)力結(jié)果。由表達式(4.24至(4.26描述的應(yīng)力分布可以在Maple環(huán)境中,給出它們的等值線圖。圖4.2描述的是不同截面上的水平應(yīng)力x 沿著梁的橫截面高度的分布情況,應(yīng)力從小到大對應(yīng)的截面位置分別是0.5m,1m,1.5m,1m,2.5m。圖4.3描述的是水平應(yīng)力x 在梁內(nèi)分布的等值線圖。 圖4.2 均布荷載作用下深梁內(nèi)的不同截面上的水平應(yīng)力分布圖 圖4.3 均布荷載作用下深梁內(nèi)的水平應(yīng)力分布等值線圖圖4.4描述的是豎向應(yīng)力y 在梁內(nèi)任意位置橫截面上沿著高度的分布情況。圖4.5描述的是豎

7、向應(yīng)力y 在梁內(nèi)分布的等值線圖。 圖4.4 均布荷載作用下深梁任意橫截面位置沿著高度方向豎向應(yīng)力分布情況 圖4.5 均布荷載作用下深梁內(nèi)的豎向應(yīng)力分布等值線圖圖4.6描述的是梁內(nèi)不同位置的橫截面上的剪應(yīng)力x y 沿著梁的橫截面高度的分布情況,應(yīng)力從大到小對應(yīng)的截面位置分別是0.5m,1m,1.5m,1m,3m,3.5m,4m,4.5m。圖4.7描述的是梁內(nèi)剪應(yīng)力x y 在梁內(nèi)分布的等值線圖。 圖4.6 均布荷載作用下深梁內(nèi)的剪應(yīng)力沿著梁的橫截面高度的分布情況 圖4.7 均布荷載作用下深梁內(nèi)的剪應(yīng)力分布等值線圖 圖4.8 均布荷載作用下深梁內(nèi)的第一主應(yīng)力分布等值線圖 圖4.9 均布荷載作用下深梁

8、內(nèi)的第三主應(yīng)力分布等值線圖(9 用材料力學(xué)方法獲得位移解答。深梁的變形是很難用解析方法得到的,這里給出用材料力學(xué)方法給出細長梁的變形計算。對于受均布荷載作用的簡支梁,跨中的最大撓度值為: 此解答可以作為驗證深梁位移計算結(jié)果的參考,由于細長梁沒有考慮支座位置的實際變形,而深梁在支座位置的變形很復(fù)雜,而且位移偏大。所以深梁的實際位移值應(yīng)該比細長梁的位移大。2.ANSYS分析由于深梁的幾何形狀非常簡單,邊界支承也不復(fù)雜,所以很容易用節(jié)點和單元的直接建模來求解。首先,將深梁在長度方向和高度方向劃分為許多格寬度和高度均勻的網(wǎng)格,網(wǎng)格的交點處設(shè)置節(jié)點。這里將5米寬度劃分為19份,設(shè)置20個節(jié)點。1米高度劃

9、分為9層單元,設(shè)置10個節(jié)點。依次按照單元的連接關(guān)系定義單元。梁的下邊緣的最左側(cè)節(jié)點固定,最右側(cè)節(jié)點限制豎向位移。在梁的上表面的所有節(jié)點上施加由面荷載等效簡化得到節(jié)點力,最左側(cè)節(jié)點和最右側(cè)節(jié)點只有中間節(jié)點力的一半。這樣就可以建立深梁計算模型。下面給出求解的主要過程和說明。(1 定義文件名、標(biāo)題、在前處理模塊中通過循環(huán)定義節(jié)點。用文件名定義命令“/Filename,EX4.1”定義工程文件名為“EX4.1”,用標(biāo)題定義命令“/Title”定義標(biāo)題。用“/PREP7”命令進入前處理模塊PREP7。采用對水平方向的20 個節(jié)點循環(huán)“*DO,i,1,20,1”和對高度方向10 層節(jié)點循環(huán)“*DO,j,

10、1,10,1”循環(huán)定義各個節(jié)點,用節(jié)點定義命令“n,i+(j-1*20, (i-1*5/19, (j-1*1/9”依次計算節(jié)點號“i+(j-1*20”,節(jié)點水平位置“(i-1*5/19”和鉛直位置“(j-1*1/9”。用“*ENDDO”結(jié)束高度方向的循環(huán),用“*ENDDO”結(jié)束水平方向的循環(huán)。(2 定義單元類型、實常數(shù)、材料參數(shù)、循環(huán)定義所有單元。用單元類型定義命令“ET,1,PLANE82,3”定義第1類單元為帶厚度(選項參數(shù)“3”的平面單元PLANE82。用實常數(shù)定義命令“R,1,1”定義單元的第1類實常數(shù):厚度為1米。用材料定義命令“MP,EX,1,3e10”定義第1類材料的彈性模量EX

11、=30109N/m2,用“MP,PRXY,1,0.3”定義第1類材料的泊松比PRXY=0.3。接下來又采用循環(huán)語句定義單元:用“*DO,i,1,19,1”命令對水平方向的19個單元循環(huán),用“*DO,j,1,9,1 ”對高度方向的9 個單元循環(huán),用單元定義命令“E,i+(j-1*20,i+(j-1*20+1,i+(j-0*20+1,i+(j-0*20”過節(jié)點“i+(j-1*20”,“i+(j-1*20+1”,“i+(j-0*20+1”和“i+(j-0*20”定義單元。用“*ENDDO”結(jié)束內(nèi)層循環(huán),再用“*ENDDO”結(jié)束外層循環(huán)。(3 施加支座位置的約束和上表面的壓力荷載用位移約束定義命令“D

12、,1,all”固定1號節(jié)點的所有位移自由度,用“D,20,uy”約束20號節(jié)點的Y方向位移UY。用荷載定義命令“F,182,fy, -5000*5/19,199,1”在182到199號(上表面的中間節(jié)點節(jié)點上施加-Y方向大小等于125N (平均分配中間荷載的集中力。用“F,181,fy,-5000*5/19/2”和“F,200,fy, -5000*5/19/2”定義上表面兩段節(jié)點上的荷載。經(jīng)過上面步驟得到如圖4-10所示的計算模型。 圖4.10 用節(jié)點和單元的直接建模生成的均布荷載作用下深梁計算模型(4 在求解模塊開始求解。用“/SOLU”命令進入求解模塊SOLUTION,用求解命令“SOLV

13、E”開始求解。(5 在后處理模塊繪制變形圖和節(jié)點應(yīng)力云圖。用“/POST1”進入后處理模塊POST1。用荷載步計算結(jié)果定義命令“SET,1”指定讀入第1個荷載步的計算結(jié)果。用位移計算結(jié)果命令“PLDISP,2”顯示變形圖(參數(shù)“2”保留原結(jié)構(gòu)輪廓。得到如圖4.11所示的變形圖,從圖中可以看出,最大變形出現(xiàn)在跨中,最大撓度值為1.95E-5 m,和細長梁的撓度計算結(jié)果1.6276E-5m大20%,這是因為支座位置的變形較大的緣故。 圖4.11 均布荷載作用下深梁內(nèi)的第三主應(yīng)力分布等值線圖用等值線圖格式定義命令“/DEVICE,VECTOR,1”將等值線圖有顏色表示風(fēng)格切換為等值線風(fēng)格。用節(jié)點計算

14、結(jié)果顯示命令“PLNSOL,S,x”在圖形窗口顯示節(jié)點上的X方向應(yīng)力SX。該命令得到如圖4.12所示的應(yīng)力分布等值線圖,和前面圖4.3相比,在遠離支座的區(qū)域非常相似。圖中顯示的最大應(yīng)力為92334Pa,和前面的理論值相比,有限元結(jié)果偏小2.55%,應(yīng)該說還是基本一致的。 圖4.12 均布荷載作用下深梁內(nèi)的水平應(yīng)力分布等值線圖利用“PLNSOL,S,Y”可以在圖形窗口顯示節(jié)點上的Y方向應(yīng)力SY,得到如圖4.13所示的應(yīng)力分布等值線圖,由于支座位置的應(yīng)力非常高,使得梁中部的豎向應(yīng)力很小而不足以顯示。通過選擇跨中區(qū)域的節(jié)點和單元后可以得到這個區(qū)域的豎向應(yīng)力分布等值線圖(如圖4.14所示,和前面圖4.

15、5相比,在遠離支座的區(qū)域基本相似。由于支座的影響,豎向應(yīng)力和理論值有比較大的差異。圖4.14中顯示的最大豎向壓應(yīng)力為-9041Pa,下邊緣有豎向拉應(yīng)力4066Pa,和前面的理論值相比,豎向應(yīng)力的計算結(jié)果偏差還是比較大的。但是對于梁來說,水平應(yīng)力要遠遠大于豎向應(yīng)力,所以豎向應(yīng)力的偏差不會影響對整個梁的應(yīng)力計算結(jié)果。 圖4.13 均布荷載作用下深梁內(nèi)的豎向應(yīng)力分布等值線圖 圖4.14 均布荷載作用下深梁內(nèi)的跨中位置的豎向應(yīng)力分布等值線圖利用“PLNSOL,S,XY”可以在圖形窗口顯示節(jié)點上的XY方向剪應(yīng)力SXY,得到如圖4.15所示的應(yīng)力分布等值線圖,和前面圖4.7相比,在遠離支座的區(qū)域基本相似。

16、在支座附近,剪應(yīng)力分布不再是上下對稱的。圖中顯示的最大剪應(yīng)力為15848Pa,和(4.29式計出的理論值18750Pa偏小15%。 圖4.15 均布荷載作用下深梁內(nèi)的剪應(yīng)力分布等值線圖用“PLNSOL,S,1”在圖形窗口顯示節(jié)點上的第一主應(yīng)力,得到如圖4.16所示的第一主應(yīng)力等值線圖。圖中顯示最大拉應(yīng)力為92334Pa。 圖4.16 均布荷載作用下深梁內(nèi)的第一主應(yīng)力分布等值線圖用“PLNSOL,S,3”可以在圖形窗口顯示節(jié)點上的第三主應(yīng)力,得到如圖4.17所示的第三主應(yīng)力等值線圖。圖中顯示最大壓應(yīng)力為-141146。該值要比出現(xiàn)在跨中的最大壓應(yīng)力大許多,并出現(xiàn)在支座位置附近,說明支座位置的應(yīng)力

17、集中會使局部出現(xiàn)很高的擠壓應(yīng)力值。在設(shè)計支座位置時,需要特別的構(gòu)造,以防止該部位的破壞。 圖4.17 均布荷載作用下深梁內(nèi)的第三主應(yīng)力分布等值線圖用“PLNSOL,S,EQV”在圖形窗口顯示節(jié)點Mises應(yīng)力,得到如圖4.18所示的Mises應(yīng)力分布圖。Mises應(yīng)力是綜合了最大應(yīng)力和最小應(yīng)力的等效屈服應(yīng)力,在塑性材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計中,它是控制結(jié)構(gòu)破壞的主要指標(biāo)。圖中顯示的最大Mises應(yīng)力為147177Pa,最小的Mises應(yīng)力為5786Pa。梁的支座位置和跨中部位的上下邊緣都是Mises應(yīng)力的高應(yīng)力區(qū)。 圖4.18 均布荷載作用下深梁內(nèi)的Mises應(yīng)力分布等值線圖3.ANSYS程序FINISH

18、 ! 退出以前模塊/CLEAR,NOSTART ! 清除內(nèi)存中的所有數(shù)據(jù),不讀入初始化文件! (1定義文件名、標(biāo)題、在前處理模塊中通過循環(huán)定義節(jié)點/Filename,EX4.1 ! 定義工程文件名稱/Title,EX4.1, Deep Beam Under Uniform Load ! 定義標(biāo)題/PREP7 ! 進入前處理模塊PREP7*DO,i,1,20,1 ! 水平方向節(jié)點的循環(huán)*DO,j,1,10,1 ! 高度方向節(jié)點循環(huán)n,i+(j-1*20,(i-1*5/19,(j-1*1/9 ! 依次計算節(jié)點號,節(jié)點水平位置和鉛直位置*ENDDO ! 結(jié)束循環(huán)*ENDDO ! 結(jié)束循環(huán)! (2定義

19、單元類型、實常數(shù)、材料參數(shù)、循環(huán)定義所有單元ET,1,PLANE82,3 ! 定義第1類單元為帶厚度的平面單元PLANE82R,1,1 ! 定義單元的第1類實常數(shù):厚度為1MP,EX,1,3e10 ! 定義第1類材料的彈性模量EX=3e10 N/m2MP,PRXY,1,0.3 ! 定義第1類材料的泊松比PRXY=0.3*DO,i,1,19,1 ! 水平方向單元循環(huán)*DO,j,1,9,1 ! 高度方向單元循環(huán)E,i+(j-1*20,i+(j-1*20+1,i+(j-0*20+1,i+(j-0*20 ! 定義單元的四節(jié)點*ENDDO ! 結(jié)束循環(huán)*ENDDO ! 結(jié)束循環(huán)! (3施加支座位置的約束

20、和上表面的壓力荷載D,1,all ! 固定1號節(jié)點D,20,uy ! 約束20號節(jié)點的Y方向位移UYF,182,fy,-5000*5/19,199,1 ! 在182到199號節(jié)點上施加-Y方向大小等于125N的集中力F,181,fy,-5000*5/19/2F,200,fy,-5000*5/19/2FINISH ! 退出前處理模塊! (4在求解模塊開始求解/SOLU ! 進入求解模塊SOLUTIONSOLVE ! 開始求解FINISH ! 退出求解模塊! (5在后處理模塊繪制變形圖和節(jié)點應(yīng)力云圖/POST1 ! 進入后處理模塊POST1SET,1 ! 讀入第1個荷載步的計算結(jié)果PLDISP,2

21、 ! 顯示變形圖(保留原結(jié)構(gòu)輪廓/DEVICE,VECTOR,1 ! 切換顯示風(fēng)格為矢量線方式PLNSOL,S,X ! 在圖形窗口顯示節(jié)點上的X方向正應(yīng)力PLNSOL,S,Y ! 在圖形窗口顯示節(jié)點上的Y方向正應(yīng)力PLNSOL,S,XY ! 在圖形窗口顯示節(jié)點上的XY方向的剪應(yīng)力PLNSOL,S,1 ! 在圖形窗口顯示節(jié)點上的第一主應(yīng)力PLNSOL,S,3 ! 在圖形窗口顯示節(jié)點上的第三主應(yīng)力PLNSOL,S,EQV ! 在圖形窗口顯示節(jié)點Mises應(yīng)力FINISH ! 退出后模塊4.計算結(jié)果討論通過上面程序的計算,可以得到更符合實際模型情況的變形和應(yīng)力分析結(jié)果。其結(jié)果和理論結(jié)果、有限元結(jié)果有

22、一定的差距,這主要是因為理論模型使用了許多的理想假定。而有限元計算模型和實際情況更接近一些,所以說,有限元計算結(jié)果可以很好地反映深梁結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力分布。但是,在支座位置附近,有限元模型使用了固定一個節(jié)點的位移約束條件,和實際情況是有差異的。并且這樣的假定也引起了局部擠壓應(yīng)力的急劇升高,這和實際情況是不符合的。如果讀者通過網(wǎng)格加密計算這個區(qū)域的最大應(yīng)力值,會發(fā)現(xiàn)應(yīng)力會隨著網(wǎng)格的不斷細化而不斷地升高,這是正常的。因為模型使用一個節(jié)點位移約束,相當(dāng)于有一個集中力作用在支座位置,當(dāng)然這個節(jié)點位移的應(yīng)力是無窮大。所以要得到支座局部的準(zhǔn)確分布,需要考慮將其簡化成一個區(qū)域接觸,才可以得到有限的支座位置的準(zhǔn)

23、確應(yīng)力分布。我們使用了節(jié)點定義和單元定義的直接建模方法,生成了計算模型。同樣地,也可以用體素建模方法,然后通過單元劃分(MESH操作,生成計算模型,下面給出由體素建模計算的這個問題。詳細情況,讀者可以參考第6章。5.用實體建模方法完成對深梁的分析FINISH ! 退出以前模塊/CLEAR,NOSTART ! 清除內(nèi)存中的所有數(shù)據(jù),不讀入初始化文件! (1定義文件名、標(biāo)題、在前處理模塊中通過實體建模命令建立實體模型/Filename,EX4.1-1 ! 定義工程文件名稱學(xué)院： 專業(yè)： 姓名： 班級： 學(xué)號： /Title,EX4.1-1, Deep Beam Under Uniform Load with SOLID modeling method /PREP7 ! 進入前處理模塊PREP7 blc4,5,1 ! 建立從（0，0）到（5，1）的矩形區(qū)域 ! (