(完整word版)托勒密定理

1、【定理內(nèi)容】托勒密定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.即：若四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有 AB CD AD BC AC BD .A評等價敘述：四邊形的兩組對邊之積的和等于兩對角線之積的充要條件是四頂點共圓?！咀C法欣賞】證明：如圖，過C作CP交BD于P，使12,/34, ACD s BCP, AC AD BC BP，即ACBPBCAD又 ACBDCP，56，ACB sDCP, AC ABDC DP，即ACDPABDC+得：AC (BPDP)BCAD ABDC即 AB CD AD BC AC BD【定理推廣】托勒密定理的推廣：在四邊形ABCD中，有AB CD AD BC 內(nèi)接

2、于圓時，等式成立。證在四邊形ABCD內(nèi)取點E，使 BAE 貝U ABE s ACD AB BE AEAC CD AD， AB CD AC BE ;AB AE，且 BAC EADAC ADAC BD ;當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCDCAD，ABEACDAABCs AED.BCEDBCAC ED ；，即ADACAD ABCDADBCAC(BE ED) ABCDADBCACBD當(dāng)且僅當(dāng)E在BD上時“= 成立，即當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點共圓時成立;【定理推廣】托勒密定理的推論：等腰梯形一條對角線的平方等于一腰的平方加上兩底之積.即:若四邊形ABCD是等腰梯形，且AD/BC，貝U AC2 AB2 AD BC

3、.分析：因為等腰梯形必內(nèi)接于圓，符合托勒密定理的條件，其對角線相等，兩腰相等，結(jié)論顯然成立?！径ɡ響?yīng)用】【例1】 如圖，P是正 ABC外接圓的劣弧BC上任一點（不與B、C重合），求證：PA PB PC .證明：由托勒密定理得：PA BC PB AC PC AB AB BC CA PA PB PC.注此例證法甚多，如“截長”、“補短”等，詳情參看初中數(shù)學(xué)一題多解欣賞【定理應(yīng)用】例 2】證明“勾股定理”：已知：在Rt ABC中，B 90， 求證：AC2 AB2 BC2。證明：如圖，以Rt ABC的斜邊AC為對角線作矩形ABCD，則ABCD是圓內(nèi)接四邊形.由托勒密定理，得AC BD AB CD AD

4、 BC ABCD是矩形,二 AB CD , ADBCAC BD 把代人，得:AC2AB2 BC2.中學(xué)數(shù)學(xué)中的著名定理2【定理應(yīng)用】【例3】如圖，在ABC 中,A的平分線交外接圓于求證：AD BC BD(AB AC).證明：連結(jié)CD，由托勒密定理，得AD BC AB CD AC BD .BADCAD，二 BD CDD，故ADBCBD(ABAC).【定理應(yīng)用】【例4】若a、b、y是實數(shù),且 a2 b21求證：axby證明：如圖，作直徑AB1的圓，在AB兩側(cè)任作Rt ACB和Rt ADB，使 AC a，BC b，BDx， AD y.由勾股定理知a、b、x、y是滿足題設(shè)條件的.據(jù)托勒密定理，有 AC

5、 BD AD BC AB CD . CD AB 1， AC BD AD BC AB CD 1，即 ax by 1 .【定理應(yīng)用】例 5】 已知a、b、c是ABC的三邊，且a2 b(b c)， 求證： A 2 B .證明： a2 b(b c)，二 a a b b be，由托勒密定理，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形。如圖，作 ABC的外接圓，以A為圓心,BC為半徑作弧交圓于D ,連結(jié) BD、CD、AD . ADBC , ABDBAC，貝U1 2, BDAC b由托勒密定理得:BC ADAB CDBD AC即a ac DCb b又I a2 b(b c) , a a b b be,比較得CD BD b，貝U 312

6、,BAC 2ABC中學(xué)數(shù)學(xué)中的著名定理3【定理應(yīng)用】例 6】在 ABC 中,已知 A: B:證明：如圖，作ABC的外接圓,作弦1:2:4，求證：-AB AC BCBD BC，連結(jié) AD、CD .A: B: C 1:2:4, CAD CBA CDA, ABD ADB 3 CAB AB AD , CD AC ,在圓內(nèi)接四邊形ADBC中，由托勒密定理，得： AC BC BC AB AB AC ,則11 1ABAC BC【定理應(yīng)用】AC BD BC AD AB CD【例7】由ABC外接圓的弧BC上一點P分別向邊BC、AC與AB作垂線PK、BC AC ABPL和PN，求證：.PK PL PM證：連接 PA、PB、PC ,四邊形ABPC，由托勒密定理得:BC APAC BPABCPBCACAB ,即APPKBPPLCP PMPKPLPM KBPLAP , Rt KBP s Rt LAPPK PBPL PA APPK BPPL 同理可得BP PL CP PM代人得:【練習(xí)】BCACABPKPLPM1已知ABC中,B 2 C。求證：AC2AB(AB BC).2已知正七邊形A,A2A7。1求證：11A1A2