自考高等數(shù)學(xué)一微積分筆記速記小抄習(xí)題解析

1、00020 高等數(shù)學(xué)（一）微積分筆記依據(jù)教材高等數(shù)學(xué)（一）微積分（2004年版）章學(xué)誠(chéng) 主編 武漢大學(xué)出版社 筆記依據(jù)目錄第一章函數(shù)及其圖形第二章極限和連續(xù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章一元函數(shù)積分學(xué)第六章多元函數(shù)微積分前言高等數(shù)學(xué)一共6章。第一章函數(shù)1.主要是對(duì)高中知識(shí)的復(fù)習(xí)；2.對(duì)今后知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)；3.本章知識(shí)在歷年考題中所占的分值并不多，一般是4至5分。第二章極限和連續(xù)本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右。第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分主要是如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右。第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用本章在歷年考題中所

2、占分值為15%左右。第五章一元函數(shù)積分學(xué)包括函數(shù)的不定積分和一元函數(shù)定積分。本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為25%左右。第六章多元函數(shù)微積分本章內(nèi)容在歷年考試題中所占比例為15%左右。第一章函數(shù)及其圖形1.1預(yù)備知識(shí) 一、基本概念1.集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素。2.包含關(guān)系集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱為A包含于B，或B包含A。若XA，則必xB，就說A是B的子集，記作AB數(shù)集分類：N-自然數(shù)集 Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集 R-實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系：NZ,ZQ,QR.3.相等關(guān)系若AB，且BA，就稱集合A與B相等。記作（AB）例1則AC.4.空集不

3、含任何元素的集合稱為空集（記作）。規(guī)定空集為任何集合的子集。例25.集合之間的運(yùn)算1)并：由 中所有元素組成的集合稱為A和B的并集，記為AB例3例42）交：由既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A和B的交集，記為AB例5例63）差：由A中不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集，記為A-B例7二、絕對(duì)值1.絕對(duì)值的定義：2.絕對(duì)值的性質(zhì)：（1），當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)，（2）（3） （4）3.絕對(duì)值的幾何意義：（1）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x與原點(diǎn)之間的距離為a。（2）表示數(shù)軸上的兩點(diǎn)x與y之間的距離為a。4.絕對(duì)值不等式：k>0時(shí)，則有k>0時(shí)，則有例8，求x的值。答案：x=±55.絕對(duì)

4、值的運(yùn)算性質(zhì)：例9化去下列各式絕對(duì)值的符號(hào)：（1） 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930（2）（3）（4） 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930例10解下列含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式：（1）（2）（3） 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930三、區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)。以上區(qū)間都叫有限區(qū)間這兩種形式的區(qū)間叫無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義：兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.四、鄰域 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930設(shè)a與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且>0，數(shù)集稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U(a)。點(diǎn)a叫做這個(gè)鄰域的中心，叫做這個(gè)鄰域的半徑。點(diǎn)a的去心鄰域，記

5、作。區(qū)間與鄰域的關(guān)系：例11解不等式并用區(qū)間表示不等式的解集：（1）（2）1.2函數(shù) 一、函數(shù)的概念1.定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)xD，變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，當(dāng)時(shí)，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域。2.函數(shù)的兩要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則。約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。例1、例2、例3、判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否相等例4、求函數(shù)的定義域例5、符號(hào)函數(shù)3.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函

6、數(shù)，稱為分段函數(shù)。例6、例7、求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形。例8、將下面函數(shù)化為分段函數(shù)二、函數(shù)的表示法1.圖象法2.表格法3.解析法1.3函數(shù)的特性 一、函數(shù)的有界性若有成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有界，否則稱無界。例9、判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界（1）符號(hào)函數(shù)ysgnx （2）yx22.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí)，恒有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID,如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930例10、求yx2

7、的單調(diào)性例11、求ysinx的單調(diào)性3.函數(shù)的奇偶性：設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有稱f（x）為偶函數(shù)； 設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有f（-x）=-f（x）稱f（x）為奇函數(shù)。4.函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一則稱f（x）為周期函數(shù)，l稱為f（x）的周期，且恒成立（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）。 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930例12、判斷下列函數(shù)是否有界（1）（2）ycosx 例13、判斷下面函數(shù)的奇偶性（1）（2）例14、判斷函數(shù)是否是周期函數(shù)，如果是，則求出最小正周期。1.4反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱。1

8、.5復(fù)合函數(shù) 1復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域Df, 而函數(shù)的值域?yàn)? 若, 則稱函數(shù)為x的復(fù)合函數(shù)。x自變量，u中間變量，y因變量；注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的；例如：不能符合成2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)及以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成。例如：這個(gè)函數(shù)是由復(fù)合而成。例1.分解復(fù)合函數(shù)（1）（2）例2.復(fù)合函數(shù)的計(jì)算（1）（2）（3）（4）1.6初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù),稱為初等函數(shù)。 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（1）常值函數(shù)如果當(dāng)自變量在函

9、數(shù)定義域中任意變化時(shí)，函數(shù)值f（x）恒等于一個(gè)常數(shù)C，即f（x）= C，xD(f)，則稱這個(gè)函數(shù)為常值函數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù) 形如f(x)=x (-x+)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。其中底數(shù)0，1性質(zhì)：當(dāng)1時(shí)，函數(shù)y=ax單調(diào)增加；當(dāng)01時(shí)，函數(shù)y=ax單調(diào)減少；指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0，1），指數(shù)函數(shù)值大于0；對(duì)于a0,x,y為實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：運(yùn)算法則：要求：指數(shù)函數(shù)通過掌握的圖形，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。（3）三角函數(shù) 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930有sinx,cosx,tanx,cotx,secx和cscx，它們都是周期函數(shù)。 正弦函數(shù)y=sinx圖1.32 余弦函數(shù)y=cosx圖1.33 正切函

10、數(shù)y=tanx 圖1.34 余切函數(shù)y=cotx 圖1.35要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函數(shù)值。同角三角函數(shù)基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：商的關(guān)系平方關(guān)系兩角和的正弦、余弦、正切公式兩角差的正弦、余弦、正切公式倍角公式降冪公式積化和差公式例3：利用降冪公式，將下列各式變形（1）（2）（3）特殊角的三角函數(shù)值例1.已知一個(gè)三角函數(shù)值，求其他的三角函數(shù)值。（1）已知tanx=3求其他的三角函數(shù)值 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930（2）已知secx=5，求其他的三角函數(shù)值。（4）冪函數(shù) 形如f(x)=x的函數(shù)為冪函數(shù)，其中為任意常數(shù)。要求：掌握常用的冪函數(shù)：y=x；y=x2；y=x3；

11、的圖形，性質(zhì)。性質(zhì)：為正整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域是（-，+）；為負(fù)整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域是（-0）（0，+）；對(duì)任意實(shí)數(shù)，曲線y=x都通過平面上的點(diǎn)（1，1）；為偶數(shù)時(shí)，f(x)=x為偶函數(shù)； 如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：1962930為奇數(shù)時(shí)，f(x)=x為奇函數(shù)；0時(shí)，f(x)=x在（0，+）單調(diào)增加； 0時(shí)，f(x)=x在（0，+）單調(diào)減少。冪函數(shù)：y=x（是常數(shù)）（5）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)：y=arcsinx，x-1,1反余弦函數(shù)：y=arccosx x-1,1反正切函數(shù)：y=arctnx x（-，+）要求：明白反三角函數(shù)的三個(gè)含義及定義域。例2.計(jì)算（1）；答案：（2）；答案：（3）；（4）；（5）例3