專題一中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題專題一

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題1、如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限當(dāng)線段時(shí)，求tanCED的值；當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答思路解析：1第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題2第（3）題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的

2、坐標(biāo)，反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號與線段長的關(guān)系3根據(jù)C、D的坐標(biāo)，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡單了具體解法：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）由，知A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為（3）因?yàn)锳B4，所以因?yàn)镻、Q關(guān)于直線x1對稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為所以，進(jìn)而得到，點(diǎn)E的坐標(biāo)為直線BC:與拋物線的對稱軸x1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）過點(diǎn)D作DHy軸，垂足為H在RtE

3、DH中，DH1，所以tanCED，2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長PE到點(diǎn)D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動(dòng)）當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長；若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)）過Q作x軸的垂線，與直線

4、AB交于點(diǎn)F，延長QF到點(diǎn)M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動(dòng)）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1思路點(diǎn)撥1這個(gè)題目最大的障礙，莫過于無圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長3點(diǎn)C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計(jì)算此刻OP的長4當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形有邊共線時(shí)，會(huì)產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關(guān)于t的方程就可以求解了具體解答(1) 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，所以 解得，（舍去）因此所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）(2) 如圖4，設(shè)

5、OP的長為t，那么PE2t，EC2t，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，解得如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P、Q重合此時(shí)3t10解得如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時(shí)解得如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此時(shí)解得 3如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，設(shè)（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于

6、第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況具體解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實(shí)根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當(dāng)或時(shí)，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，設(shè)，ABC的面積為S，則如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則移項(xiàng)，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當(dāng)時(shí)（滿足），取最大值，從而S取最大值

7、圖2 圖3如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時(shí)綜合得，ABC的最大面積為4、如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對應(yīng)的t值；若不存在請說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1思路點(diǎn)撥1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M

8、、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90°的可能具體解答（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點(diǎn)N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當(dāng)M在AO上時(shí)，OM2t，此時(shí)定義域?yàn)?t2如圖3，當(dāng)M在OB上時(shí)，OMt2，此時(shí)定義域?yàn)?t5

9、圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負(fù)值）因此，當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S4的情形，此時(shí)如圖4，當(dāng)OMN90°時(shí)，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當(dāng)OMN90°時(shí)，N與C重合，不存在ONM90°的可能所以，當(dāng)或者時(shí)，MON為直角三角形 圖4 圖55、已知RtABC中，有一個(gè)圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線交于點(diǎn)M，N（1）當(dāng)扇形繞點(diǎn)C在的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，求證：；思路點(diǎn)撥：考慮符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決可將沿直線對折，得，連，只需證，就可以了請你完成證明過程（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由 圖1 圖2思路點(diǎn)撥1本題的證明思路是構(gòu)造ACMDCM，證明BCNDCN2證明BCNDCN的關(guān)鍵是證明3證明的結(jié)論是勾股定理的形式，基本思路是把三條線段AM、BN、MN集中