最小二乘法在工業(yè)純堿中鐵含量測定中的應(yīng)用

1、最小二乘法在碳酸鈉鐵含量測定中的應(yīng)用摘要:碳酸鈉是鉆井液中常用的添加劑之一,主要用來調(diào)節(jié)PH值和對膨潤土進行增效。鐵含量是評價碳酸鈉質(zhì)量的一項重要指標(biāo),其含量大小直接影響碳酸鈉的使用效果。測試碳酸鈉鐵含量的主要方法是鄰菲羅啉分光光度法,樣品溶液的吸光度隨鐵含量的不同呈線性變化。在曲線繪制的過程中,人為因素對實驗數(shù)據(jù)的影響較大。運用最小二乘法,對所測得的數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析、處理后進行線性加歸,可以較好地提高測試結(jié)果的準(zhǔn)確性與可靠性。關(guān)鍵詞最小二乘法吸光度鐵含量線性回歸一概述碳酸鈉中鐵含量的測定方法1、概述鐵含量是工業(yè)碳酸鈉的一個重要質(zhì)量指標(biāo), 其含量高低直接決定著純堿質(zhì)量及其使用性能。鄰菲羅啉分光光度

2、法是測定碳酸鈉中微量鐵含量的經(jīng)典方法, 樣品溶液的吸光度隨鐵離子濃度的增大而呈上升趨勢。平時我們在實驗過程中會遇到兩量x、 y如果存在y=ax+b的線性關(guān)系時,其中a、b為線性函數(shù)的參數(shù)。當(dāng)實驗數(shù)據(jù)存在這種線性關(guān)系時,通常我們運用作圖法對其參數(shù)進行處理運算、進而求出實驗結(jié)果。但是作圖法很難得到好的結(jié)果,而運用最小二乘法可以得到比較好的線性擬合。對其兩種方法比較可以最小二乘法的數(shù)據(jù)處理方法是比較理想的辦法。本文運用作圖法和最小二乘法對工業(yè)純堿中鐵含量的測定的數(shù)據(jù)進行處理,得出運用最小二乘法可以得到誤差比較小的鐵含量。在曲線繪制的過程中,人為因素對實驗數(shù)據(jù)的影響較大。運用最小二乘法,對所測得的數(shù)據(jù)

3、統(tǒng)計分析、處理后進行線性加歸,可以較好地提高測試結(jié)果的準(zhǔn)確性與可靠性。2 試驗稱取10 g 純堿樣, 精確到0. 01 g, 置于燒杯中,加適量水潤濕, 滴加35 mL 鹽酸溶液( 1+ 1 和12. 5mL抗壞血酸, 煮沸3 5 min, 冷卻( 必要時過濾 , 移入250 mL 容量瓶中, 加水至刻度, 搖勻, 用移液管移取50 mL 該試液于100 mL 燒杯中; 另取7 mL 鹽酸溶液( 1+ 1 和2.5 mL抗壞血酸于另一燒杯中, 用氨水( 2+ 3 中和后, 與試驗溶液一并用氨水(1+ 8 和鹽酸溶液(1+3 調(diào)節(jié)pH 值為2( 用精密pH 試紙檢驗。分別移入100 mL 容量瓶

4、中,各加入10 mL 乙乙酸銨緩沖溶液和5 mL 鄰菲口羅啉, 用水稀釋至刻度, 搖勻, 靜置10 min。在波長510 nm處, 用3 cm比色皿, 以空白溶液為參比, 進行比色。3、數(shù)據(jù)處理根據(jù)實驗數(shù)據(jù)列以下表格 根據(jù)列表繪制工作曲線: 0.00a b s o r b a n c ethe content of Fe(mg要使繪制的曲線盡可能圓滑并且盡可能經(jīng)過所有的點,但是根據(jù)所測數(shù)據(jù)據(jù)繪出的曲線并不呈線性回歸,所以只能主觀的繪制一條平滑的曲線,根據(jù)直線經(jīng)過的點,代入公式y(tǒng)=ax+b 中求得a 和b 。根據(jù)點(0、0和點(0.01、0.070我們求出線性方程為y=7x 。y 代表吸光度 x

5、 代表鐵的含量 ,在實驗中我們測得試驗溶液的吸光度為0.082、0.090分別求得x 為0.012、0.013。這里出現(xiàn)了以下問題 1、空白顏色過深; 2、 繪制標(biāo)準(zhǔn)曲線時沒有線性; 3、同一堿樣品平行度很差。究竟是何因素影響其測定的準(zhǔn)確性? 筆者對此進行了研究。在這里我們引入最小二乘法 ,對所測得的大量數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計、分析。二、最小二乘法的特點分析和統(tǒng)計思想 1、 特點分析在實際問題中,常常需要根據(jù)兩個變量的幾組實驗數(shù)據(jù)來尋求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的近似表達式,通常把這樣得到的近似表達式稱為經(jīng)驗公式,下面介紹一種尋求兩個變量之間近似成線性關(guān)系的經(jīng)驗公式的方法。 2 最小二乘法的統(tǒng)計思想設(shè)根據(jù)實

6、驗測得變量x 與y 的幾組數(shù)據(jù): 在xOy 坐標(biāo)面上以(i i y x ,為點的坐標(biāo),相應(yīng)地可以得到坐標(biāo)平面上的n 個點(i i i y x P ,(n i ,2,1 =,如果這些點在一直線上,當(dāng)然我們可以認為這兩個變量之間的關(guān)系為線性的,即可求得.然而,一般說來,實際操作中這種可能性是很小的。在實際中,如果這些點的連線大致接近于一條直線,我們也就可以認為,變量y 和x 的關(guān)系是線性的,并可設(shè)bax y +=,其中a 和b 是待定常數(shù)。也即我們可以考慮用線性函數(shù)b ax y +=近似地表達兩個變量這間的函數(shù)關(guān)系。問題是,如何選擇a 和b才能使直線b ax y +=更接近于以上各點連線,即希望直

7、線上對應(yīng)于i x x =(n i ,2,1 =的點的縱坐標(biāo)b ax i +與實驗數(shù)據(jù)i y 偏差都盡可能的小。為此,我們常常取,2,1(n i b ax y i i=+-的平方和最小來保證bax i +與i y 間的差距盡可能的小。這樣,問題也就歸結(jié)為確定函數(shù)b ax y +=中的常數(shù)a 和b,使(=-=+-=ni ni i ii ib ax yb ax yb a W 1122,為最小,以使直線b ax y +=盡可能地靠近點(i i i y x P ,(n i ,2,1 =的連線。 .這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)a 、b 的方法叫做最小二乘法。下面我們利用多元函數(shù)求極值的方法求

8、出上最小二乘法中的b a ,。對于函數(shù)(=-=ni i ib ax yb a W 12,因為 (=-=ni ii i x b ax y aw 12(=-=ni i i b ax y bw 12令 =00a w bw 即 (=-=-=0011ni i i i ni i i x b ax y b ax y 亦即 =+=+ni ni ii ni i ini in i i y x x bx a y nb x a 111211解上方程組得n n n n x i y i xi y i i =1 i =1 i =1 a= 2 n n 2 n xi xi i =1 i =1 n 2 n n n xi y i

9、xi xi y i i =1 i =1 i =1 i =1 b= 2 n n 2 n xi xi i =1 i =1 它還可簡化為 a = n i =1 xi x y i y 2 n i=1 xi x b = y a x 其中 x = 1 n 1 n xi ， y = y i n i =1 n i =1 于是得經(jīng)驗公式 y = ax + b 。 三 最小二乘法在純堿中測定鐵含量的應(yīng)用 1、數(shù)據(jù)的分析與應(yīng)用 序號 1 2 0.01 3 0.02 4 0.04 5 0.06 6 0.08 7 0.10 含鐵質(zhì) 0.00 量 （mg） 吸光度 0.000 0.070 0.126 0.250 0.37

10、5 0.536 0.630 根據(jù)剛剛繪制的曲線圖,這些點大致在一條直線上，我們可以認為變 量 y 和變量 x 的關(guān)系是線性的， 由此可以設(shè) y=ax+b 其中 a 和 b 是待 定系數(shù)，根據(jù)最小二乘法提供的公式我們可以將已知數(shù)據(jù)列表計算 xi 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 yi 0.07 0.126 0.250 0.375 0.536 0.630 1.987 xi x -0.041 -0.031 -0.011 0.009 0.029 0.049 yi y -0.261 -0.205 -0.081 0.044 0.205 0.299 xi x y i y xi x

11、2 0.0107 0.0063 0.0008 0.0004 0.006 0.015 0.002 0.001 0.0001 0.00008 0.0008 0.002 x = 0.051 0.31 y = 0.331 將所求得數(shù)據(jù)代入公式可以求出 a 和 b， 得到 y=6.6x-5.6×10-3 這樣 給出 x 為鐵的含量，y 代表吸光度，由 y=0.082、0.090(吸光度進而 求解 x 為 0.013、0.014（鐵的含量） 。 2 應(yīng)用效果分析 我們選取了代表數(shù)據(jù)，初步分析 、處理代入最小二乘法的計算公 式中，求得經(jīng)驗公式。這樣避免了人為主觀繪制曲線，進而求得回歸 方程，減小了誤差，使我們的測試數(shù)據(jù)更加科學(xué)合理化。而通過人為 繪制的曲