理論力學復習的總結

1、第一篇靜力學第1章靜力學公理與物體的受力分析1.1 靜力學公理公理1二力平衡公理：作用于剛體上的兩個力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。F=-F 工程上常遇到只受兩個力作用而平衡的構件，稱為二力構件或二力桿。公理2 加減平衡力系公理：在作用于剛體的任意力系上添加或取去任 意平衡力系，不改變原力系對剛體的效應。推論 力的可傳遞性原理：作用于剛體上某點的力，可沿其作用線移至剛 體內(nèi)任意一點，而不改變該力對剛體的作用。公理3力的平行四邊形法則：作用于物體上某點的兩個力的合力，也 作用于同一點上，其大小和方向可由這兩個力所組成的平行四邊形的對角線來表 示

2、。推論三力平衡匯交定理：作用于剛體上三個相互平衡的力，若其中兩個 力的作用線匯交于一點，則此三個力必在同一平面內(nèi)，且第三個力的作用線通過 匯父點。公理4作用與反作用定律：兩物體間相互作用的力總是同時存在，且 其大小相等、方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個物體上。公理5鋼化原理：變形體在某一力系作用下平衡，若將它鋼化成剛體， 其平衡狀態(tài)保持不變。對處于平衡狀態(tài)的變形體，總可以把它視為剛體來研究。1.2 約束及其約束力1 .柔性體約束2 光滑接觸面約束3 .光滑鉸鏈約束第2章 平面匯交力系與平面力偶系1. 平面匯交力系合成的結果是一個合力，合力的作用線通過各力作用線的匯交點，其大小和方向可由失

3、多邊形的封閉邊來表示，即等于個力失的矢量和，即FR=F1+F2+ .+Fn=刀 F2. 矢量投影定理：合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的 代數(shù)和。3. 力對剛體的作用效應分為移動和轉動。力對剛體的移動效應用力失來度量； 力對剛體的轉動效應用力矩來度量，即力矩是度量力使剛體繞某點或某軸轉 動的強弱程度的物理量。(Mo(F) = Fh)4. 把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個平行力所組 成的力系稱為力偶，記為(F,F 。例2-8如圖2.-17 (a)所示的結構中，各構件自重忽略不計，在構件AB上作用一力偶, 其力偶矩為500kN? m求A、C兩點的約束力。解

4、 構件BC只在B C兩點受力，處于平衡狀態(tài)，因此 BC是二力桿，其受力如 圖2-17 (b)所示。由于構件AB上有矩為M的力偶，故構件AB在鉸鏈A、B處的一對作用力FA FB構成一力偶與矩為M的力偶平衡(見圖2-17 (c)。由平面力偶系的平衡方 程刀Mi=0，得-Fad+M=0則有FA=FBN=471.40N由于FA FB為正值，可知二力的實際方向正為圖 2-17 (c。所示的方向。 根據(jù)作用力與反作用力的關系，可知 FC=FB =471.40N，方向如圖2-17 (b) 所示。第3章平面任意力系1 合力矩定理：若平面任意力系可合成為一合力。則其合力對于作用面內(nèi)任意 一點之矩等于力系中各力對

5、于同一點之矩的代數(shù)和。2平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對于面內(nèi)任意一點Q的主矩同時為零，即FR=0,Mo=0.3 .平面任意力系的平衡方程：刀Fx=0,刀Fy=0,刀Mo(F)=0.平面任意力系平衡 的解析條件是，力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個直角坐標軸上投影的代數(shù) 和分別等于零，各力對于作用面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和也是等于零例3-1如圖3-8 (a)所示，在長方形平板的四個角點上分別作用著四個力，其中 F1=4kN F2=2kN F3=F4=3kN平板上還作用著一力偶矩為 M=2kN m的力偶。試 求以上四個力及一力偶構成的力系向0點簡化的結果，以及該力系的最后合成結果。解(

6、1)求主矢FR,建立如圖3-8(a)所示的坐標系，有F Rx=E Fx=- F2cos60 +F3+F4cos30 =4.598kNF Ry=E Fy=F1 F2sin60 +F4sin30 =3.768kN所以，主矢為 .F R=5.945kN主矢的方向:cos (F R,i ) = =0.773, / (F R, i)=39.3 cos (F R,j )=0.634，Z( F R, j ) =50.7(2)求主矩，有M0= M0( F) =M+2F2cos60 2F2+3F4sin30 =2.5kN - m由于主矢和主矩都不為零，故最后的合成結果是一個合力 FR如圖3-8 (b) 所示，F(xiàn)

7、R=F R,合力FR到O點的距離為d= mq =0.421mFS.例 3-10連續(xù)梁由AC和CE兩部分在C點用鉸鏈連接而成，梁受載荷及約束情況如圖3-18(a)所示，其中 M=10kN m F=30kN, q=10kN/m，l=1m。求固定端 A 和支座 D 的約束力。解 先以整體為研究對象，其受力如圖3-18 (a)所示。其上除受主動力外，還受固定端A處的約束力Fax、Fay和矩為MA的約束力偶，支座D處的約束力FD 作用。列平衡方程有刀 Fx=0, Fax Fcos45 =0刀 Fy=0, FAy- 2ql+Fsin45 +FD=0刀 MA( F) =0, MA+ 4ql 2 +3FDl+

8、4Flsin45 =0以上三個方程中包含四個未知量，需補充方程?，F(xiàn)選CE為研究對象，其受力如圖3- ( b)所示。以C點為矩心，列力矩平衡方程有刀MC(F) =0, ql 2 +FDI+2FISin45 =0聯(lián)立求解得FAx=21.21kN, Fay=36.21kN, MA=57.43kN- m FD=- 37.43kN第4章 考慮摩擦的平衡問題1. 摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時，全約束力和法線間的夾角。tan書m=fs2. 自鎖現(xiàn)象：當主動力即合力Fa的方向、大小改變時，只要Fa的作用線在摩 擦角內(nèi)，C點總是在B點右側，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦 自鎖。例4-3梯子AB靠在墻上

9、，其重為 W=200N如圖4-7所示。梯長為I，梯子與水平面的 夾角為B =60已知接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25。今有一重650N的人沿梯上爬， 問人所能達到的最高點C到A點的距離s為多少？解 整體受力如圖4-7所示，設C點為人所能達到的極限位置，此時FsA=fsFNA, FsB=fsFNB刀 Fx=0, FNB-FsA=0刀 Fy=0, FNA+FsB-W-W仁0刀 MA( F) =0， -FNBsin 0 -FsBlcos 0 +Wcos 0 +W1scosB =0 聯(lián)立求解得S=0.456l第5章空間力系1. 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零,即FR乏Fi=02.

10、空間匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在三條坐標軸上投影的代數(shù)和 分別等于零.3. 要使剛體平衡，則主失和主矩均要為零，即空間任意力系平衡的必要和充分條件是：該力系的主失和對于任一點的主矩都等于零，即FR=XFi=0,Mo=刀Mo(Fi)=04. 均質物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀，而與物體的重量無關.若物體是均質薄板，略去Zc,坐標為xc=E Ai*xi/A,yc=刀Ai*yi/A5. 確定物體重心的方法(1)查表法組合法：分割法；負面積(體積)法(3)實驗法第二篇運動學第6章點的運動學6.2直角坐標法運動方程x=f(t) y=g(t) z=h(t)消去t可得到軌跡方程f (x,y

11、,z )=0其中例題6 -1橢圓規(guī)機構如圖6-4(a)所示，曲柄oc以等角速度w繞0轉動，通 過連桿AB帶動滑塊A、B在水平和豎直槽內(nèi)運動，OC=BC=AC=L求：(1)連桿 上皿點(AM=)的運動方程；(2) M點的速度與加速度。解：(1)列寫點的運動方程由于M點在平面內(nèi)運動軌跡未知，故建立坐標系。點M是BA桿上的一點，該桿兩端分別被限制在水平和豎直方向運動。曲柄做等角速轉動，=wt。由這些約束條件寫出M點運動方程x=(2L-r)coswt y=rsinwt消去t得軌跡方程：(x/2L-r) 2 + (y/x ) 2 =1(2)求速度和加速度對運 動方程 求導，得 dx/dt=-(2L-r)

12、wsinwt dy/dt=rsinwt 再求導 a1=-(2L-r)w 2 coswt a2=-rw 2 sinwt由式子可知 a=a1i+a2j=-w 2 r6.3自然法2. 自然坐標系：b=t x n其中b為副法線n為主法線t3. 點的速度v=ds/dt切向加速度at=dv/dt法向加速度 an=v 2 /p第七章剛體的基本運動7.1岡H體的平行運動：剛體平移時，其內(nèi)所有各點的軌跡的形狀相同。在同 一瞬時，所有各點具有相同的速度和相同的加速度。岡寸體的平移問題可歸結為點 的運動問題。7.2 剛體的定軸轉動：瞬時角速度 w=lim O/ t=d 0 /dt瞬時角加速度 a=lim w/A t

13、=dw/dt=d 2 0 /dt 2 轉動剛體內(nèi)任一點速度的代數(shù)值等于該點至轉軸的距離與剛體角速度的乘積 a=V(a 2 +b2 )=RV( a 2 +w2 )0 =arctan|a|/b =arctan|a |/w 2轉動剛體內(nèi)任一點速度和加速度的大小都與該點至轉軸的距離成正比。第8章點的合成運動8.1合成運動的概念：相對于某一參考系的運動可由相對于其他參考系的幾 個運動組合而成，這種運動稱為合成運動。當研究的問題涉及兩個參考系時，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考 系，簡稱定系。吧相對于定系運動的參考系稱為動參考系，簡稱動系。研究的對 象是動點。動點相對于定參考系的運動稱為絕對運動； 動

14、點相對于動參考系的運 動稱為相對運動；動參考系相對于定參考系的運動稱為牽連運動。動系作為一個整體運動著，因此，牽連運動具體有剛體運動的特點，常見的牽連運動形式即為 平移或定軸轉動。動點的絕對運動是相對運動和牽連運動合成的結果。絕對運動也可分解為相 對運動和牽連運動。在研究比較復雜的運動時，如果適當?shù)剡x取動參考系，往往 能把比較復雜的運動分解為兩個比較簡單的運動。 這種研究方法無論在理論上或 實踐中都具有重要意義。動點在相對運動中的速度、加速度稱為動點的相對速度、相對加速度，分別 用vr和ar表示。動點在絕對運動中的速度、加速度稱為動點的絕對速度和絕對 加速度，分別用va和aa表示。換句話說，觀

15、察者在定系中觀察到的動點的速度 和加速度分別為絕對速度和絕對加速度； 在動系中觀察到動點的速度和加速度分 別為相對速度和相對加速度。在某一瞬時，動參考系上與動點M相重合的一點稱為此瞬時動點 M的牽連點。 如在某瞬時動點沒有相對運動，則動點將沿著牽連點的軌跡而運動。 牽連點是動 系上的點，動點運動到動系上的哪一點，該點就是動點的牽連點。定義某瞬時牽 連點相對于定參考系的速度、加速度稱為動點的牽連速度、牽連加速度，分別用 ve和ae表示。動系O x y與定系Oxy之間的坐標系變換關系為x=xO+x cos 0 -y sin 0 y=y0+x sin 0 +y cos 0在點的絕對運動方程中消去時間

16、t，即得點的絕對運動軌跡；在點的相對運動方 程中消去時間t，即得點的相對運動軌跡。例題8-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，如圖所示。站在地面上觀察礦 砂下落的速度為v1=4 m/s，方向與豎直線成30角。已知傳送帶B水平傳動速 度v2=3 m/s.求礦砂相對于傳送帶 B的速度。解：以礦砂M為動點，動系固定在傳送帶B上。礦砂相對地面的速度v1為絕 對速度；牽連速度應為動參考系上與動點相重合的哪一點的速度。 可設想動參考 系為無限大，由于它做平移，各點速度都等于 v2。于是v2等于動點M的牽連 速度。由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對速度必須是對角線，因此作出的速度平行四邊形如圖所

17、示。根據(jù)幾何關系求得Vr= V( ve2 +va2 -2vevacos60 o ) =3.6 m/sVe與 va 間的夾角 B =arcsin (ve/vr*sin60 o ) =46o 12總結以上，在分析三種運動時，首先要選取動點和動參考系。動點相對于動系是 運動的，因此它們不能處于同一物體；為便于確定相對速度，動點的相對軌跡應 簡單清楚。8.3當牽連運動為平移時，動點的絕對加速度等于牽連加速度和相對加速度 的矢量和。第9章剛體的平面運動9.1剛體平面運動的分析：其運動方程x=f1(t) y=f2(t)9 =f3(t)完全確定平面運動剛體的運動規(guī)律在剛體上，可以選取平面圖形上的任意點為基點

18、而將平面運動分解為平移和轉動，其中平面圖形平移的速度和加速度與基點的選擇有關，而平面圖形繞基點轉動的角速度和角加速度與基點的選擇無關。9.2剛體平面運動的速度分析：平面圖形在某一瞬時，其上任意兩點的速度在這兩點的連線上的投影相等，這就是速度投影定理。Vcosa=vcosb例9-1橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動，曲柄以勻角速度0繞軸O轉動，如圖9-7所示， OC=BC=AC=r求圖示位置時，滑塊 A、B的速度和橢圓規(guī)尺AB的角速度。解 已知OC繞軸O做定軸轉動，橢圓規(guī)尺 AB做平面運動，vc=3 0r。(1) 用基點法求滑塊A的速度和AB的角速度。因為C的速度已知，選C為基 點。vA=Vc+VAC式

19、中的VC的大小和方向是已知的，vA的方向沿y軸，vAC的方向垂直于AC，可 以作出速度矢量圖，如圖9-7所示。由圖形的幾何關系可得vA=2vccos30 =底3 0r,Vac=Vc，Vac=3 ABr解得3 AB=w 0 (順時針)(2) 用速度投影定理求滑塊B的速度，B的速度方向如圖9-7所示。vBBC=vCBCVccos30 =vBcos30解得Vb=vC= 3 Or第三篇 動力學第10章質點動力學的基本方程1. 牛頓第一定律：不受了作用（包括受到平衡力系作用）的質點，將保持靜止 或做勻速直線運動。又稱慣性定律。2. 牛頓第二定律：質點的質量與加速度的乘積，等于作用于質點的力的大小， 加速

20、度的方向與力的方向相同。F =ma3. 牛頓第三定律：兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反， 沿著同一直線，同時分別作用在這兩個物體上。例 10-5物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5所示。物塊的質量為 m彈簧的剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長變形量為a時，釋放物塊。求物塊的運動規(guī)律。解以彈簧未變形處為坐標原點 0,設物塊在任意坐標x處彈簧變形量為|x|，彈 簧力大小為F=k|x|，并指向0點，如圖10-5所示，則此物塊沿x軸的運動微分 方程為=Fx=-kx令3 2門亠，將上式化為自由振動微分方程的標準形式一+3 2 nx=0HLaf上式的解可寫為X=Acos（3 nt+ 9 ）

21、其中A、9為任意常數(shù)，應由運動的初始條件決定。由題意，當t=0時，臺=0,x=a，代入上式，解得9 =0, A=a,代入式中，可解得運動方程為 X=acos3 nt第11章動力定理B = mVe1. 動量：等于質點的質量與其速度的乘積.2. 質點系的動量定理： 微分形式：質點系的動量對時間的一階導數(shù)等于作用在該質點系上所有外力 的矢量和. 積分形式：質點系的動量在任一時間間隔內(nèi)的變化，等于在同一時間間隔內(nèi)作 用在該指點系上所有外力的沖涼的矢量和.（沖涼定理）3. 質心運動守恒定律：如果所有作用于質心系的外力在x軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即刀F=0,則Vex二常量，這表明質心的橫坐標xc不變或質

22、心沿x軸 的運動時均勻的。8例11-5 :已知液體在直角彎管ABCD中做穩(wěn)定流動，流量為 Q,密度為p, AB端流入截面的直徑為d,另一端CD流出截面的直徑為di。求液體對管壁的附 加動壓力。解 取ABCD一段液體為研究對象，設流出、流入的速度大小為vi和v2,則皿代V1二-， v2=-盤丿瓦建立坐標系，則附加動反力在Q汶、y軸上的投影為F Nx=p Q(v2-0)= ndi F Ny=p Q 0-(-vi ) ndi例11-7 :圖11-6所示的曲柄滑塊機構中，設曲柄 OA受力偶作用以勻角速 度w轉動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=J OA及 AB都為均質桿，質量都為m1, 滑塊B的質量為

23、m2試求此系統(tǒng)的質心運動方程、軌跡及此系統(tǒng)的動量。解 設t=0時桿OA水平，則有=wt。將系統(tǒng)看成是由三個質點組成的，分 別位于桿:OA的中點、桿AB的中點和B點。系統(tǒng)質心的坐標為Xc= 一cos業(yè)Icos cotYc=-.-.i - - s in o t=:-ls in o t 上式即系統(tǒng)質心C的運動方程。由上兩式消去時間t,得xc 2 +-2 =1即質心C的運功軌跡為一橢圓，如圖11-6中虛線所示。應指出，系統(tǒng)的動量, 利用式(11-15 )的投影式，有Px=mvcx=(2m1+m2=-2(m1+m2)l o sin o tPy=mvcy=(2m1+m2)- =m1lo cos o tG9

24、LJ例11-11 :平板D放置在光滑水平面上，板上裝有一曲柄、滑桿 、套筒機 構，十字套筒C保證滑桿AB為平移，如圖示。已知曲柄 0A是一長為r，質量為 m的均質桿，以勻角速度 w繞軸0轉動?；瑮UAB的質量為4m,套筒C的質量為 2m機構其余部分的質量為20m設初始時機構靜止，試求平板 d的水平運動規(guī) 律 x(t)。解 去整體為質點系，說受的外力有各部分的重力和水平面的反力。因為 外力在水平軸上的投影為零，且初始時靜止，因此質點系質心在水平軸上的坐標 保持不變。建立坐標系，并設平板 D的質心距O點的水平距離為a，AB長為I， C距O點的水平距離為b,則初始時質點系質心的水平軸的坐標為Xc仁-=

25、曲.寸卅討紺總20m+m+4m+2m27設經(jīng)過時間t，平板D向右移動了 x(t)，曲柄OA轉動了角度wt,此時質點系質 心坐標為Xc2=(1)+rcoswt+2mx(t)+b27mr因為在水平方向上質心守恒，所以 xc1=xc2, 解得：X(t)= - (1-cos 3 t)第12章動量矩定理1. 質點和質點系的動量矩：指點對點O的動量矩失在z軸的投影，等于對z軸的動量矩，即Lo(mv)=Lz(mv)質點系對固定點O的動量矩等于各質點對同一點 O的動量矩的矢量和.即:Lo=刀 Lo(mv)2. 繞定軸轉動剛體對于轉軸的動量矩等于剛體對轉軸的裝動慣量與角速度的乘積.(Lz=wJz)3. 平行軸定

26、理：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對通過質心并與該軸平行 的軸轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積.4. 動量矩定理：質點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質點的力 對同一點的矩.(b10LJ例12-2 :已知均質細桿和均質圓盤的質量都為 m,圓盤半徑為R,桿長3R,求擺對通過懸掛點0并垂直于圖面的Z軸的轉動慣量 解擺對Z軸的轉動慣量為Jz=Jz 桿+Jz 盤 桿對Z軸的轉動慣量為Jz桿=ml 2 =m( 3R)2 =3mR2圓盤對其質心的轉動慣量為Jzc2= -mR2利用平行軸定理人門丙Jz盤=Jzc2+m(R+l 2)= mR2 +16mR =- mF?所以蹄 恕Jz

27、= Jz 桿 +Jz 盤=3mR2mR =二 mR 2例12-3 :質量為M1的塔倫可繞垂直于圖面的軸 0轉動，繞在塔輪上的繩索 于塔輪間無相對滑動，繞在半徑為r的輪盤上的繩索于剛度系數(shù)為k的彈簧相連 接，彈簧的另一端固定在墻壁上，繞在半徑為R的輪盤上的繩索的另一端豎直懸 掛質量為M2的重物。若塔輪的質心位于輪盤中心0,它對軸0的轉動慣量Jo=2mr,R=2r,M仁m,M2=2m求彈簧被拉長s時，重物M2的加速度。解 塔輪做定軸轉動，設該瞬時角速度為 w,重物作平移運動，則它的速度 為v=Rw,它們對0點的動量矩分別為Lo1， Lo2，大小為Lo仁-Jo w=-2mr2w， Lo2=-2mR2w=-8m2 2 系統(tǒng)對0點的外力矩為M0 () =J r-m2g R=ksr-4mgr根據(jù)動量矩定理“ L0=2 M0(得 10mr2=(4mg-ks)ra _ dt - lOmT因重物的加速度a2=Ra，所以：a2=Ra =11第13章動能定理1. 質點系動能的微分，等于作用在質點系上所有力所做元功的和，這就是質點系 微分形式的動能定理.(13-23)2. 質點系積分形式的動能定理：質點系在某一運動過程中動能的改變量，等于作用在質點系上所有力