FIR濾波器和IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)

1、4.3.5全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)lattice structure)。1973年，Gray和Markel提出一種新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式，即格型結(jié)構(gòu)（ 這是一種很有用的結(jié)構(gòu)，在功率譜估計(jì)、語(yǔ)音處理、自適應(yīng)濾波等方面以得到了廣泛的應(yīng)用。這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是，對(duì)有限字長(zhǎng)效應(yīng)的敏感度低，且適合遞推算法。這種結(jié)構(gòu)有三種形式，即適用于FIR系統(tǒng)的全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)和適用于IIR系統(tǒng)的全極點(diǎn)和零極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)。下面先介紹圖7.10所示的全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)。其他兩種個(gè)性結(jié)構(gòu)將留到第4.3節(jié)討論。格型結(jié)構(gòu)是由多個(gè)基本單元級(jí)聯(lián)起來(lái)的一種極為規(guī)范化的結(jié)構(gòu)。圖7.11示出其中的第m極。與FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)一樣，全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)也是沒(méi)有反饋支

2、路的，第1級(jí)第2飯+第M-1級(jí)第M級(jí)的）也）J小a幾-工（鬼）_0 /A1 11 z11I44I:門(mén)g腫£0)紐3)幼打（鬼）£対_0)x（型）f% K府O以鬼）f血） 心護(hù)圖7.10全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)(26)3圖7.11全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)的基本單元讓我們從一組FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)開(kāi)始研究全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)。圖7.10中，以x（n）為輸入序列，后接 M個(gè)格型級(jí)，這樣就形成M個(gè)濾波器：第 m（m=1,2,.,M ）個(gè)濾波器有兩個(gè)輸出，即上輸出fm（n）和下輸出gm（n）。以fm（n）為輸出的濾波器稱為前向?yàn)V波器；以gm（n）為輸出的濾波器稱為后向?yàn)V波器。對(duì)于M個(gè)前向FIR濾波器，它們的

3、系統(tǒng)函數(shù)為:Hm(Z)=Am(Z),m 1,2,.,M(18)式中，Am（z）是多項(xiàng)式:mAm(z) =1am(k)zkzt1 <m <M(19)這里，為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方便，令式子右邊第1項(xiàng)為1；下標(biāo)m代表濾波器序號(hào)，也代表濾波器的階數(shù)，例如，給定a(0) =1以及a(1),a(2),.,a(M )，則第4個(gè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H4(z) =1 +a4(1)z-* +a4(2)z 工 +a4(3)z' +a4(4)z*設(shè)第m個(gè)濾波器的輸入、輸出序列分別是x(n)和y(n),則m(21)y(n) =x(n) +送 am(k)x(n k)k 二其直接型實(shí)現(xiàn)如圖12所示。7Z曲(2)

4、"V觀(也1) "V搐(怖)圖7.12 FIR濾波器的一種直接實(shí)現(xiàn)形式m =1階濾波器的輸出可表示為y(n ) = x(n)+£1 x(n1)(22)該輸出也可以從圖12所示的第一級(jí)格型濾波器得到。圖中，兩個(gè)輸入端聯(lián)在一起，激勵(lì)信號(hào)為x(n)。從兩個(gè)輸出端得到的信號(hào)分別為f/n)和g (n):.rt.= x(n) + k0X(n -1)= k0X( n) x( n1)(23)其次我們考慮二階 FIR濾波器，它的直接型結(jié)構(gòu)輸出為y(n) =x(n) +a2 (1)x(n-1) + a2(2)x( n2)= x( n) x(n-1) x(n-2)1 a?。)a2(2)

5、T(24)上式將輸出y(n)表示為兩個(gè)向量的內(nèi)積，T表示向量轉(zhuǎn)置。相應(yīng)地，這個(gè)二階濾波器可以用兩個(gè)級(jí)聯(lián)的格型單元(圖10前面的兩級(jí))來(lái)實(shí)現(xiàn)。，圖中，第一級(jí)的輸出為fi(n )=x( n)+kix( n 1)lgi(n) =k1X(n) -x(n -1)(25)下2( n) = f1( n) + k2g1 (n-1)g2(n) *£(n) +g1(n1)將式(25)中的fi(n)代入式(26)中，得mf2(n) =x(n) + KxCn -1) +k2k1x(n -1) +x(n 2)=x(n) +匕(1 + k2)x(n -1) +k2x(n -2)現(xiàn)在令式(24)和式(27)的系數(shù)

6、相等，即a2(2) = k2,a2(1) =ki(1 + k2)(28)(39)6于是，得二階格型結(jié)構(gòu)的參數(shù)k2 =a2(2),a2(1)k1 =1七2 (2)(29)其中，k2 =&2(2)這個(gè)結(jié)果是很容易理解的。從圖7.12看，如果濾波器階數(shù) m = 2，則時(shí)延為2的輸入輸出傳輸值為 a2(2)，而從圖7.10看，從輸入到上端輸出有三條可能的支路,而其中時(shí)延為2的支路傳輸值為k1。如果這兩個(gè)流圖等效， 則應(yīng)有k2 =a2(2)。因此可以推論，若有m個(gè)格型級(jí)，則其最右邊的支路km與直接型結(jié)構(gòu)的參數(shù) am(m)相等:km =am(m)(30)為了得到其它支路傳輸值km4,km丄,K與直

7、接型結(jié)構(gòu)的參數(shù)之間的關(guān)系，我們需要從圖7.10 所示的M階格型結(jié)構(gòu)的最右邊做起：根據(jù)M階濾波器的直接型參數(shù)，依次求M -1，M -2,M -3,.,1階濾波器的直接型參數(shù)。這是降階遞推。只要求出m階濾波器的系數(shù)組am(k),k =1,2,.,m，則格型結(jié)構(gòu)的支路傳輸= am(m)。式(29)表明，二階格型結(jié)構(gòu)的兩個(gè)參數(shù)k1和k2可以根據(jù)直接型結(jié)構(gòu)的參數(shù)求出。繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，可以得到一個(gè) m階直接型FIR濾波器和一個(gè) m階或m級(jí)格型濾波器之間的等 效性。按照?qǐng)D7.10，格型濾波器可用遞歸方程描述為fo(n) =g0( n) =x(n)(31)fm(n) = fm4( n)+kmgm4( n T),

8、m = 12,M-1(32)gm( n) =kmfm4( n) + gm4(門(mén)一1),m = 1,2，,M-1(33)濾波器的輸出，即(34)因此，第M-1級(jí)濾波器的輸出相當(dāng)于M-1階FIRy(n) = fM 4(n)因?yàn)镕IR濾波器和格型濾波器的輸出fm(n)可以表示為fm(n)=1： am(k)x(n k)am(O) =1(35)而這個(gè)式子是兩個(gè)序列的卷積和，所以它遵從z變換關(guān)系(36)Fm(Z)= Am(Z)X X(z)F0(z)現(xiàn)在我們來(lái)看二級(jí)格型濾波器的另一個(gè)輸出g2(n)。由圖 7.10 得g2( n) =k2fi(n) +gi( n-1)= k2x( n) + k,x( n-1)

9、 +k,x(n-1) +x(n-2) =k2X(n) +k1(1 k2)x( n -1) +x(n 2)= a2( 2)x( n) + a2(1)x( n -1) +x(n 2)=x( n) x(n1) x(n -2)a2 (2)a2(1)1(37)可見(jiàn)，對(duì)于g2(n)為輸出的后向?yàn)V波器，濾波系數(shù)組為a2(2)a2(1)1，而對(duì)于以 f2(n)為輸出的濾波器，濾波系數(shù)組按相反次序排列，為1 a2(1)a2(2)。根據(jù)以上分析?？梢?jiàn)m級(jí)格型濾波器的輸出gm(n)可以用卷積和形式表示為gm(n)Pm(k)x(n -k)(38)k=0式中,濾波系數(shù) Pm(k)與產(chǎn)生輸出fm(n) = y(n)的另一

10、濾波器有關(guān)，只不過(guò)操作次序相反。例如,如果m = 6，a6 (0) =1,a6(1)2, a6 =4, a6 (3) = 7, a6(4) = 5,a6 (5) = 3, a6(6) = 6，%(6) =1沖6(5) =2,斥(4) =4,% (3) =7,%(2) = 5, p6(1) = 3, %(0) = 6Pm(k) =am(m-k),Pm(m) =1k = 0,1,.,m在Z域中，式(38)變?yōu)镚m(Z)= Bm(Z)X(Z)(40)BGm(Z)Bm(Z)K(41)這里，Bm(z)是下輸出端相對(duì)于輸入端的系統(tǒng)函數(shù);mBm(Z)=2 Pm(k)Z 上k=0(42)因?yàn)?Pm(k) =a

11、m(m k)，故mmBm(z) =：S am(m-k)z=2 am(j)zjk=0j=0m"臨 am(j)zjj=0-m A / 二 =Z An(Z )(43)這個(gè)式子描述前、后向?yàn)V波器系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系?，F(xiàn)在我們回到式(31) ( 33)的遞推方程組,并把它們變換到Z域Fo(z) =Go(z) =X(z)(44)Fm(Z)=Fm(Z)+kmZGm4(Z),m = 1,2,.,M-1(45)Gm(Z)= kmFm4(Z)+ZGmj(Z),m = 1,2,.,M-1(46)各式除以X(z)并利用前面的關(guān)系式，可得(47)人二 Bo(z) =11Am(Z)=Am4Z)+ kmZ Bm4(

12、Z),m =1,2,.,M-1(48)1Bm(z)=kmAnn4(z)+Z Bm4(Z),m =12,.,M-1(49)11(50)m = 1開(kāi)始按升階遞推法求出直接因此，在Z域，一個(gè)格型級(jí)可用矩陣方程描述為Am(Z)LRkmAUz)Bm(Z)km 1 j(zBm(z)J利用式(47) -( 49)可以根據(jù)格型濾波器系數(shù)，從 型濾波器系數(shù)。例給定三級(jí)格型濾波器如圖13所示。確定與之等效的直接型結(jié)構(gòu)的FIR濾波器系數(shù)。"（叭K1 = 13 24,2 = 12, K疔 1,3圖13給定三級(jí)格型濾波器解 根據(jù)式（48）,得A（z）=A0（z）+kiZBo （z）因此，對(duì)應(yīng)于單級(jí)格型的FIR

13、濾波器系數(shù)為 印（0）=1。16（1） =k1 =，因Bm（z）是Am（z）的反轉(zhuǎn)多項(xiàng)式，故414B1（z） =- +z4其次，對(duì)于m=2得格型濾波器，根據(jù)式（48）得A2（z） =A（z） +kiZBi（z）=18 2因此，對(duì)應(yīng)于二級(jí)格型的FIR濾波器系數(shù)為31&2（0）=1， a2（1） =（2）= 。此外821B2（z）=-2最后，添上第三個(gè)格型級(jí)，得出多項(xiàng)式3 _2_3+氓+z8A3（z）=A2（z）+k3z4B2 （z）=1+坐 zr'z2483-3因此，與給定三級(jí)格型濾波器等效的直接型FIR濾波器系數(shù)為a3（0） “比=T,a3=：,a32483a3（0）二1,%。

14、）= T,a3 蔦,a3 （3）2483假定已知M階直接型FIR濾波器的系數(shù)或者多項(xiàng)式A （z）,我們希望確定相應(yīng)的格型濾波器的系數(shù)組ki，i =12.,M。對(duì)于第M個(gè)格型級(jí)，可直接得出kiM =Am（M）,所以,只需從M -1開(kāi)始降階遞推過(guò)程。為了得到kMj，只需求出多項(xiàng)式Am 二(Z) =1 + Am 二(1)zr.十 Am(M -1)ZM就可以得到kM=AM_L（M -1）。根據(jù)式（48）和式（49），可以得到降階遞推關(guān)系:Am( Z)= ArnJz) +lkmZBm(Z)=Am(Z)+kmBmZ) -kmAm(Z)于是,A (z)Am(Z)-kmBma(z)=1-kmm = M 1,

15、M(51)例 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H（z） =Am （z） =1 +13zr|z，248確定對(duì)應(yīng)于該FIR濾波器的格型系數(shù)。1解 首先，直接得出ks =a3（3）=,而且315 A 13 -2-3B3（z）=-+ z + z +z3824在m = 4的情況下，利用式（51）降階遞推，得A (3)-k3B3(z) =1+3zr1z'8 2g1k；1 1 3因此，k2 =a2（2）=和 B2（z） = + - z，+z°。2 2 8最后，在m =2的情況下，再降階遞推，得A2(2)-k2B2 (z)因此,1k1 =A（1）= 4圖13示出所得三級(jí)格型濾波器。4.3.5 II

16、R系統(tǒng)的全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)IIR濾波器的全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)H(Z)為(12)1H(z)=M1-2 akZk4與M階FIR系統(tǒng)函數(shù)相比較，可見(jiàn)這兩種系統(tǒng)互為逆系統(tǒng)。我們?cè)诘诠?jié)以研究了 FIR系統(tǒng)的(全零點(diǎn))格型結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在我們要基于式(12)找出IIR系統(tǒng)的全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)。最簡(jiǎn)單的途徑就是研究逆系統(tǒng)的信號(hào)流圖，從中找出規(guī)律。給定一階FIR系統(tǒng)函數(shù)為(13)(14)H=X|=c+k1z則差分方程為y(n) =cx(n) +k1x( n -1)圖19是相應(yīng)的信號(hào)流圖13O咖(15)(16)一階FIR系統(tǒng)逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H'(Z)=YZUX(z) c + kz其差分方程為y(n)二丄啟n)-k1y(n

17、-1)c圖20示出相應(yīng)的信號(hào)流圖。圖20 一階FIR系統(tǒng)的逆系統(tǒng)所以，可以按照?qǐng)D 21所示的中間步驟從原系統(tǒng)得到逆系統(tǒng):（1）（2）（3）（5）統(tǒng)。將原系統(tǒng)流圖的直通通路全部反向（圖原系統(tǒng)流圖的直通通路傳輸值取倒數(shù)（圖 指向直通通路的支路傳輸值改變符號(hào)（圖改變輸入、輸出位置（圖按照習(xí)慣，改畫(huà)圖21d）21d，使輸入端在左,何業(yè)）圖21從一階于是，可以用上述方法從圖21a)。21b )。21c)。輸出端在右，即可得到圖20所示的逆系(f)FIR系統(tǒng)得到其逆系統(tǒng)的中間步驟7.10的全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)得到圖7.22的全極點(diǎn)結(jié)構(gòu)第1級(jí)第2圾第M-1級(jí)第就級(jí)久何G代） a 的-Y仝/環(huán)7 1飭3）g f N

18、 ：:g就a幼一2.3）g；也）圖7.22全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)已知IIR系統(tǒng)函數(shù)為Hur (Z)=1 +24dc 廠 ,，求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)并畫(huà)13 4 丄5 / 亠1 JZ +-z +-z83出該結(jié)構(gòu)。解：13 A 5 二 13已求出F|R系統(tǒng)函數(shù)為Hfir（zT+-z-z-1z的格型結(jié)構(gòu)，如圖167.23所示。咒(趨)*ZZK = 13 24,莊2 = 1圖7.23 3階FIR系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)1今逆系統(tǒng)Hiir(z)=而m，根據(jù)上述求逆系統(tǒng)流圖的方法，可知圖14是Hiir(z)的流圖。Z© = 13/24,圖7.24例的全極點(diǎn)結(jié)構(gòu)例 已知IIR系統(tǒng)函數(shù)為H(Z)=1Z21-1.7Z +1.

19、53Z-0.648Z3，求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)并畫(huà)出該結(jié)構(gòu)。解 利用MATLAB函數(shù)dir2latc可以由已知的直接型結(jié)構(gòu)求出格型結(jié)構(gòu)系數(shù)。本例的MATLAB程序如下：b = 1 -1.7 1.53 -0.648;k = dir2latc(b)運(yùn)行結(jié)果：k = 1.0000-0.70260.7385-0.6480ZZ所得的格型結(jié)構(gòu)示于圖7.25。在按全極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)計(jì)算方法計(jì)算圖7.26的系數(shù)k,k2,.,kN時(shí)，同時(shí)算出了Bm（z）。(19)圖7.25 例的全極點(diǎn)結(jié)構(gòu)4.3.6 IIR系統(tǒng)的零-極點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)的IIR系統(tǒng)函數(shù)為MS bkZ上H(z) B(z) 7H (Z) =NA1+2

20、：akz 主kA它的格型結(jié)構(gòu)示于圖 7.26。由圖可以看出:(1) 如果G =C, =. =Cn =0。=1，則圖7.26和圖7.22的全極點(diǎn)系統(tǒng)的格型結(jié) 構(gòu)完全一樣。(2)如果k1 =k2 = . =kN =0，則7.26變成一個(gè)N階FIR系統(tǒng)的直接實(shí)現(xiàn)形式。Y點(diǎn)。顯然，下上半部對(duì)下半因此，圖7.26的上半部對(duì)應(yīng)全極點(diǎn)系統(tǒng)1/A(z)，其輸出點(diǎn)在圖中的半部對(duì)上半部無(wú)任何反饋。于是，參數(shù)k1,k2,.,kN仍可按全極點(diǎn)系統(tǒng)的方法求出。部有影響。所以系數(shù)組Ci和b不會(huì)完全相同。現(xiàn)在的任務(wù)是求出Ci，i =0,1，N。19第W級(jí)第N-1級(jí)圖7.26零點(diǎn)-極點(diǎn)系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)上一節(jié)論述FIR全零點(diǎn)格型

21、結(jié)構(gòu)時(shí)，曾介紹前向、后向?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)?，F(xiàn)在，由圖7.26可以看出：下半部的N個(gè)輸入就是N個(gè)后向?yàn)V波器的輸出gm(n)，m =0,1，N。將圖7.26與圖7.10對(duì)比一下，可知對(duì)于圖7.26來(lái)說(shuō)，后向?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)是Gm(Z)Bm(Z Y(z)m = 1,2,., N(18)圖7.26中，下半部的N個(gè)輸入端，用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)出。定義整個(gè)系統(tǒng)的輸入端到下半部 的N個(gè)輸入端之間的系統(tǒng)函數(shù)為Hm(Z)=Gm(Z)/X (Z)故得Hm(Z)=即Z)G,0(Z) =Bm (Z)/A(Z)G0(z) X(z)(20)整個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)是H0（Z）,H1（Z）,.,Hn（Z）加權(quán)后的總和，即NNH(ZZ

22、CmHm(z)=Zm z0m=0CmBm (Z) = B(Z)A(z) " A(z)(21)式中,Bm(z) =zdAm(z-*)（上一節(jié)的公式在求解k1,k2,.,kN時(shí)，將同時(shí)產(chǎn)生出 Am（z）和Bm（z）。詳見(jiàn)第節(jié)。將式（）代入式（21），得NB(Z)=S bmZ"mAm()mz0(22)F面說(shuō)明系數(shù)組c的遞推計(jì)算法。m階多項(xiàng)式的形式如下:AJZ)"+am(1)Z+amZ2 +.+am(m)Z(23)將式（23）代入式（22），可求出多項(xiàng)式系數(shù)bm與cm和am（i）的關(guān)系為Cn =bN(24)Nbm =Cm + 2 Ciai(i m),i zzm 十(25)這樣，若給出圖7.26中的系數(shù)組Cm，則可求出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子多