專題：與圓有關(guān)的最值問題

1、與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例1:在坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3 ,0）,點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點，且AC=2設(shè) tan / BOC=m則m的取值范圍是 .引例2 :如圖，在邊長為1的等邊OAB中，以邊AB為直徑作OD,以O(shè)為圓心OA長為半徑作OO,C為半圓弧AB上的一個動點（不與 A、B兩點重合），射線AC交O O于點E, BC=a , AC=b，求a b的最大值.P為圓O上一動點，以 P為圓心，PA長引例3:如圖，/ BAC=60，半徑長為1的圓O與/ BAC的兩邊相切,為半徑的圓P交射線AB、AC于D E兩點，連接DE貝懺段DE長度的最大值為（).此題是一個圓中的

2、動點問題,也是圓中的最值問題,主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識的銜接1 .引例1:通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動點C與兩個定點 O A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進行線段、角度有關(guān)計算，同時對三角函數(shù)值的變化（增減性）進行了延伸考查，其實質(zhì)是 高中“直線斜率”的直接運用；2 .引例2:通過圓的基本性質(zhì)，尋找動點 C與兩個定點A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運用；3.弓側(cè)3:本例動點的個數(shù)由引例 1、引例2中的一個動點，增加為三個動點，從性質(zhì)運用、構(gòu)圖形式、 動點關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，

3、解答中還是注意動點 D、E與一個定點A構(gòu)成三角形的不變條件 （/ DAE=60 ）,構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實質(zhì)是高中“正弦定理”的直接運用；綜合比較、回顧這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透二、解題策略1 .直觀感覺，畫出圖形；2 .特殊位置，比較結(jié)果；3 .理性分析動點過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立 等式，進行轉(zhuǎn)化三、中考展望與題型訓(xùn)練 例一、斜率運用如圖，A點的坐標(biāo)為（-2 , 1）,以

4、A為圓心的O A切x軸于點B, P（a, b）為O A上的一個動點，請分別探索:【拓展延伸】：b 2a的范圍；b -2a的范圍；例二、圓外一點與圓的最近點、最遠(yuǎn)點1 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3點D是平面內(nèi)的一個動點，且 AD=2, M為BD的中點，在 D點運動過程中，線段 CM長度的取值范圍是2. 如圖，O O的直徑為4, C為O O上一個定點，/ ABC=30 ,動點P從A點出發(fā)沿半圓弧 AB向B點運動(點P與點C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點到達(dá)B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.(1) 在點P的運動過程中，線段(

5、2) 在點P的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為;AD長度的最大值為.例三、正弦定理1 如圖， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2,. 2 , D是線段 BC上的一個動點，以 AD為直徑作OO 分別交ABAC于E, F兩點，連接EF,則線段EF長度的最小值為2.如圖，定長弦 CD在以AB為直徑的O O上滑動(點 C D與點丄AB于點P,若CD=3 AB=8貝U PM長度的最大值是 .A、B不重合)，M是CD的中點，過點C作CP例四、柯西不等式、配方法1如圖，已知半徑為 2的OO與直線I相切于點A,點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點 P作直線I的垂線，垂足為C, PC

6、與OO交于點D,連接PA PB,設(shè)PC的長為x ( 2V x V 4),則當(dāng)x=時，PD?CD的值最 大，且最大值是為2. 如圖，線段AB=4, C為線段AB上的一個動點，以AC BC為邊作等邊 ACD和等邊 BCE OO外接于 CDE則O 0半徑的最小值為（）.A.4 B. 2 3 C.33. 22D. 23. 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點0為圓心，2為半徑畫O O, P是O 0上一動點，且 P在第一象限內(nèi)，過點P作O 0的切線與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,線段AB長度的最小值是例四、相切的應(yīng)用（有公共點、最大或最小夾角）則線段CE長度的最小值是.1 如圖，在 Rt ABC中，/ C

7、=90°, AC=6 BC=8 D為AB邊上一點，過點 D作CD的垂線交直線 BC于點E,2.如圖，Rt ABC中，/ C=90°,Z A=30°, AB=4,以AC上的一點 0為圓心 0A為半徑作O 0,若O 0與邊BC始終有交點（包括 B、C兩點），則線段A0的取值范圍是 _.3如圖，射線 PQ/射線MN PML MN A為PM的中點，0為射線PQ上的一個動點， AC丄AB交MN于點C,當(dāng)以0為圓心，以0B為半徑的圓與線段PM有公共點時（包括P、M兩點），則線段0P長度的最小值為例五、其他幾何知識的運用如圖所示，AC丄AB, AB=6, AC=4,點D是以AB

8、為直徑的半圓 0上一動點，DEL CD交直線AB于點E,設(shè)/ DAB=, (0 ° V :- < 90 °).若要使點E在線段 0A上(包括 0、A兩點)，則tan的取值范圍為.©1【題型訓(xùn)練】1如圖，已知直線I與O 0相離，0ALI于點A,0A=50A與O 0相交于點P,AB與O 0相切于點B, BP的延長線交直線I于點C,若在O 0上存在點Q使厶QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O 0的半徑r的取值范圍為.CDGF0B E2.已知：如圖， Rt ABC中，/ B=90o,Z A=30o, BC=6cm點0從A點出發(fā)，沿 AB以每秒 廳cm的速度向B 點

9、方向運動，當(dāng)點 0運動了 t秒(t >0)時，以O(shè)點為圓心的圓與邊 AC相切于點D,與邊AB相交于E、F兩點, 過E作EG丄DE交射線BC于 G.(1) 若點G在線段BC上，貝U t的取值范圍是 ;(2) 若點G在線段BC的延長線上，則t的取值范圍是.3. 如圖，O M O N的半徑分別為 2cm, 4cm,圓心距MN=10cm P為O M上的任意一點，Q為O N上的任意一點,tan/.-的最大值為().”、V6(B)4,、(A)-(C)1233Q.Pn i直線PQ與連心線I所夾的銳角度數(shù)為:,當(dāng)P、Q在兩圓上任意運動時,ABCD中,4.如圖，在矩形AB=3, BC=4, 0為矩形 AB

10、CD勺中心，以D為圓心1為半徑作O D, P為O D上的一個動點，連接 AP 0P則厶AOP面積的最大值為().(A)4(B)21(C)35(D)175.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°, AC=8 BC=6經(jīng)過點 C且與邊AB相切的動圓與 CA CB分別相交于點 P、 Q則線段PQ長度的最小值是（）.A.194246.如圖，在等腰 Rt ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 D是AB的中點，點E在AB邊上運動（點 E不與點A重合），過A、D E三點作O 0,0 O交AC于另一點F,在此運動變化的過程中，線段EF長度的最小值為7.如圖， 一個動點,A B兩點的

11、坐標(biāo)分別為 線段DA與y軸交于點C.1（2 , 0）、（0, 2） , O C的圓心的坐標(biāo)為（-1 , 0），半徑為1,若D是O C上的 丘，則厶ABE面積的最小值是2衛(wèi)2B&如圖，已知 一個動點，射線1, D是OC上的(0 , 1),().A B兩點的坐標(biāo)分別為（-2 , 0）、AD與y軸交于點丘，則厶ABE面積的最大值是（）.1110C.33Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 O C的半徑為1,點P在斜邊 AB上, PQ切O O于點 Q 則9.如圖，等腰 切線長PQ長度的最小值為（）.A. 7 B.22C. 3D.410.如圖/ BAC= 60°，半徑長1O P交射線AB AC于D E兩點,的OO與/ BAC的兩邊相切, 連接P為O O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的DE則線段DE長度的范圍為 .E.D B11.在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3, 0），點P （ m, n ）12 .在坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為(3, 0),點B是y軸右側(cè)一點，且 AB=2,點C上直線y=x+