數字信號處理實驗二

1、實驗二 快速傅里葉變換(FFT)及其應用一、思考題(1) 實驗中的信號序列和在單位圓上的z變換頻譜會相同嗎?如果不同，說出哪一個低頻分量更多一些，為什么?答：設 因為為單位圓，故r=1.因為，故 比較可知頻譜不相同，的低頻分量多。(2) 對一個有限長序列進行DFT等價于將該序列周期延拓后進行DFS展開，因為DFS也只是取其中一個周期來運算，所以FFT在一定條件下也可以用以分析周期信號序列。如果實正弦信號 用16點FFT來做DFS運算，得到的頻譜是信號本身的真實譜嗎?為什么?答：針對原來未經采樣的連續(xù)時間信號來說，FFT做出來的永遠不會是信號本身的真實頻譜，只能夠是無限接近。FFT頻譜泄露問題是

2、一定會存在的，因為畢竟采樣率再高，也不能完全達到原來的連續(xù)時間信號準確。原題的采樣率是1/10，就是將2*pi分成10份，即每個正弦波周期進行10次采樣，這樣的采樣率很低，而最后你只截取16個點來做分析，泄露一般會挺嚴重，看到的頻譜，應該是一個上頭尖，下面慢慢變寬的尖錐形，而純正的正弦波的理想頻譜應該是在某頻點只有一個尖峰。二 實驗原理： （1）混疊：采樣序列的頻譜是被采樣信號頻譜的周期延拓，當采樣頻率不滿足奈奎斯特采樣定理的時候，就會發(fā)生混疊，使得刺癢后的序列信號的頻譜不能真實的反映原采樣信號的頻譜。 （2）泄露：根據理論分析，一個時間的信號其頻帶寬度為無限，一

3、個時間無限的信號其頻帶寬度則為有限。因此對一個時間有限的信號，應用DFT進行分析，頻譜混疊難以避免。對一個時間無限的信號雖然頻帶有限，但在實際運算中，時間總是取有限值，在將信號截斷的過程中，出現了分散的擴展譜線的現象，稱之為頻譜泄露或功率泄露。 （3）柵欄效應：DFT是對單位圓上Z變換的均勻采樣，所以它不可能將頻譜視為一個連續(xù)函數，就在一定意義上看，用DFT來觀察頻譜就好象通過一個柵欄來觀看一個景象一樣，只能在離散點上看到真實的頻譜，這樣就有可能發(fā)生一些頻譜的峰點和谷點被“尖樁的柵欄”所擋住，不能被我們觀察到。 （4）圓周卷積：把序列X（N）分布在N等份的圓周上，而序列Y（

4、N）經反摺后也分布在另一個具有N等份的同心圓的圓周上。兩圓上對應的數兩量兩相乘求和，就得到全部卷積序列。這個卷積過程稱做圓周卷積。 （5）互相關函數反映了兩個序列X（N）和Y（N） 的相似程度，用FFT可以很快的計算互相關函數。二、上機內容實驗中用到的信號序列: a) 高斯序列 b) 衰減正弦序列 c) 三角波序列d) 反三角波序列實驗內容思考題：1、觀察高斯序列的時域和幅頻特性，固定信號xa（n）中參數p=8，改變q的值，使q分別等于2、4、8，觀察他們的時域和幅頻特性，了解當q取不同值時，對信號序列的時域和幅頻特性的影響；固定q=8，改變p，使p分別等于8、13、14，

5、觀察參數p變化對序列的時域和幅頻特性的影響，注意p等于多少時，會發(fā)生明顯的泄漏現象，混疊是否也隨之出現？記錄實驗中觀察到的現象，繪出相應的時域和幅頻特性曲線。答：時域：當p固定，q變化時，由時域波形可知，q代表了波形以p為中心向兩側衰減的速度，發(fā)現當q越大時，衰減的速度越快，反之，衰減的速度相對較慢，高頻分量越小。頻域：當q固定，p變化時，由時域波形可知，p代表了波形的移序，在頻譜上，顯而易見，在p更大的時候產生了更多的高頻分量。右移之后，序列相當于被截斷，那么相對應的其頻譜泄漏的情況更加的嚴重，從而出現了高頻分量較多的情況。信號的頻譜中高頻分量逐漸增加，頻譜泄漏逐漸明顯，并逐漸出現頻譜混疊現

6、象。當p=16時，能力泄漏至旁邊的頻率，出現較明顯的頻譜泄漏與頻譜混疊現象。隨著p值增大，信號被截斷部分增多，截斷部分的過渡帶過陡，產生高頻分量增多，而造成頻譜泄漏與混疊。2、觀察衰減正弦序列xb（n）的時域和幅頻特性，a=0.1，f=0.0625，檢查譜峰出現位置是否正確，注意頻譜的形狀，繪出幅頻特性特性曲線，改變f，使f分別等于0.4375和0.5625，觀察這兩種情況下，頻譜的形狀和譜峰出現位置，有無混疊和泄漏現象？說明產生現象的原因。答： 如圖可知滿足Nyquist定理時， f0.5，f=0.5625時不滿足Nyquist定理。隨著f的增大，頻譜的譜峰逐漸向右平移，兩譜峰逐漸

7、向中間靠攏。因為0.4375=0.5-0.0625,0.5625=0.5+0.0625， f=0.4375和f=0.5625頻譜圖關于w=p對稱 ，造成觀察到的頻譜完全相同，但實際上表示的意義卻不相同。由于存在泄漏現象，出現了高頻分量，雖然在f=0.4375時滿足Nyquist定理但實際上已發(fā)生了頻譜混疊。3、一個連續(xù)信號含有兩個頻率分量，經采樣得 xn=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+df)*n) n=0,1,2，···，N-1 已知N=16，df分別為1/1和1/64，觀察其

8、頻譜；當N=128時，df不變其結果有何不同，為什么？答：正三角波和逆三角波的時域波形上的走勢是不一樣的。在頻域上可以發(fā)現，N=8時，兩者的fft互為相反數，因為兩者的和實際上就是一個矩形窗函數，rectwin(8)，由于rectwin（8）的fft為80000000，所以除了fft（0）以外，其他都為相反數。而當N=16時，兩者之間的和為一個補零了的rectwin（8），對于N不同時得到的結果發(fā)現，實質上同一個序列補零以后的頻譜并沒有發(fā)生太大的變化，補零后的序列相當了有了更多的采樣點，在對應位置處的fft值還是相同的，不同的是，當N變大時，補零長度變大時，暴露出來的更多的采樣點值可以減輕ff

9、t的柵欄效應。4、一個連續(xù)信號含兩個頻率分量，經采樣得 x(n)=sin2*0.125n+cos2*(0.125+f)n    n=0,1,N-1 已知N=16，f分別為1/16和1/64，觀察其頻譜；當N=128時，f不變，其結果有何不同？答：由fft頻譜圖可知，在N=16時，deltaf=1/16時，fft頻譜是正確的應該是兩個沖激，但是在deltaf=1/64時，此時的信號的帶寬減小，由于采樣點數是固定的，導致卷積的過程中出現了泄露的情況，因此在第二種情況下出現了譜線擴散的情況。在N=128時，相當于擴展了加窗的寬度，因而沒有出現頻譜的泄漏。源程序：第一題圖：第二題圖：第三題圖： 第四題圖：第五題圖：第六題圖：第七題圖：第八題圖：三、實驗總結與分析 （1）利用FFT來估計模擬信號的頻率，FFT的點數越多，信號的頻譜分辨率越高，利用頻譜估計得到的信號頻率與實際的誤差越小。要想提高估計精度，應當使FFT點數在允許的范圍內盡可能的大。 （2）當信號發(fā)生截斷效應時，會產生高頻分量，這種情況下會出現頻譜混疊和頻譜泄漏現象，截斷效應越明顯，泄漏越大。 （3）對信號