直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，涉及直 線與圓的位置關(guān)系的判斷，弦長(zhǎng)問題及切線問題，此部分知 識(shí)的考查往往有一定難度 .（ 1）直線與圓的相交、相切問題，判斷直線與圓、圓 與圓的位置關(guān)系 .（ 2）計(jì)算弦長(zhǎng)、面積，與圓有關(guān)的最值；根據(jù)條件求 圓的方程 .（ 1）會(huì)用代數(shù)法或幾何法判定直線與圓的位置關(guān)系.（ 2）掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切 線、直線被圓截得的弦長(zhǎng)等直線與圓的綜合問題，體會(huì)用代 數(shù)法處理幾何問題的思想 .例 1 已知點(diǎn) P （x0, y0）,圓 O: x2+y2=r2 （r>0）,直線I: x0x+y0y=r2，有以下幾個(gè)結(jié)論

2、：若點(diǎn)P在圓O上，則直線I與圓O相切；若點(diǎn)P在圓O夕卜，則直線I與圓O相離； 若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則直線I與圓O相交；無論點(diǎn)P在何 處，直線 I 與圓 O 恒相切 . 其中正確的結(jié)論是 .破解思路 判定直線與圓位置關(guān)系的兩種方法:代數(shù)法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）： >0?圳相交； r ?圳相離；d=r ?圳相切（主要掌握幾何法） 答案詳解 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有 d= ，若點(diǎn) P 在圓O上，則x20+y20=r2, d=r，相切；若點(diǎn) P在圓0外，則 x20+y20>r2, dr，相離，故只有結(jié)論正確 .例 2 已知圓 C1：（x-2） 2+（y-3） 2=1，圓

3、C2：（ x-3）2+（y-4） 2=9, M , N分別是圓 C1, C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上 的動(dòng)點(diǎn)，則 PM+PN 的最小值為（ ）A. 5 -4 B. -1C. 6-2 D.破解思路 四種與圓有關(guān)的最值問題的求法如下： 圓 0 外一點(diǎn)A到圓上一點(diǎn)的距離的最小值為AO-r，最大值為AO+r；求ax+by（其中（x，y）為圓上的點(diǎn)）的取值范圍轉(zhuǎn)化為 直線與圓的位置關(guān)系；求（其中（x，y）為圓上的點(diǎn)）的最值可轉(zhuǎn)化為求直線的斜率；形如（x-a） 2+（ y-b）2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題 .答案詳解 兩圓的圓心均在第一象限，先求 PC1+PC2的 最小值作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的

4、對(duì)稱點(diǎn) C 1（ 2,-3）,貝（PC1+PC2 min=C 1C2=5，所以（PM+PN） min=5 - （1+3） =5 -4.故選 A.例3已知點(diǎn)E （-2, 0）, F （2, 0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn) M 滿足？ =-3,定點(diǎn)A （2, 1）,由曲線C外一點(diǎn)P （a, b）向 曲線C引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足PQ=PA.（1）求線段PA長(zhǎng)的最小值;(2)若以P為圓心所作的圓P與曲線C有公共點(diǎn)，試 求半徑取最小值時(shí)圓 P 的標(biāo)準(zhǔn)方程 .破解思路 本題的第一問實(shí)際是研究切線長(zhǎng)的問題，勾 股定理是解決此問題的常用方法 . 第二問需考查圓與圓的位 置關(guān)系，此類問題通常利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)

5、系求解 .答案詳解 (1)設(shè) M (x, y),則=(x+2, y), = (x-2, y),所以？ =( x+2, y) ?( x-2, y) =x2-4+y2=-3，即點(diǎn) M 的 軌跡(曲線C)方程為x2+y2=1，即曲線C是圓O.如圖2，連結(jié)OP,因?yàn)镼為切點(diǎn)，所以 PQ丄OQ,由勾 股定理有 PQ2=OP2-OQ2.又由已知，PQ=PA故PQ2=PA2.即 ( a2+b2) -12=( a-2) 2+( b-1 ) 2，化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù) a， b 滿足的 等量關(guān)系為2a+b-3=0,即b=-2a+3.圖2從而可得 PQ= = = = ,故當(dāng) a= 時(shí), PQmin= . 即線段 PQ 的長(zhǎng)的

6、最小值為 .(2)設(shè)圓P的半徑為R,因?yàn)閳AP與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1,所以R-1 < OPW R+1,即R> OP-1且R< OP+1; 而 OP=,故當(dāng) a=時(shí)，PQmin=,此時(shí) b= -2a+3= , Rmin= -1.所以當(dāng)半徑取最小值時(shí)，圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為x- 2+y- 2= -12.1. 若直線 y=x+b 與曲線 y=3- 有公共點(diǎn)，則 b 的取值范 圍是( )A. 1-2 ， 1+2 B. 1- ，3C. -1， 1+2 D. 1-2 ， 32. 已知兩圓相交于( 1， 3)和( m， -1)兩點(diǎn)，兩圓圓 心都在直線 x-y+c=0 上，且 m，c 均為實(shí)數(shù)， 則 m+c=3.