雙曲線(培優(yōu))-學(xué)案

1、全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）授課主題第05講-雙曲線授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)1掌握雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程;掌握雙曲線的圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);教學(xué)目標(biāo)理解數(shù)形結(jié)合的思想;了解雙曲線軌跡與其方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。授課日期及時(shí)段T (Textbook-Based)司步課堂體系搭建（一）雙曲線的定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2（|F 1F2| = 2c> 0）的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于|F1F2|且不等于零）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.集合 P= M|MF i| IMF2II = 2

2、a, IF1F2I = 2c,其中 a、c 為常數(shù)且 a>0, c>0 ; M為動(dòng)點(diǎn);當(dāng)a<c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線;當(dāng)a= C時(shí),P點(diǎn)的軌跡是兩條射線;當(dāng)a>c時(shí),P點(diǎn)不存在.第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn) F的距離和到定直線的距離的比等于常數(shù)（大于1）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，即IMF l=e（e>1）.F為直線I外一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離為d, e為大于1的常數(shù).d（二）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義標(biāo)準(zhǔn)方程22x y 2= 1 a b(a>0 , b>0)2 2 y x 七一二=1 a b(a>0 , b>0)x> a或 x< a,

3、y Rx R, yW a 或 y>a全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱性對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)Ai( - a,0) , A(a,O)A(0, a) , A2(O , a)漸近線y =± bxa,a y = ± bX離心率c宀2e=a，乂 g，其中c=聲習(xí)線段AA叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長 |AiA| = 2a；線段BB2叫做雙曲線的實(shí)虛軸虛軸，它的長|B1B| = 2b; a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系（三）焦半徑公式c = a + b (c > a> 0，c > b> 0)2 2M(x

4、 0,y 0)為X2-厶=1 右支上的點(diǎn)，貝U |MFi|=ex 0+a, |MF2|=ex0-a. a2 b2典例分析考點(diǎn)一：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程例1、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi（屮0, 0）、F2（pi0, 0） , M是此雙曲線上的一點(diǎn)， 且 滿足MFt MF 2=0, 1 MFi | I MF2 | = 2，則該雙曲線的方程是2x 2A. 9 y =1C.D.例2、已知雙曲線X2 y2= 1，點(diǎn)Fi, F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF 丄 PF2,則 |PFi| +IPF2I的值為6436例3、雙曲線=士 = 1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是4，那么點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離

5、是全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編(附詳解)5考點(diǎn)二：雙曲線的幾何性質(zhì)例1、已知點(diǎn)F是雙曲線2 2X y亍十1(a>0 , b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),若 ABE 是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (1 ,+s)(1,2) (1,1 +曲如圖，F(xiàn)1, F2分別是雙曲線C:2 x2a2b2= 1(a , b > 0)的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線 F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的垂直平分線與 x軸交于點(diǎn)M.若|MF2| = |F 1F2|，貝U C的離心率是C.D/3例3、已

6、知橢圓C:2x + a2*= 1(a >b > 0)與雙曲線 C2:2x27 = 1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以 C1的長軸為直徑的圓相交于 A B兩點(diǎn).若G恰好將線段AB三等分，則()a2= 13b2= 2例4、設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為().B.C.護(hù)+ 12D.考點(diǎn)三：直線與雙曲線的位置關(guān)系例1、過點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線2y=1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有(9A. 1條2 x 例2、已知雙曲線r a2¥= 1(b>a>0) , 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率 e= 2,點(diǎn)M眠g在雙曲

7、線上.(1)求雙曲線的方程; 若直線I與雙曲線交于 P, Q兩點(diǎn)，且OP oQ = 0.求|OP嚴(yán)+ ,OQ, lOPl lOQl1-2的值.2例3、F1, F2分別為雙曲線字一 b=1(a >0, b>0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作此雙曲線一條漸近線的垂線,垂足為M滿足I MF" ,| = 3| MF2 ,|，則此雙曲線的漸近線方程為全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編(附詳解)考點(diǎn)四：雙曲線綜合問題例1、(1)已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，且與圓X2 + y2= 10相交于點(diǎn)P(3 , - 1)，若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程; 已知雙曲線

8、的離心率 e=¥5，且與橢圓2 2=+= 1有共同的焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程.112X例2、已知雙曲線C:y2 = 1, P是C上的任意點(diǎn).4(1)求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù);設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，求|PA|的最小值.例3、已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(3, 0).(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線：y= kx + m(kM 0,詳0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn) M N,且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，- 1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）P(P ractice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演

9、練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1已知雙曲線的漸近線為2 2x y A 一 = 1A. 4121y =± 3x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為2 2x yB. 2 一 7 =1(-4,0),C.(4,0)2 x24，則雙曲線方程為（2- i =1D.)2 2=18242、若雙曲線過點(diǎn)（m,n）（m > n> 0），且漸近線方程為y =± x,則雙曲線的焦點(diǎn)A.在x軸上B .在y軸上 C .在x軸或y軸上D.無法判斷是否在坐標(biāo)軸上3、已知m是兩個(gè)正數(shù)2,8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線2+語1的離心率為（C.V54、如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),M, N是雙曲線的兩頂點(diǎn).若MO N將橢圓長

10、軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（）A. 3B. 2C.5、已知雙曲線C:2 a22Vx= 1(a>0 , b>0)與雙曲線 G：-“b4162y = 1有相同的漸近線，且 C1的右焦點(diǎn)為F(店,0)，則 a =26、過雙曲線計(jì)討1(a > 0, b> 0)的左焦點(diǎn)F作圓X2 + V2 =4的切線，切點(diǎn)為E,延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若E為PF的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為7、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Fi,F2在坐標(biāo)軸上，離心率為 迄，且過點(diǎn)(4，屮0).點(diǎn)M(3, m)在雙曲線上.(1)求雙曲線方程;(2)求證：MFj MF2 = 0.8、如圖，P是以Fi、

11、F2為焦點(diǎn)的雙曲線T T T TC：27-2 = 1 上的一點(diǎn)，已知 PF 1 PF 2= 0,且I PF i| = 2| PF 2|. a b(1)求雙曲線的離心率e;(2)過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于P1, P2兩點(diǎn)，若OP 1 OP 227 2 S 1+ S 2=0.求雙曲線C的方程.全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）課后反擊2 21已知雙曲線? 5 = 1的右焦點(diǎn)為（3,0），則該雙曲線的離心率等于（A.3#C.D.2 x2、已知P是雙曲線孑54，且 PFi , PF2 ,2y1（a > 0, b>0）上的點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是

12、b=0,若 PFiF2的面積為9，則a + b的值為（）D.83、平面內(nèi)有一固定線段 AB, |AB| = 4,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA| - |PB| = 3, O為AB中點(diǎn)，則|OP|的最小值為（）C.4、設(shè)e、02分別為具有公共焦點(diǎn) Fi、F2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)， 且滿足I PF1 ,全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編(附詳解)+ PF2=1，則越的值為(15C.5、已知雙曲線2y2= 1(a > 1, b> 0)的焦距為2c,直線l 過點(diǎn)(a,0)和(0, b)，點(diǎn)(1,0)到直線I的距離e的取值范圍為4與點(diǎn)(一1,0)到直線I的距離之和S-C,則雙

13、曲線的離心率56、直線x = 2與雙曲線CX4 y2= 1的漸近線交于Ei,E2兩點(diǎn)，記OE1,= ei,oE,= e2,任取雙曲線C上的點(diǎn)P,若OP, = ae1 + be2，則實(shí)數(shù)a和b滿足的一個(gè)等式是 .2 27、設(shè)A, B分別為雙曲線X2 y2= 1(a >0, b>0)的左，右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長為Ai/E,焦點(diǎn)到漸近線的a b距離為73.(1) 求雙曲線的方程；(2) 已知直線y=33x 2與雙曲線的右支交于 M N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使OM , +T TON , = t OD ,，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)一條規(guī)律:雙曲線為等軸雙曲線？雙曲線的離心率

14、e=J2?雙曲線的兩條漸近線互相垂直 (位置關(guān)系).兩種方法:(1) 定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定 b2,寫出雙曲線方程.2a、2b或2c，從而求出a2、(2) 待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)是在 x軸上還是在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2、b2的值，即2 2X y一2七=入(入豐0)，再根據(jù)條件求m n“先定型，再定量”；如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為的值.三個(gè)防范:(1)區(qū)分雙曲線中的a, b, c大小關(guān)系與橢圓a, b, c關(guān)系，在橢圓中a2= b2+c2,而在雙曲線中=a2 + b2.雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e (0,1).2 2.

15、Xyb雙曲線-72 = 1(a >0, b>0)的漸近線方程是y =±-x, aba2y_2 a2x了= 1(a >0, b> 0)的漸近線方程是=± A直擊高考1、【優(yōu)質(zhì)試題新課標(biāo)I理】已知M（xo, yo）是雙曲線2x 2C: - y = 1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若MF MF<O，貝U yo的取值范圍是（A零封B.（-罟，罟C.D.2、【2007?安徽】已知Fi, F2分別是雙曲線丄號(hào)-冷=1 a? b?(a> b > 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心，|OFi|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為3、【優(yōu)質(zhì)試題湖北】TT0一<_則雙曲線5；2y_22二1 與 C2：牛-si n e的（A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等C .焦距相等D .離心率相等全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)重點(diǎn)回顧t-19考點(diǎn)一：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)二：雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)三：直線與雙曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)四：雙曲線綜合問題名師點(diǎn)撥品應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題:在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn) （焦點(diǎn)）的距離之差的絕 對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)