完全平方公式(提高)知識(shí)講解

1、初一數(shù)學(xué)下優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編（附詳解）完全平方公式（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能運(yùn)用完全平方公式把簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解2. 會(huì)綜合運(yùn)用提公因式法和公式法把多項(xiàng)式分解因式;3發(fā)展綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和逆向思維的習(xí)慣.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、公式法一一完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.2 2 2 2 2即 a +2ab+b =(a+b) , a -2ab+b2(ab ).形如a2 +2ab +b2 , a2 -2ab +b2的式子叫做完全平方式要點(diǎn)詮釋：（1）（2）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的

2、平方和加（或 減）這兩數(shù)之積的 2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方 .完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.套用公式時(shí)要注意字母 a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以 是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識(shí)要點(diǎn)】【因式分解之公式法 要點(diǎn)二、因式分解步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解（以后會(huì)學(xué)到） 要點(diǎn)三、因式分解注意事項(xiàng)（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；（2 ）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.【典型例題】 類型一、公式法一一完全平方公

3、式【高清課堂400108因式分解之公式法例4】1、分解因式:(1) -3ax2 + 6axy -3ay2 ；42 24(2) a -2a b +b ;(3) 16x2y2-(x2+4y2)2 ；(4) a4 8a2b2+16b4.【答案與解析】解：(1) -3ax2 +6axy-3ay2 =-3a(x2-2xy + y2)=-3a(x-y)2 .(2) a4 -2a2b2 +b4 = (a2 -b2)2 =(a +b)(a-b)2 =(a + b)2(a-b)2.(3) 16x2y2-(x2 中4y2)2初一數(shù)學(xué)下優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編(附詳解)2 2 2 2 2 2 2 2= (4xy) -(X

4、 +4y ) =(4xy + x +4y)(4xy-x -4y ) =(x +2y)2(X2 4xy+ 4y2) = (x +2y)2(x 2y)2 .(4) a4-8a2b2+16b4 =(a2-4b2)2 =(a+2b)(a-2b)2 =(a + 2b)2(a-2b)2.【總結(jié)升華】(1)提公因式法是因式分解的首選法.多項(xiàng)式中各項(xiàng)若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：提公因式法；運(yùn)用公式法.(2)因式分解要分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.舉一反三：【變式】分解因式：(1) 4(x+a)2 +12(x + a)(x +b) + 9(x + b)2.(2) 4(x+ y)2-4(X2-y2

5、) +(x-y)2.【答案】 解：(1)原式=2(x + a)2+2 'Zd+a) ”3(x + b)+3(x + b)2=2(x + a) +3(x+b)2 =(5x + 2a+3b)2 .(2)原式=2(x+y)2-2 ”2(x + y) ”(x-y) + (x-y)2=2(X + y) -(x-y)2 =(x + 3y)2.2、(2016?大慶)已知 a+b=3, ab=2,求代數(shù)式 a3b+2a2b2+ab3.【思路點(diǎn)撥】 先提公因式ab,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解，然后帶入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算 即可得解.【答案與解析】解：a3b+2a2b2+ab3=ab (a2+2ab+b2)=

6、ab (a+b) 2將 a+b=3, ab=2 代入得，ab (a+b) 2=2 x 32=18 .故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18.【總結(jié)升華】在因式分解中要注意整體思想的應(yīng)用，對(duì)于式子較復(fù)雜的題目不要輕易去括號(hào).舉一反三：【變式】若x , y是整數(shù)，求證：(x + y Xx+2y Xx+3y Xx+4y )+y4是一個(gè)完全平方 數(shù).【答案】解: (x + y Xx +2y Xx + 3y Xx +4y )ty4j(x + y )(x+4y)(x+2y )(x+3y )+22224=(x +5xy+4y)(x +5xy + 6y)+y初一數(shù)學(xué)下優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編（附詳解）2 2令

7、X2 + 5xy+4y = u上式 u(u +2y2) + y4 = (u + y2)2 = (x2 +5xy + 5y2)2AQQ Q即(X+y Xx+2y Xx+3y X X+4y )+y =(x +5xy + 5y )類型二、配方法分解因式x2 -2x-8 =(x2 -2x +1 )-1 -82= (x-1 ) -9= (x-1 +3)(x-1-3) = (x + 2)(x4)那該添什么項(xiàng)就可以配成完全平方公式呢?我們先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為 1的情況：如X2 +bx添上什么就可以成為完全平方式?X2+bX+(+嗨+簣毎2因此添加的項(xiàng)應(yīng)為一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方那么二次項(xiàng)系數(shù)不是 1的呢？當(dāng)然是

8、轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為1 了 .分解因式：3x2 +5X-2.【思路點(diǎn)撥】 提出二次項(xiàng)的系數(shù) 3,轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為 1來(lái)解決. 【答案與解析】2f 252 y解：女0 3x2 +5X-2 =3lx2 +Yx三(I 33丿=3 X2+ |X-ILV 6丿一坐36x+l15 6丿叫+|+慶+|-6f 1 ）5+2）卜一3丿初一數(shù)學(xué)下優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編(附詳解)【總結(jié)升華】配方法，二次項(xiàng)系數(shù)為1的時(shí)候，添加的項(xiàng)應(yīng)為一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方 次項(xiàng)系數(shù)不是1的時(shí)候，轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為1來(lái)解決.類型三、完全平方公式的應(yīng)用4、( 2015春?婁底期末)先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問(wèn)題：完全平方公式x2±

9、2xy+y2=(x±y) 2及(x±y) 2的值恒為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中 有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式2x2+12x - 4的最大(小)值時(shí)，我們可以這樣處理：2解：原式=2 (x +6x- 2)2=2 (x +6x+9 - 9- 2)2=2 (x+3)- 112=2 (x+3)- 22因?yàn)闊o(wú)論x取什么數(shù)，都有(x+3) 2的值為非負(fù)數(shù)2所以(x+3)的最小值為0,此時(shí)x=- 32進(jìn)而 2 (x+3)- 22的最小值是 2X 0- 22= - 22所以當(dāng)x=- 3時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是-22.解決問(wèn)題：2請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路，探求多項(xiàng)式3x - 6x+12的最小值是多

10、少，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值.【答案與解析】2解：原式=3 (x - 2x+4)2=3 (x - 2x+1 - 1+4)=3 (x- 1) 2+9,無(wú)論x取什么數(shù)，都有(x - 1 ) 2的值為非負(fù)數(shù)，2( x- 1) 的最小值為0,此時(shí)x=1, 3 ( x - 1) +9 的最小值為：3X 0+9=9,則當(dāng)x=1時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是 9.【總結(jié)升華】 此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全 平方公式是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】若 ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿足a?+6ab + 10bc = 0 ,求證:【答案】a +c =2b.解：a2 16b2-c2 +6ab +10bc=a2 +6ab+9b2 -(25b2 -10bc+c2 )2 2=(a +3b ) -(5b -c )2 2所以(a +3b ) (5b c) =02 2(a+ 3b) =(5b-c)初一數(shù)學(xué)下優(yōu)質(zhì)學(xué)案、專題匯編（附詳解）所以 a +3b = ±(5b -c)所以 a + c =2b或8b =ca因?yàn)?ABC的三邊長(zhǎng)分別為 a、b、c, ca<b , 所以8b =c - a cb，矛盾，舍去.所以 a +c=2b.2【變式 2】(2015 春？蕭山區(qū)期中)若(2015- x) (2013 - x) =2014,則(2015 - x) + (201