常微分方程講義(2)

1、常微分方程講義（一）課程目標(biāo):掌握常用的常微分方程解題技巧；利用常微分方程的思想建模。上課方式:課堂講授、練習(xí)與考試。課程特點(diǎn):承接高數(shù)、微積分、數(shù)學(xué)分析等課程而來(lái)，與導(dǎo)數(shù)、積分的關(guān)系 非常緊密，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用；常與其他數(shù)學(xué)工具與方法混 合使用。參考書目:常微分方程，蔡燧林編著，武漢大學(xué)岀版社，2003；及所有標(biāo) 注有“常微分方程”、“應(yīng)用”、“經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)”、“金融數(shù)學(xué)”的教材與專 著。為什么在模擬經(jīng)濟(jì)變化時(shí)要引入常微分方程?注重刻畫在無(wú)窮小時(shí)間段內(nèi)的變量的動(dòng)態(tài)變化，實(shí)現(xiàn)了從“靜態(tài)” 向“動(dòng)態(tài)”的飛躍。微分方程比初等函數(shù)更近于現(xiàn)實(shí)，更真于模擬。什么是微分方程?常微分方程：含有心、心、字

2、的方程;dx偏微分方程：含有莎、dx、訓(xùn)方程。豈的幾何含義：割線、割線的斜率 牛的幾何含義：切線、切線的斜率 dx切線的斜率，導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)上A3 心 dx經(jīng)濟(jì)上變化率，邊際例：求y與y 的導(dǎo)數(shù)應(yīng)當(dāng)記下來(lái)的等式:(x) = f, J W dx = x +c (0打=0大,+C1f 1(Inx) = , dx = In x + CXJ X(sin x)= cosx, J cosayZv = sin x + C (cos%)=-sinx 9 J (-sill x)elx = cosx + C (tgxy= sec X 9 J sec? xdx = tgx+ C (Z-V)=-CSC X , J(CSC

3、x)dx = ctgx + C(0 = 0(aby=a+b (ahy= a h + ah/、， ah-ab(J pxdxy= p(x)(依)=戈飛=, f dx = yfx + C2277 J 2v7111 a In adx =a + C(arcsin %) = ( 厶=arcsinx + CJl-， J Jl-f(arctgx)=5-, fdx = arctgx + C1 + x J I + x例：勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)例：不良資產(chǎn)的處置常微分方程的“階”考察方程中導(dǎo)數(shù)的最高“階”務(wù)害器而不是考察方程中的最高“次方”學(xué)（少$）”ax ax ax常微分方程的“解”通解：曲線族 待解：初值條件例：檢

4、驗(yàn)y = +1是方程=0的解CiX + C,1-y例：檢驗(yàn) xsin，y + y = C 是方程 sin，y + (xsiii 2y + 2y)y= 0 的解例：檢驗(yàn)由參數(shù)方程X = r f + 23,12所決定的函數(shù)y = /(x),是微分方程 v = f f*+C；42伴）3_字+ 2的解ax ax例：設(shè)卩是區(qū)間（a, b）上的連續(xù)函數(shù)，證明=是微分方程內(nèi)的解。）r+“（x） = O 在區(qū)間 a x h, y +8例：一曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, 0）,且其上任意一點(diǎn)的切線界于切點(diǎn)和縱坐標(biāo)軸之間的部分的長(zhǎng)度恒等于2,求此曲線所滿足的微分方程的表達(dá)式。文獻(xiàn)清單: 常微分方程及其應(yīng)用，周義倉(cāng)等編，科學(xué)出版社，2004微分方程模型，（美）W訂liam F. Lucas主編，朱煜民等譯，國(guó)防科技大學(xué)，1998 微分方程模型與混沌，王樹禾編著，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999微分方程及其應(yīng)用，（美）MBrdUn著，張鴻林譯，人民教育出版社，1980 常微分方程習(xí)題集，周尚仁等編