應(yīng)用彈塑性力學(xué)習(xí)題解答

1、應(yīng)用彈塑性力學(xué)習(xí)題解答第二章習(xí)題答案第三章習(xí)題答案第四章習(xí)題答案第五章習(xí)題答案26第六章習(xí)題答案37第七章習(xí)題答案49第八章習(xí)題答案54第九章習(xí)題答案57第十章習(xí)題答案596362第十一章 習(xí)題答案第二章習(xí)題答案2.6設(shè)某點(diǎn)應(yīng)力張量耳的分量值已知，求作用在過此點(diǎn)平面 血+如= d上的 應(yīng)力矢量衛(wèi)即衛(wèi)J，并求該應(yīng)力矢量的法向分量q 。解 該平面的法線方向的方向余弦為l = a/d f =, "= c/d , d =朋+b* +而應(yīng)力矢量的三個(gè)分量滿足關(guān)系而法向分量q滿足關(guān)系礙=切+戸評(píng)+加最后結(jié)果為今+%/山P 廠（+刃外P貯（守+s +込訕q = （oyz'+cr護(hù)'

2、+q<:' + Tab +/ =+c" 2.7利用上題結(jié)果求應(yīng)力分量為q=2q=Lq=1兀=2耳=0時(shí)，過平 面x+3y+z=i處的應(yīng)力矢量幾，及該矢量的法向分量q及切向分量A。解求出'二1/韻申二乳肛幷=1/1后，可求出P腫珀幾及q，再利用關(guān)系 1訂吭+此+拓二&+'可求得J最終的結(jié)果為p/5/7n丹=弘爪護(hù)廠3Mi5 = 29/11,耳二阿可2.8已知應(yīng)力分量為叮1°，弓=也=一%=4兀二-2耳=3，其特征方程為三次多項(xiàng)式V+ba+cu+d二。，求bed。如設(shè)法作變換，把該方程變?yōu)樾问?+莎+尸0，求必9以及X與J的關(guān)系。解 求主方

3、向的應(yīng)力特征方程為- JjCr- = 0式中：卜厶，丿3是三個(gè)應(yīng)力不變量，并有公式二+ V ） + （"用 +僉）+ 2衛(wèi)，+ 己） q GG 8 %代入已知量得b二-14"bd二192 為了使方程變?yōu)镃ardan形式，可令 二廠 -妬代入，正好F項(xiàng)被抵消，并可得關(guān)系X2護(hù)如,P +c , g +H3 27 3代入數(shù)據(jù)得嚴(yán)-饑伽-59.3333，9 = 167407，“14/3 2.9已知應(yīng)力分量中叮= 求三個(gè)主應(yīng)力°1辺辺。 解在6二 y=°時(shí)容易求得三個(gè)應(yīng)力不變量為J廣q， 耳二i+亡二F，J廣0特征方程變?yōu)镠 - ?a=- 4 口-F) = 0石二

4、q'+F求出三個(gè)根，如記1'，則三個(gè)主應(yīng)力為5 = q/2+SE = 0G = q/2-T記壯吟2.10已知應(yīng)力分量叮0也耳二0也,叮0.叵薩0.呵耳二0眄4=°q, %是材料的屈服極限，求及主應(yīng)力解先求平均應(yīng)力0iO.4q，再求應(yīng)力偏張量1 °dq，Syi，曠國，討0也，討噸，yO.lq。由此求得，解出g=353曲 q 二 S+cr= 0.3221q 切 p+cr=0.9344q qp+cr=-0,056qJ； = 0.25/占=0.01 燈然后求得 2。&，sin 38=-0.3949S二蔦m0 二-UCOqsin（9+2開/3）二 M344q

5、s疔尸3in（3 +4開/3 =弋伏jq然后按大小次序排列得到q = 0.9344q ,切= 0L221q , q 二2.11已知應(yīng)力分量中°1一刃-©-一。，求三個(gè)主應(yīng)力q（i=12®，以及每 個(gè)主應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的方向余弦Qi曲用）0T23）。解特征方程為1八氐訃+巾=°記咗，則其解為°1 =(a)爲(wèi)二0，q=T。對(duì)應(yīng)于q的方向余弦A，叫，溝應(yīng)滿足下列關(guān)系-0+閱=0+#+"； = 1（ C）由（ a）佝式，得，血仮，叫叭=鼻冋，代入（C）式，得（4/5+ （0陽+1二1/才，由此求得屈+F &飛+FG -楓二 +屈阿TT1I

6、一 + 血 W 一 + 聲 闿 一+對(duì)i = 2, 6 = °,代入得肩A 二 ±2,砂二 ±律，溝二 °對(duì)i = 3, q =，代入得=±衛(wèi)-，魁=±£-,處=干1/邁2.12當(dāng)飛譏=0時(shí)，證明J；二匕 J；）成立。對(duì)二1V代入得抵"pF 一血由二°,氓二（片+片）二町+ Ep +紐片，移項(xiàng)之得1 . 22 h 21.3, 2 ,3洱=護(hù)-硝=片一6 +片+勺吧-V "； -口£+£+彳）-二 £ -占 證得占-冰S；-：）Ev第三章習(xí)題答案2 二 ,Q-3.5取

7、AG為彈性常數(shù)，（1+可（1-2可2（1+v），是用應(yīng)變不變量 表示應(yīng)力不變量占2人。解：由5 = 2（勺+勺+勺）+26勺=彼+2僦，可得J = ®+2G）Zi，由5巧=+ 2GQZ（勺+ ®）+4Ge冋得2 = -（斫丐+ q込+隔込）=-11，片-4G1甲+ 4G'右= -G，+4G；!）X + 8 克 24 =込CT代=才廠i + 2G兄4（呂1 +陽）+4（72舉2 （兄4 +2（7勺）=護(hù)尸+ 2011% _4&'弘打+呂0乜=（/ + 冶護(hù)片-4（?%厶 +8043.6物體內(nèi)部的位移場(chǎng)由坐標(biāo)的函數(shù)給出，為叫二Gx+6）x1CP , +血

8、卜1尸，吹績+ 2w+1Q）x1尸，求點(diǎn)P（1Q2）處微單元的 應(yīng)變張量%、轉(zhuǎn)動(dòng)張量%'和轉(zhuǎn)動(dòng)矢量%。電些竝& 砂dz% 叫%dxdx 為dz=dz'030 =12 0 6xl尸04 246初0解：首先求出P點(diǎn)的位移梯度張量2y012g + 2尹03007.500-4.501206xlCTZ505xl屮+4501_042405240-10_將它分解成對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量之和XICT* 二+得轉(zhuǎn)動(dòng)矢量的分量為馮=亀=.00阮fdQy 二 4 二阮d 皿£ 二 On 二 0 0045皿d該點(diǎn)處微單元體的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為護(hù)二0017+(0045) = O.OtW加3.7電

9、阻應(yīng)變計(jì)是一種量測(cè)物體表面一點(diǎn)沿一定方向相對(duì)伸長的裝置，同常利用它可以量測(cè)得到一點(diǎn)的平面應(yīng)變狀態(tài)。如圖3.1所示，在一點(diǎn)的3個(gè)方向分別粘貼應(yīng)變片，若測(cè)得這3個(gè)應(yīng)變片的相對(duì)伸長為，張=0衛(wèi)°2， 智,= 0.0008，裁=0.0003，求該點(diǎn)的主應(yīng)變和主方向。i、解：根據(jù)式£廠即丹先求出剪應(yīng)變y刖。考察45出方向線元的線應(yīng)變，將%，_心2 , "0 ,5%，円膽 = 0代入其中，可得 &= % %-£g=-700xlO-則主應(yīng)變有500-?-350-350800xlO = O解得主應(yīng)變勺= 10?lx滬，呂廠269x10*，瀘0。由最大主應(yīng)變可得上

10、式只有1個(gè)方程式獨(dú)立的，可解得勺與X軸的夾角為'500-1031-350 T.-350800-1031fn=0mtan 珂二了二于是有坷=-了6.6，同理，可解得匂與X軸的夾角為色=我4。3.8物體內(nèi)部一點(diǎn)的應(yīng)變張量為5003000300400-1000-100200試求：在=冏+2匂+色方向上的正應(yīng)變。根據(jù)式厲-即件，則n方向的正應(yīng)變?yōu)?003000300400-1000-100200= 644x103.9已知某軸對(duì)稱問題的應(yīng)變分量 &具有石=朗縮的，求應(yīng)具有什么形式？解：對(duì)軸對(duì)稱情況應(yīng)有 氣冉-°，這時(shí)應(yīng)變和位移之間的關(guān)系為Q , a?。應(yīng)變協(xié)調(diào)方程簡化為dp審，

11、由不Sf E = 0 " ppg，可得/?丁+斃+ /（2）=0 dp可積分求得二-八淋+治）卩2，c（z）是任意函數(shù)，再代回_號(hào)丄L吊J可得滬-作）/2-（”。F0（和）E M的形式，又設(shè)材料是不可壓可壓縮條件3.10已知應(yīng)變分量有如下形式鵝（2） 磅備一飛冷“計(jì)»2也dxdy=-/閻，由應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)滿足什么方程。迄+生=生解：由方程3" M 碉，得出必須滿足雙調(diào)和方程2險(xiǎn)+驗(yàn)_坐由辦3 '由即去 妙丿ote /=2丄2為，得出日7%卜°，得出和由此得，其它三個(gè)協(xié)調(diào)方程自動(dòng)滿足，故對(duì) ？沒有限制。第四章習(xí)題答案f題圖4-14.3有一塊寬為f

12、l ,高為i的矩形薄板，其左邊及下邊受鏈桿支承，在右邊及上 邊分別受均布?jí)毫?1和©作用，見題圖4.1，如不計(jì)體力，試求薄板的位移。解：1.設(shè)置位移函數(shù)為U =十堆兀+妙+）卩=尹31+媯畫+鳥1+） 因?yàn)檫吔缟蠜]有（1）不等于零的已知位移，所以式卅 中的、巾都取為零，顯然，不論式（1）中各系數(shù)取何值，它都滿足左邊及下邊的位移邊界條件， 但不一定能滿足應(yīng)力邊界 條件，故只能采用瑞茲法求解。2.計(jì)算形變勢(shì)能。為簡便起見，只取 A、兩個(gè)系數(shù)。 « =如二申,y二妙二細(xì)（創(chuàng)即曲"= 尋肚H +廳+2 Wj奶=尋（心尿+ 2”輛3.確定系數(shù)A和，求出位移解答。因?yàn)椴挥?jì)體力

13、（X = Y = O），且注意到 心, 式4-14簡化為 等=J Xuds(4)(5)對(duì)式（4）右端積分時(shí)，在薄板的上下邊和左邊，不是 分值為零。在右邊界上有/=0，就是旳，故積X 二-qi ,珂二開=3, ds = dy"笳體=：（刑”砂=-毎3（ 6）同理，式（5）右端的積分只需在薄板的上邊界進(jìn)行,理血二1（如軌二刑必（7將式（3）、式（6）、式（7）分別代入式（4）、式（5）可解出£和1：2（+2嗎）二-_q偲2（1_ J）（碼二一如必(8)X , v= 忙弩糾;（9）4.分析：把式（8）代入幾何和物理方程可求出應(yīng)力分量，可以滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，即式 （8

14、）所示位移為精確解答。在一般 情況下（這是一個(gè)特殊情況），在位移表達(dá)式中只取少數(shù)幾個(gè)待定系數(shù)，是不可能 得到精確解答的。不難驗(yàn)證這些應(yīng)力分量4.4設(shè)四邊固定的矩形薄板，受有平行于板面的體力作用=，坐標(biāo)軸如題圖4.2所示。求其應(yīng)力分量。題圖4-2解：1 .本題為平面應(yīng)力問題，可用瑞茲法求解。由題意知位移分量在邊界上等于零，所以，所以式j(luò)af+孕爲(wèi)的収漏取為零，且將位移函數(shù)設(shè)置為如下形式:JM S口匕把x=Q,x=a或y = aj二b代入上式，位移邊界條件是滿足的。2.把式（1）代入式（9-16），得薄板的變形勢(shì)能為因?yàn)?(1)Sin= 0 sin 3 或=0，所以,1 戰(zhàn),+1?2(1 J) a

15、 4(1+v) y2(1-J)滬,1 朋4(1+v)3.確定系數(shù)£和臨。 為dU.傾X .= A SlflSindA血 h&由于位移分量在邊界上為零，所以，方程式4-14簡化dU嚴(yán)rymxnm.,=I I smsinaxay%h hb式(2)代入式(3)，得(3)44 臚(1-滬) 2?(l+v)_. PP " WTT . K7iy .也岸=I I A SinsmdxayJo Joa占由于X = QJ=-pg，從式(4)的第一式得4=，由第二式得Eab'嚴(yán)H , mTir ,旳砂, 您M迪SI" 丁d砂=-pg(1-coE 泗)(l-coMjr)

16、當(dāng)和？!取偶數(shù)時(shí)，(1 - COS朋方和(1 - cos"都為零，當(dāng)加和溝取奇數(shù)時(shí),(1 - cos飭t)和(1-COS飼都為2。因此，當(dāng)"取偶數(shù)時(shí)，比廣0。當(dāng)那曲取奇數(shù)時(shí)，瓦I?=TEmn-16Qg將血和Em代入式(1)得位移分量為"=0T6Qg2nm-SSZ ' TT Sfnnsinsin班1-1?)+ 2/(1+y)4.利用幾何方程和物理方程，可求出應(yīng)力分量( -6ypg聊2(1-巧 尹+ 加du 麗" +V莎丿=ZE£_ft?9)f 3=sz加A弼和溝取奇數(shù))；.mTVx nny sinsma b76陽牌2(i) 護(hù)+飛L刖死X

17、 . HTVy£111sina h竺+Lss2(1+叭I辦砂丿厶厶-沁無* JTTatnTixf27iycossina b4.5有一矩形薄板，三邊固定，一邊上的位移給定為開X"n'l7,見題圖4.3,設(shè)位移分量為a bb Q 0 b式中,嘰耳為正整數(shù)，可以滿足位移邊界條件。使用瑞茲法求維持上述邊界位移而要在y=b處所施加的面力。題圖4-3解：1.平面應(yīng)力問題時(shí)的變形勢(shì)能為式du 9v 1-v (9v auy3z dy 2 砂丿f/=+ 21>dxdy屯+%+如其中2必（fy=時(shí)朕才心仔)3 mm 3 朋D xcos sin a bdxdy爲(wèi)y?證zwr ab，

18、丿4a 9v、2dxdy I即丿仙:竺竺+滬4彳竺abac_ OTJ? . mm . m碩y一 2sinsin cos""b b a a iE2(1-v)刀2X俘#+箕二2(1L刀刀人,'2R4(1+v)0 fl-vf 9iJ 巫2 dx期丿2 卅Hb , tPsJqkh+16(1+啪 £mJl 胸加.«兀尸珂 kTV mnx nTTy cossinX B陽” 一sincosa abb ab.mTT tnJTx 耳.«7T> . TTx .-4fta COSXSinsin axcfya abb aE d 型T#開嚴(yán).mm rrx

19、, nm ,sin cos一dfzx ycos dx 2(l+y) bah a戊 血i2 .確定待定系數(shù)。按題意三邊固定(%二=°), 一邊只存在= %=°) 而面力待求。所以，寸皿漳4；1細(xì)竽乎如y穿=口縝如T：畑竽現(xiàn)號(hào)畑y，楓"(2)將式(1)代入式(2)，得dU 7pSab /dA 4 2bp+y)嚴(yán)嚴(yán)“ .yn血.nTiy , , d(p 5妒 "總B%9A»*+:4 護(hù)(l-J) 2/(l+MEti pPV . m mTix nm . T sin sin sin axdy2t?(l+i/)血 bb a a bfr, . mm . nn

20、y ,= Y siftsindxdyJo Jo a h當(dāng)體力分量為零時(shí)，y=0,得/Z>(1+y)加(l+v)+護(hù)(1/)1a嚴(yán)0 Jo b當(dāng)xl時(shí)，卩=弘=0, £ = ° ,而I血/莎丿dA£fy = Q，所以，此時(shí)有2(1+v) JqoA.=為(i+u)2屮(1+卩)+護(hù)(1-/)ry .托其.Wfi nnysinsinsin-a a J心n噸必行血竺妙h a h b b7nC-iff *1 機(jī)i)+迅3.位移和應(yīng)力解答為匸0y、m y 卩=-+Y 匕bQ 製開QHff-i .加.找開ysin Sin 總A/ r吐i) +壽£v 9v 冥乙-

21、P 、& 砂丿1-V 砂sin dr(-1) CQS 2?心 215v ft?+ 1 6Sc丿Sin a# mcos2(1 + ")2(1+V)b a（-滬呼 + =護(hù)（1-力24.求上邊界施加的面力（設(shè)卩二恥二方），在嚴(yán)b處咅71E 7m yE* JUA 二 J 二COS =-1.57 cos 2 a aa a療Eti . nxY = cr sin a a弓 2/ + 1_4.6用伽遼金法求解上例。解：應(yīng)用瑞茲法求解上例時(shí)，形變勢(shì)能的計(jì)算工作量較大。由于此問題并沒有應(yīng) 力邊界條件，故可認(rèn)為上例題意所給的位移函數(shù) 叫卩不但滿足位移邊界條件，而且也滿足應(yīng)力邊界條件，因此，可以用

22、伽遼金法計(jì)算。 對(duì)于本題，方程可以寫成n* E （丸 1-V1+V 護(hù)V1 1ri； iE-J22 砂72 dxSfy Ji 護(hù)V 1 + 1>9妝)“r+yM 2 a? 2 ftr 丸xsinsindxdy - 0a b.mJTx . nm ,打xsinsindxay-Qa b將上題所給的叫卩表達(dá)式代入，積分后得戰(zhàn)2不訶+2滬（1+巧幾訂T亦口竺遜空嗎=0MM a b臚(1-1?) +加(1+v)対柵=丁皿竺亠“四嘶+孕h 柵"Qb2/(1+巧ny .典其.Wfi幀y ,sin sinsinaxdy0 b 0 a b當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，y=y=o,此時(shí)=°,而B棚由下式確

23、定:EtT 嚴(yán).擁？IN . JET，廣y .理兀卩，= T Sinsin dxl sindy機(jī) 2/(1+川0 Q a Jo i 臚(1-/) +加(1+研嚴(yán)，mm . TTX ,. sinsindx=U c _a.當(dāng)館Hl時(shí)，)Q a a即心櫥"U，當(dāng)幣=1時(shí)，上式成為H (1-1?廣2現(xiàn)1 + 卩)磚卑L加竺必岸汕匹妙 加(1+滬4訃 b '(-曠/ 12a由此解出及位移分量如下:/心.加.譏-1) sin smfl艸2,(-1)為應(yīng) Z+lyLJ_匚 h yr fl /旳滬(1 "廬求出的位移和應(yīng)力分量，以及上邊界的面力，都有上例用瑞茲法求得結(jié)果相同。y .

24、v= -”一£in->b盲K2加f n護(hù)(1-卩)+ 2/bm1 q =-7sifl 1af 7 V -2 一 f U = 171-l a八/ 2/V= 1耳I 0八/丿y(1-Y 妨+鬲飛+禺a(chǎn) A江4.7鉛直平面內(nèi)的正方形薄板邊上為加，四邊固定，見題圖4.4,只受重力作用。設(shè)V = 0,試取位移表達(dá)式為y X y.#j4 + 4 i+堆 i aa a a2 2X - L +/用瑞茲法求解(在U的表達(dá)式中，布 置了因子I和y，因?yàn)榘凑諉栴}的對(duì)稱條件，U應(yīng)該是X和y的奇函數(shù))。鄉(xiāng) 鄉(xiāng)。.I題圖4-4解：1位移表達(dá)式中僅取 A和項(xiàng)： "1一尹1 A 2 VV= 1 一盲

25、 '(1)I " 2由V二0得變形勢(shì)能為+低丿其中-1_±_ 'r-p-9v創(chuàng)du7.f 2 V )/丿代入式（2），得4bV2x22( 21-丄卜叮1”Aa盤丿a1 0丿1 ”丿2(3)3.確定系數(shù)A和對(duì)。因板四周邊界上位移為零（U = V=O，面力未知），板的體力分量為，所以得BU 、=03"=r綱必妙=PJ足盤J-n J-ffl-X 阻1-二 d八將式（3）代入式（4），得/ I /八3 XfO 2 1-竺 丄2Q )1 & Ja 1 a J= 0X7V)a丿X (rIp:7i3>1-乞L3f21丄1 2L八丿I )I Q丿4

26、丿Q9Z7 _ £ p r a V1-2LI /丿?¥注意，有以下對(duì)稱性：二 / / SJ" L.A-40 2 f門三宀=理J 1 -1-劊盤八a ）血如丁汴一J-a J-a住呼2dxdy = :占 1 - 4 dxdyY 一* I "曠丿式（5）積分后成為式（6）,由此可求得A、=4-51 = 07131-I4+I2255 E J175 p 225 應(yīng)4"w66 E ' 533 E(5)*1和位移、應(yīng)力分量:(6)( (1-冷I 八/ df v= 1-pI ay巧1-7 屮丿W6右E_心竺陛 八刃旁苫175窗(8)1754 =-裏10

27、66450(?v P剖-JI &八 宀Qgy 1-” Xbl啟Q /3/1-八25533用伽遼金法求解上題。1位移表達(dá)式仍取上題式=rf :1-9z5r 、2.確定A和*1。因?yàn)? 倍呼pg，所以伽遼金方程簡化為了丿(9)4.8 解： 九_(tái)( 宀L切41湮丿1 。丿,其兩階偏導(dǎo)數(shù)為Afl(2、打丿(1)%，礦幾_ 4砒D j a' ，9z9y /】1-k(1)LL/門乜J-a J-ZIW% 1 3% 1）+H衛(wèi)” 22 和丿 8齊 11 兀萌+歹乜茹+跆丿仙將山山以及式（1）代入（2），得/ 21 2L1 I Q八ff J-aJ-a'孚卜+- 1-4 a丿2( a 八、

28、<3丿173、(1 1A富A& 茸 didy - 0 丿。_ff 1 J-a J-a-aJ-af 20丿(2、一T 坊+= 1& -3 場(chǎng)I <3(3宀1-_丄2I1M1 2/ 2 /八11 r金丿 Q丿aJN逢丿1 a丿盤丿八d砂=02趴 aV75咖片由此解出A和對(duì)：豈 1066 豆 533 E（3）與瑞茲法求出結(jié)果一樣，由此可見，用伽遼金法計(jì)算較為簡單。4.9懸臂梁自由端作用一集中力P，梁的跨度為】，見題圖4.5,試用端茲法求梁 的撓度。0題圖4-5解：1.設(shè)梁的撓度曲線為（ w= 5 1-cos 21)(1)此函數(shù)滿足固定端的位移邊界條件:dx=0，梁的總勢(shì)能

29、為n=fp2 叫 dF J由迥得5孕伊“丿/C cos 0y-昭Ell (町耳-P=032 PP代入式（1）得撓度為式（2）* m1-COS 囚丿32 PP (. w二El，最大撓度為式（3）(2)(3)4.10有一長度為/的簡支梁，在 口 處受集中力P作用，見題圖4.6,試用瑞茲 法和伽遼金法求梁中點(diǎn)的撓度。解一：用瑞茲法求解W設(shè)滿足梁端部位移邊界條件=0W遼Ba罕的撓度函數(shù)為 «1梁的變形能及總勢(shì)能n為叫爍X勻&丿由退得2叭n広=E曲2PP P迥汕神=7 7 ；(2)以上級(jí)數(shù)的收斂性很好，取很少幾項(xiàng)就能得到滿意的近似解，如F作用于中點(diǎn)（戲="2）時(shí)，跨中撓度為（

30、只取一項(xiàng)）2Pp pFEl7f 4875；pp這個(gè)解與材料力學(xué)的解（4跑）相比，僅相差1.5%。 解二：用伽遼金法求解1.當(dāng)對(duì)式（1）求二階導(dǎo)數(shù)后知，它滿足的靜力邊界條件，因此，可采用伽遼金求解。將式（ 到q=P，且作用在x=fl處，可得二03，亦即滿足支承處彎矩為零1）代入伽遼金方程，注意'0 '2叭ig -1SlTm求出的撓度表達(dá)式與（2）一致。.mjasm4.11圖4.7所示的簡支梁，梁上總荷重為%，試用瑞茲法求最大撓度。n=EifB則總勢(shì)能為y cos?乎/;:-2/"¥今0坊2 TlxTTX ,COSax!恥4魚仃丄 開（2開丿國二£/7

31、? 2 口代入式（1）得、71XCOS IE說2打丿梁上總荷重為%，因此有2% AW/ (11)4.12 一端固定、另一端支承的梁，其跨度為/，抗彎剛度EZ為常數(shù)，彈簧系數(shù)為6,承受分布荷載9匕）作用，見題圖4.8。試用位移變分方程（或最小勢(shì)能原 理），導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。解：用位移變分方程推導(dǎo)su=s1.梁內(nèi)總應(yīng)變能的改變?yōu)?.外力總虛功為A X題圖4-8f gUQw必-氏£（和）衛(wèi)=f ?匕）和必-上（橄5唧）曲3.由位移變分方程式得對(duì)上式左端運(yùn)用分部積分得必 二£ g（工）5我工- k （応詡幾從喬"&丿滬W 7dwd

32、x I必丿二血、dxdx/=E1必2必丿dP-lf(5if +-0f£1心J3w+LEl嚴(yán)Svfdx - 0(2)由于變分的任意性，上述式子成立的條件為(3)必 必丿肝 必丿=0x0、如二 0xl(5)4式（3）就是以撓度W表示的平衡微分方程。下面討論邊界條件，由于梁的左 端為固定端，因此有加=00梁的右端為彈性支承，則有(7)注意到式（4）能滿足，而欲使式（5）成立，必須滿足二0仏-£7綽式（6）和式（8）即為題意所求的邊界條件。5.由于最小勢(shì)能原理與位移變分方程式等價(jià)的， 所以，從最小勢(shì)能原理出發(fā)，也 能得到所求的表達(dá)式（略）。二 0x-i代入式（1），經(jīng)整理后得(加、

33、dS "勺w51 血 Ja)+-El第五章習(xí)題答案5-1所示。試將各板邊的邊界條件用撓度表示。5.3矩形薄板具有固定邊CM，簡支邊0C及自由邊血和5C，角點(diǎn)5處有鏈桿 支撐，板邊所受荷載如題圖¥0h7 A Z J題圖5-1解：1。各邊界條件如下:二0(1)K-0= -M,(2)或用撓度表示為（4）屹血廣（Mw=0T，-D砂+（忖砂=5屮二F或用撓度表示為=0a"二 0Z，欣+ "改屛二 0（5）W5.4矩形薄板的和OC邊為簡支邊，曲'和CF邊是自由邊,在用點(diǎn)有一個(gè)向上位移d，且由鏈桿拉住，如題圖5-2所示。試證能滿足一切條件（其 中，凰為待定常數(shù)

34、），并求出撓度表達(dá)式、彎矩和反力。題圖5-2 解：1.撓曲面方程為：卩砂二0。邊界條件為oc邊創(chuàng)邊)f-0=0>0-0色=0屈邊eg邊2.將撓度表達(dá)式代入后，可知滿足以上各式。由 用角的位移條件確定肌，從而求出撓度，內(nèi)力和反力：,二一0,用二,艸二-矽恥，必abZM廠二曙氏叫二Q®以莎 ab恥R廠R廠R廠空竺丸3.分析：給定的用角點(diǎn)的位移d沿2軸反向，故為負(fù)值。四個(gè)角點(diǎn)反力的數(shù)值雖然相同，但粘、的方向向上，際，Re則向下，這些反力由外界支承施加 于板。5.5題圖5-3所示矩形板在C點(diǎn)受集中力P作用，0和血兩邊簡支，0C和BC兩邊自由，試求撓度、內(nèi)力和反力。提示： 詡=他卬-0,

35、加為任意常數(shù)。解:=0r-O=03vr a'wJ-D二 0Z95護(hù)w =0滬 WSSf寸D=0M D=02.不難驗(yàn)證W二泗3")能滿足以上方程和條件。有角點(diǎn)C的補(bǔ)充條件可確定 朋，進(jìn)而可求出撓度、內(nèi)力和反力：護(hù)W二-F, -2D(1t) = -PdxdyFin =2D(1 - V)IPab叫吠 _ 沖L吋d _ 2jQ(；1-v)M產(chǎn)磚二曙卩冃嚴(yán)垃，Re的方向向上，幾、則向下（沿2軸正方向）5.6有一塊邊長分別為fl和0的四邊簡支矩形薄板，坐標(biāo)系如題圖5-4所示，受.TTX .砂.TTX . q = sin sinw = £ni sin 板面荷載' d 6作

36、用，試證d b能滿足一切條件，并求出撓度、彎矩和反力。解：不難驗(yàn)證M能滿足所有簡支邊的邊界條件，由撓曲面方程式 定朋，從而求出撓度、彎矩和反力。D可確.Sin sma心+ b471XTiysin sin abDab伽卅/Tz . TTvsinsin 總bsinsin a b仏=Dm U5+ I在ZW(1 2-yfl丿D( 12-y)sinsin )a bm 砂 cos sm a bCOSSin a bah撓度、彎矩和反力。板面無橫向荷載9作用，坐標(biāo)取題圖5-5。吆=-D=-加(6珂兀+糾J-_ -2D(1- y)加冊(cè)托yK c os cos <3b5.7有一矩形薄板的0£與&a

37、mp;5邊是簡支邊，其上作用有均布彎矩M , 0C和曲 邊為自由邊，其上作用有均布彎矩uM ,若設(shè)w=/(x)能滿足一切條件，試求出解：將 w=/(x) d%)1?y(M二aF+時(shí)J+&X+時(shí)彎矩、反力的表達(dá)式為二-如+2如M紗二驗(yàn)=Fy = 0 R呱=卩產(chǎn) 5?由邊界條件確定常數(shù)，從而求得撓度和內(nèi)力：二0嘰二MA 二0,&二-善jM出二二涪歸心J +竺X 八,2D 2D=0珅能滿足。所以，E（M能滿足一切條件，見皿財(cái)嚴(yán)M,其余內(nèi)力和反力為零。 5.8有一四邊簡支矩形板，板面荷載如題圖 5-6所示，求該薄板的撓度。J0 一= JCr題圖5-6 解：采用納維解法，撓度表達(dá)式為W

38、二 sm H-1a b荷載表達(dá)式為0忑專，總j）二？2 a專x住,譏和）=（07）処2a&鼻= / 3 小2"噸+貝0.mg .旳魂y， q sinsindxdy0 a b由式4口伽平求出Ax :一r= 4x 煬nn了X S indx+：（0 X）sin'aa 2a23】+訂a i丿/23 PW «T '識(shí)Z b J1_ _ JW “hctbD -T.TTSin 2ffi-i:尸=7 Drn式中，朋= 1,3人/二1,4mnx . nnysinsin-a b®®M-1SZ (T)丁5.9題圖5-7所示的矩形薄板，周邊簡支，板面無垂

39、直均布荷載作用，只在y諾a的板邊受均布彎矩Mfl作用，求板的撓度。/a “丄 MW題圖5-7解：1。采用李維解法。因?yàn)榘迕婧奢dg為零，故式管）-2X+"wrV心'0右端積分為零，即特解為零，再考慮變形的對(duì)稱性，板內(nèi)撓度應(yīng)是y的偶函數(shù)，所以，CfD月，則 撓度表達(dá)式為0 / w = 2 4 ch fflj sh sina2.利用"2的邊界條件確定系數(shù) &,'»!：斗二 0,4 二 iRjAt th a和務(wù)二朋,.wrx ,ch sin=a.M畫Sin等式兩端同乘以a ，對(duì)X積分，且注意到三角函數(shù)的正交性，得'代haj 陽1”)if.m

40、Tiy 用；ly 酬.用；ix一j tn a* chsh sin0"曲1如題圖5-8.求其撓度.m ch Va a a ) a5.10半徑為A的固定邊圓形薄板，板面荷載為 和內(nèi)力。解：1.板中無孔，滿足撓曲面微分方程的撓度可取為W二 qd+Do+W(1)式中，特解設(shè)為均=俯，代入撓曲面方程后，得擁亠225aD2.由邊界條件求得常數(shù)，進(jìn)而求出撓度和內(nèi)力:4普=0(3)+一+一血6 ' 10 ' 15a'J1+匚+訃一1+3.分析（1）取半徑為r的板中部分圓板的平衡（也可求得% :2疽+ J；伽滬-0心二-彗< G丿作用（題圖5-9a），該荷載可分解成題q

41、=（2）若固定邊圓板受荷載圖5-9b和題圖5-9c所示兩種荷載。題圖5-9b的解答很容易得到，題圖5-9c狀 態(tài)下的解答則可將00代換本題的式（4）、式（5）中的切而求得。題圖5-9b 和題圖5-9C狀態(tài)下的解答疊加起來便可求得題圖 5-9a狀態(tài)下的解答，不難證明， 題圖5-9a情況下的撓度為225 15Z)L 6r1 HH Hrjs*Ih)"一Lcir a r 1h 10題圖5-95.11有一半徑為n的固支圓板，板中心受集中力P作用，見題圖5-10a,求其撓度和內(nèi)力。I r gr«b)題圖5-10解：1.這是軸對(duì)稱彎曲問題，板面無均布載荷，故特解 W為零，則其撓度表達(dá) 式

42、為w=如“+A/+2板中心無孔，撓度應(yīng)是有限值，4）應(yīng)為零。該板的邊界條件為Z二0顯111 a +C屛+鞏二0二 0,2 知 1叱 +垃+= 0取半徑為r的部分圓板的靜力平衡條件 "月，得(4)2.由式(2)2 加血+F = 0,2叫-、式（3）、式（4）求得常數(shù)，進(jìn)而求出撓度和內(nèi)力:PP吋必0 = 厶,（：0 =-厶1+2加）鳥=旦0誠 016泌016泌16開/31(5)M, = - (l + v)ln-+lK=- (1+ p)ln-+v4/ra(6)3.分析：題圖5-10b所示固支圓板，當(dāng)版中心鏈桿支座發(fā)生沉陷3時(shí)，可以用r-O本題的式（5）求解（其中第三項(xiàng)在板中心為零）16?r

43、Da將P代入式（5）、式（6）,求得題圖5-10b情況時(shí)的撓度和內(nèi)力為a'-? +2dn-< 。丿(8)My (1 + v)ln +1a“曆=-a5加a F（9）5.12有一半徑為fl的簡支圓板，板面無荷載，但在周邊受均布彎矩M作用，見題圖5-11故特解 溝和常數(shù)A，弘取為零。撓度、轉(zhuǎn)題圖5-11所示。求圓板的撓度和內(nèi)力。解：1.因板面無荷載，板中心無孔, 角、內(nèi)力表達(dá)式如下：w=q）+嗎M廣胚廠-2（l+y）碼，叫叫(3)(4)邊界條件為：WW 二2.求出G，A后代回式（1）、式（2）、式（3），得 a2（1+h）D（心必(1+v)D第六章習(xí)題答案6.3在拉伸試驗(yàn)中，伸長率為已

44、-皿，截面收縮率為片仏-厲仏，其中A 和h為試件的初始橫截面面積和初始長度，試證當(dāng)材料體積不變時(shí)有如下關(guān)系:(1+用(1-朋1證明：將f和卩的表達(dá)式代入上式，則有（1+司（呦=1+導(dǎo) 町丿= = 1人4）6.4為了使幕強(qiáng)化應(yīng)力-應(yīng)變曲線在時(shí)能滿足虎克定律，建議采用以下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系:Ee (0<E<gJda為保證0及血在E二9處連續(xù)，試確定5、切值。=如將該曲線表示成解：（1）由0在r處連續(xù)，有屍何形式，試給出O的表達(dá)式。da由血在£二勺處連續(xù)，有(b)（a）、（ b）兩式相除，有£ tan 工変 tm fiJtT0 *、由（a）式，有養(yǎng)旄二昵取"昭1

45、-難）形式時(shí)，當(dāng)0立W皿£）= 0即0=血 當(dāng)汕£：應(yīng)力相等，有尿17（引胡r）昨）=1-雉5）解出得，' '（代入B值）（代入切值）（0 < £ < 1 1 " i'll1 + 1 叭耳）d）6.5已知簡單拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖6-1所示，并表示如下:a,（心 Sfj 匕"）問當(dāng)采用剛塑性模型是，應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)如何表示？圖6-1解：剛塑性模型不考慮彈性階段應(yīng)變，因此剛塑性應(yīng)力應(yīng)變曲線即為曲線，這不難由原式推得蘭耳=片一eJ而在強(qiáng)化階段，52F,因?yàn)檫@時(shí)（仃b= 6+£"（£

46、;藥）二 q+F + h 將0都移到等式左邊，整理之即得答案。e < 尹 < £, （呼瑩*）6.6已知簡單拉伸時(shí)的 "朮可曲線由（6.1 ）式給出，考慮橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值叫二 y H V在彈性階段，*2為材料彈性時(shí)的泊松比，但進(jìn)入塑性階段后 值開始增大最后趨向于2。試給出片二詢的變化規(guī)律。解：按題設(shè)在簡單拉伸時(shí)總有(a)勺 + 呂2+£ = （1-21>）£左邊為體積變形，不論材料屈服與否，它要按彈性規(guī)律變化，即有勺 +=筈°<7=罟少71（£）比較（a）,（ b）兩式，得fl-.w12 丿 Ee將人（

47、M表達(dá)式代入，即可得 川）。6.7如圖所示等截面直桿，截面積為4）,且Z。在x=a處作用一個(gè)逐漸增加的力F。該桿材料為線性強(qiáng)化彈塑性，拉伸和壓縮時(shí)性能相同。求左端反力弘和力P的關(guān)系。p廠Wa解：（1）彈性階段基本方程：平衡方程嘰也二P(a)幾何方程聯(lián)立求出本構(gòu)方程SA EA(C)顯然，"1朋，4段先屈服，取"1 =山=劃，得 二叫+刀，當(dāng)P幼時(shí)川川值如上述表達(dá)式。（2）彈塑性階段（a段塑性，b段彈性）平衡方程和幾何方程仍為（a）、（b）式。本構(gòu)方程：且設(shè)M =帀將本構(gòu)方程代入幾何方程:/即E兩側(cè)同乘面積/ ,并利用平衡方程（a），得I場(chǎng)丿S解出如E，則得J艮P+鞏2 t'1+電 2E a丄(1-亦P +砒本階段結(jié)束時(shí)，5叫見=則=山由幾何方程bbE產(chǎn)-6二一退 aa且耳二®+(% q)帛二比+應(yīng)遐利用平衡方程/5片=+