二次函數(shù)動點專題教案

1、二次函數(shù)與圖形綜合之動點問題1.三角形題型(存在性問題、最值問題)【例11 (2019黯禺區(qū)一模)如圖，拋物物 y=ax2過點(-a , 2),點P (h,k)是拋物線上在第一象限內(nèi)的動點. 連結(jié)OP,過點O作OP的垂線交拋物線于 另一點N,連結(jié)PN,交y軸于點M,作PA，x軸于點A, NB，x軸于點B.(1)求a的值，寫出拋物線的對稱軸；(2)如圖，當(dāng)h=J萬時，在y軸上找一點C,使AOCN是等腰三角形，求點C的坐標；【解答】解：(1) ;拋物線y=ax2過點(-，W, 2),2=a(-J2)2, a=1,拋物線y=x2對稱軸為y軸.(2)當(dāng)h母時,P (五，2),v PO± ON

2、, .PON=90 ,v PAXx 軸， ./ PAO=90 ,同理/ NBO=90 .由題意可得：PA=2, OA= 2設(shè) N (n, n2), /POA=,貝U/NOM=g0 -/MOP=/POA=,丁. / BNO=90 - / NOB= / NOM =,要使 9c N為等腰三角形，只需 ON=OC或者CN=OC或者ON=CN ,當(dāng) ON=OC 時，點 C 的坐標為 C1(0, ), C2(0,- ),22當(dāng)ON=CN時，由對稱性可得，點 C的坐標為C3 (0, 1),當(dāng)CN=OC時，可得點C的坐標為C4(0,-).4【例2】(2019深圳南山外國語月考)如圖1,已知拋物線y=ax2-2

3、ax+4與x軸交 于A、B兩點，與y軸交于點C,且OB=OC.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是線段AB上的一個動點(不與A、B重合),分別以AP、BP為一 邊，在直線AB的同側(cè)作等邊三角形 APM和BPN,求4PMN的最大面積,并 寫出此時點P的坐標；(3)如圖2,若拋物線的對稱軸與x軸交于點D, F是拋物線上位于對稱軸右側(cè) 的一個動點，直線FD與y軸交于點E.是否存在點F,使 DOE與八AOC相似？ 若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.叫n?解：(1)令 x=0 得，y=4, a C (0.4), .OB=OC=4,B (4.0),代入拋物線表達式得：16a-8a+4=

4、0,解得a=-0.5,.二拋物線的函數(shù)表達式為y=-0.5x2+x+4(2)如圖2,過點M作MGx軸于G,過點N作NH，x軸于H,EWIWcy-+x-l Ai-2:0l t.虺K =1時，善有最大值是地/. -PMN的看大國n星：,it時點尸的坐標是(L0),(3 有在點F 使得-DOE與0C自以.有兩種可能情兄；0_DOESaAOC 0DOES=Ct>4 日拋物線y=-* + k + 4渴：A(-L0 ，時箭觸為直型 =1 . /. 0A = 2 , 0C = 4 , QD = 1 ,出者-DOES.AOC1 0E "24 1解得OE =2 f八忘E B3(0r2i sJEl

5、O-2),若息E的坐標是*0l.則直線DE ±r: y - -lx+2 r' y - -2x+2好方程組1 , 一y = -i' +x+lI k = 3 -I x. -. = 3 y/1潺：，j-,'廠(不合題意，舍去)|yL -4-2<n%= 7 +此時蓄足條件的點E的坐標為(3+而，-4一：41),若總E的坐標是電一二)r同理可求得滿足條件的虛F：的坐標為1十病，-"二阜I ,若.DOESiCOA ,后J37+P冏理也可求噂就足條件的點E的坐標為 一、y,/St I 1._ 1 !|滴是條件的點耳的坐標為："r;廣 ，寫上所述,存

6、在廉足第件的克F 克戶的里標為：均計歷一屈)可-1 +店-3+工呵、與1)福與二一牛*'I1JI - 口【例3】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)圖象的頂點為D,其圖象與x軸的 交點A, B的橫坐標分別為-1, 3,與y軸負半軸交于點C.(1)下列結(jié)論：2a-b=0; a+b+c>0;c=-3a；其中正確的是;(2)若4ABD是等腰直角三角形，求a的值.JL(1)冒9»與麗)交點A rR的催坐標分別為-1,3 .'hAE=4 ,bla即2cb=口、故錯誤;1當(dāng)x = l時，尸 0 r 即白+b*s%:標為(A, 0) r，立SuO .而b= h

7、 1S+2a+e=0 . SJd='3a r 故正確 r故谷喜為；(21如圖.作DE _ AB于點E rAB k 3 -171 = 4 (v ABC是零腹點用三能開"上 DEAB = 2 就D的坐標是 L-口，5W式是丫=或每一一二，JE(-V0l KA»4a-i=0 .1解蹲3=:，【解析】【例5】物線y=【例4】二次函數(shù)y=2x2+4x+m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,若ABC 為直角三角形，則m=.,點A的坐標為(勺，Q ),而由泗S為x2,0 ).虎島在成國0蚯邊.二念(Orm) t=雷鄴=或*4x+e =2(j(記產(chǎn)+m-2 jin 工烹匚在淵的負

8、半軸p、,二 ¥ .3 rH 看0 t>AEU為亙麗三能格r二位2Tl,尸二8，*«)+僅，*«，如圖，拋解得F m=- - . 故智至為-W .-2x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且0A=2, OC=3.(1)求拋物線的解析式；(2)已知拋物線上點D的橫坐標為2,在拋物線的對稱軸上是否存在點 P,使 得4BDP的周長最??？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1)-0.4=2 r點H的坐標為(-1。).J OC = 3 ,10 = 2 ，6 + c二點C的坐標為電V把(一)。)J&3)代入J=Y十斯，得,J= 3解

9、得- 2 .號 C = J.1 , 1.二拋物線的解析式為1-.TT+-X+S .把？=。代入j =蟀得過=一二r壬=3 ,二點與的坐標先工01 . JSZ)的橫線生際為二171二一三乂工二十亍二+3 = 2的坐之之).E 曹設(shè) F 星岫上的一點口莊接 戶上.P斡- PA = PB .二SBDP的周快等于BD +尸H + PD .SL*/SD的歸息豆值.二點W . F、D 在同一M線上時r NBD產(chǎn)的周氏重小，日 Hfj、-：0|可得直送.3 60解衍式為？=工十1-岫物線的對稱西是十=3 .二點產(chǎn)的生標為二標;*41 q在曲枷法的對存軸上有在/存尸 彳彳 ,使得口z尸 的更長信小2.四邊形題

10、型(存在性問題、最值問題)【例11如圖，直線y=kx+2與x軸交于點A (3, 0),與y軸交于點B,拋物線?= - 4?+ ?經(jīng)過點 A, B.3(1)求k的值和拋物線的解析式；(2) M (m, 0)為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋 物線分別交于點P, N .若以O(shè), B, N, P為頂點的四邊形是 平行四邊形時，求 m的值；【解答】(1)解：把？(3, 0)代入？?= ? 2中得：0 = 3?+ 2, ?= - 2,3;直線？附解析式為：?= - |?H 2, 3：? (0, 2),把？(3, 0)和？(0, 2)代入拋物線？?= - 4?+ ?中， 3則- 4X3

11、2+ 3?+ ?= 0,?= 210解得：?= 5,?= 2;二次函數(shù)的表達式為：？?= - 4?+?？?+ 2;(2)解：設(shè)？(？?，0),貝1？(？?，- |?+ 2) , ? (?, - g?2 + £?+ 2), 有兩種情況：當(dāng)？花？勺上方時，如圖1,:? ?- ?= (- 4+ ,？?+ 2) - (- 2?+ 2)= 333-4?2+ 4?,由于四邊形？?W行四邊形得：？? ? 2,.- 4?2+ 4?= 2,解得：？=噌一, 322當(dāng)？花？?勺下方時，同理可得：？= (- 2?+ 2) - (- 4?2 + ?+ 3332) = 3 ?2 - 4?,解得：?=手或三要，

12、綜上，?=寧或3K ；【例2】(2019府洲區(qū)模擬)如圖1,將拋物線Pi： yi =1x-3右移m個單位長 3度得到新拋物線P2: y2=a (x+h) 2+k,拋物線Pi與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,拋物線P2與x軸交于Ai, Bi兩點，與y軸交于點Ci.(1)當(dāng) m=i 時,a=, h=, k=；(2)在(i)的條件下，當(dāng)yi<y2V0時，求x的取值范圍;(3)如圖2,過點Ci作y軸的垂線，分別交拋物線 Pi, P2于D、E兩點，當(dāng)四 邊形AiDEB是矩形時，求m的值.【解答】解：(i)二拋物線Pi： y1x2!右移m個單位長度得到新拋物線解3(x-m) 2-3i ,、 22

13、 . i析式為：y2= - (x-m) 2-3 /. y2=a (x+h) 2+k=-33又. m=i . h=-m=-ii故答案為：,；-i, -33i2(2)二,當(dāng) y2=- (x-i) -3=0 時，解得：xi= -2, x2=4 3由圖象可知，當(dāng)-2<x<4時,y2<0、r.i i O ii當(dāng) yi=y2 時，-x?-3=- (x-i) 2-3 解得：x=-332i 一由圖象可知，當(dāng)x<時，yi<y22i 當(dāng)yi<y2<0時 x的取值氾圍是-2<x< -2i 2(3)當(dāng) yi= -x2-3=0 時，解得：x= . .A (-3, 0

14、) , OA=3 3根據(jù)平移性質(zhì)得：AA i=DCi=mV 四邊形 AiDEB 是矩形 . / AiDE=/ DAiB=90°四邊形 AiDCiO 是矩形.OAi=DCi=m . OA=AA i+OAi=2m=33m= 【例3】(2019水泊區(qū)一模)如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點C(0, 3),與x軸分別交于點A,點B (3, 0),點P是拋物線上一動點.(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達式.(2)若點P在直線BC上方的拋物線上運動，當(dāng) APBC的面積最大時，求出P 點的坐標和最大面積.(3)連接PO, PC,并把POC沿y軸翻折，得到四邊形POP C.

15、若四邊形POP C 為菱形，求出此時點P的坐標.【解答】解：(仔：j解得：c=3一二次函數(shù)的表達式為y=-x2+2x+3.(2)過點P作PD，x軸于點D,如圖1所示.設(shè)點P的坐標為(x, -X2+2X+3) (0<x<3),則點D的坐標為二 SZPBC=S 梯形 ODPC+SzPBD-SzOBC ,(X, 0),=1 ( OC+PD OD-PDBD-GC*OB r 222=yX3-|- ( F+lr+m ) *x+ ( i2+2r+3 ) ( 1r ) 。士工3-尸 4 _# = 222當(dāng)x=3 ,即點P的坐標為(3,15 ) , APBC的面積取得最大值,22 4PD B 卻XA

16、f 0最大值為召。833當(dāng)y二彳時,-父+ 2m+3=,.2+v/To 3-2- f 2圖2 B(3) :四邊形POP C為菱形，.二PPL OC,且PP, OC互相平分.3 ，一 又丁點C的坐標為(0, 3) , 直線PP的表達式為y=,如圖2所小.2二點尸的坐標為(【例4.如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx的圖形經(jīng)過點A ( 4, 0),頂點為B,1一次函數(shù)y=- x+2的圖像父y軸與點M, P是拋物線上一點，點M關(guān)于直線AP的對稱點N恰好落在拋物線的對稱軸直線 BH上(對稱軸直線BH與x軸交于點 H).(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)求點P的坐標；(3)若點G是第二象限內(nèi)拋物線上一點，G關(guān)

17、于拋物線的對稱軸的對稱點是 E, 連接OG,點F是線段OG上一點，點D是坐標平面內(nèi)一點，若四邊形BDEF是 正方形，求點G的坐標.【解析】(1)把點？(一4, 0)代入？?= 2?+ ?解：？?= ?+ 2?(2)解：M (0, 2)設(shè) N (-2, t),由題意可知 AN=AM ,則 AN 2=AM2 16+t2=16+4,則 t= % 當(dāng) t=4 時 Ni (-2, 4)，設(shè) Pi (m, 0.5m2+2m),根據(jù) PiN2=PiM2, 求出P1當(dāng) t=-4 時，N2 (-2, -4),設(shè) P2 (m, 0.5m2+2m),根據(jù) P2N2=P2M2,求出 P2 ? (2, 6) , ? (

18、- I，- .);(3)解：設(shè)點 G(m, 0.5m2+2m),點 E(-4-m, 0.5m2+2m) Iog： y= (0.5m + 2)x,把點 F (- 4, 0.5m2 + 2m - 2)代入得-2 或-6, , ?( 6, 6);【例5】(2018甘肅中考)如圖，已知二次函數(shù)=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點C (0, 3), 與x軸分別交于點A,點B (3, 0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達式；(2)連接PO, PC,并把POC沿y軸翻折，得到四邊形POP A若四邊形POP'C為菱形，請求出此時點P的坐標；(3)當(dāng)點P運動到什

19、么位置時，四邊形 ACPB的面積最大？求出此時P點的坐 標和四邊形ACPB的最大面積.(1)持點為和點c的坐標代入曲甥峰忻式.僵9口十6十c = 0' c - 3ra-3 = 3=二次的數(shù)的好忻式為產(chǎn)- - 293 ；(2 )石四織POP亡為費形，則點P在稅段CC的垂直平分線上 如閣,連接PP ,則PEJX。，垂是為E .七(。13 ).f I 二E一 T, U ' 7 IL J，點P的孰坐標:,33當(dāng)J二：時，國，一2工+3=( ."產(chǎn)一】一曬 干_ :一f工冬藥白 金1Mrhw 1” = 1 a H： =a (. SJ J t F回 3二點p的坐標為 一：r ff

20、 I .上，升(e. - rr?+2m+3 ).設(shè)宣線K的解析式為尸kx,b r將點B和點匚拒坐標ft入函哂析式涔3*+3 =0b = 3t；走=-1解得b 3.直統(tǒng)BC的礙析為y= 7+3 .設(shè)點 為(m , - m+3 ) rPQ= = m + 2m+3 - f - m+3 ) = = m工+3m .當(dāng)y=0時,-2*3=0 F解濕肛=- 1 t X2=J OA=1 rH 也可 XSPC = 5-ABC 0 yzp RQ= -AB OC¥-PQ OF ¥-PQ FHl *=ix 4 x3 + A(-7* -3w |x 3,當(dāng)E三；時，四邊形禽BPC的面用最大. 一S 一

21、 口 15當(dāng)m=；時，-也.十：桁十3二1.即P總的坐叱(3 15J75當(dāng)點P的坐標力 千了 時，四邊形MPB的最大面職值力5 .【例6】(2013中考)如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、31C分別是一次函數(shù)y=4X+3的圖象與軸的父點，點B在二次函數(shù)y=F2+bx+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點 D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形。(1)試求b, c的值，并寫出該二次函數(shù)表達式；(2)動點P從A到D,同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：當(dāng)P!動到何處時，有PQ±AC?當(dāng)P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最??？此時四邊形PDCQ的面積是多少?

22、所以京C (4f 0).>+鮮二(1)= h + 5 -冬=。，所以3(0,3)；和=。，釀=4FABC是以其為廟邊的噂膝三角形一也點坐標為1 - 4 ,。)*又；四通形ABC 口是平行四邊用，"口點坐標方(8,3),行京B-419 L 京D 8 , 3 J代入二次圖跖=x: +bx + c,可得(2 -+h-K = fl3十電十f = 3 1 L = _竺讀二欠題初淅式為：¥ = # -3一九(2 ) ®nMP 運動了 tfeW r PQ±AC ,的AP7,CQ-t , AQ=5 -t rVPQXAC, AKj"iCAOP AS=S .

23、醒=T.解IS ：=芍，0DW點P運動到距離削唁作岫長度處,有PQ_LAG©'.壇6：9 * *£由二5皿口 .且粗但三:方乂占-山,.' *、APQ的面身八時(四葉PD匚Q的面用量小,n切點FWSfltt!/ r 或P=1 r CQ-T , AQ-S-1 rifi-RPC底二AP上伯哥為十.作QH_LAJd京H史小QMCAQ可號r ：h = |15-1J .Y 專一小+匍= 一)-1+.；a=！豺，占:AP：達于JBW：5t ,摩也.皿內(nèi)士一六笆 bps動到由點耳十單j史旺丁,四邊力pikqk總岷小,e-aV.1) 麗一儀mFtfr式印出由A ,總睦標,再

24、用-人人黑黑二彩彤可求世點懶睡，WtrESliEU 字弄金至口,米包匕a岸.以桁問n二;丁獨歌去謫式.【2 )爸P再比了用打 PQ±C . limAP-1 . CQir .被二5 t . HEfi-APQ-CAO Jl用加就加 P的M.0口加=屈加)而事暈大.虱馨胃鹿盹崎口CQ43面藤睡小.盤川飛看也陽上g知r gH，A( 對應(yīng)迪剛甫閥出3中但C .從而表示dJMPQBQ航程儂式 利用際法事出Q也.即可蹲出四邊 P明司孟，3.圓形題型【例1】(2018%遷)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y (x a)(x 3)(0 a 3)的圖象與x軸交于點A、 B （點A在點B的左側(cè)），與y軸

25、交于點D ,過其頂點C 作直線CP x軸，垂足為點P ,連接AD、BC .（1）求點A、B、D的坐標;(2)若AOD與BPC相似，求a的值;（3）點 D、O、B能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由.【解】：（1） Q y(x a)(x 3)(0 a3) ，A(a,0) , B(3,0)當(dāng)x 0時,D(0,3a) ； (2) Q A(a,0) , B(3,0),對稱軸直線方程為:當(dāng)x 3/時，y（3底）2，c（3/，（u2），PB3 ax .2:pc(f，若 AODs BPC 時，貝(J AO DO,即a BP CP 2 3 a 32(3a3 a 2)2解得a 3 （舍去）；若

26、AODs CPB時，則AOCPDOPB即- (a3 a )22解得a 3 a 233 a 2 23232（2 丁（2a（?。?3）（-a 0），整理，得a4 14a2 45 0,所以（a2 5）（a2 9） 0,解得a 娓,a2 &（舍），a3 3 （舍），a3 （舍）， （舍去）或a 7 .所以a的值是7.（3）能.理由如下：聯(lián)結(jié)BD ,取中點MQD、O、B在同一個圓上，且圓心 M33為（萬 ，-a）. 若點 C 也在圓上， 則 MC MB . 即【例2】(2018無錫模擬)如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像交x軸于A (-1, 0), B (2, 0),交 y 軸于 C (0,-2),過 A.C 畫直線.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P在x軸正半軸上，且 PA=PC,求OP的長；(3)點M在二次函數(shù)圖像上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H. 點M在y軸右側(cè)，且 CHMAAOC (點C與點A對應(yīng))，求點M的坐標； 若。M的半徑為4,5,求點M的坐標。5麻：m ;二的敬上三or2中我一。的圖像童工 漸于 O雷為；F =L分又二；火函數(shù)二公：十云十亡的圖像交丁建于jfx=0ty=-2=MQ 4或。-2)解圖.小2分五為一1. gp> = r-x-2$分(2)設(shè)。尸= *則4兄.上RrPOC 中,OP - tPC = V-1, OC