基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì)

1、實用標準六大基本初等函數(shù)圖像及其性質(zhì)一、常值函數(shù)（也稱常數(shù)函數(shù)）y =C （其中 C 為常數(shù)）；常數(shù)函數(shù)（ yC ）C0yyCy0xO平行于 x 軸的直線定義域 R二、冪函數(shù) y x， x 是自變量，是常數(shù)；y11. 冪函數(shù)的圖像 ：y x2y x2y x1O2. 冪函數(shù)的性質(zhì) ；性質(zhì)yxyx2yx3函數(shù)定義域RRR值域R0,+ )R奇偶性奇偶奇單調(diào)性增0,+ )增增(- ,0減C0yOy 軸本身定義域 Ryxyx3xy1x 20,+ )0,+ )非奇非偶增xyx 1x|x 0y|y 0奇(0,+ )減(- ,0)減公共點（1,1 ）文檔實用標準1）當為正整數(shù)時，函數(shù)的定義域為區(qū)間為x ( ,

2、) ，他們的圖形都經(jīng)過原點，并當>1 時在原點處與 x 軸相切。且為奇數(shù)時，圖形關(guān)于原點對稱；為偶數(shù)時圖形關(guān)于y 軸對稱；2）當為負整數(shù)時。函數(shù)的定義域為除去x=0 的所有實數(shù)；3）當為正有理數(shù)m 時， n 為偶數(shù)時函數(shù)的定義域為（0, + ）， n 為奇數(shù)時函數(shù)的定義域為（ -n ,+ ），函數(shù)的圖形均經(jīng)過原點和（1,1 ）；4）如果 m>n圖形于 x 軸相切，如果m<n,圖形于 y 軸相切，且 m為偶數(shù)時，還跟 y 軸對稱； m，n 均為奇數(shù)時，跟原點對稱；5）當為負有理數(shù)時，n 為偶數(shù)時，函數(shù)的定義域為大于零的一切實數(shù)；n 為奇數(shù)時，定義域為去除 x=0 以外的一切實數(shù)

3、。三、指數(shù)函數(shù) yax ( x 是自變量 , a 是常數(shù)且 a0 ， a1 ) ，定義域是 R ； 無界函數(shù) 1. 指數(shù)函數(shù)的圖象 ：ya xyyyax(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ；性質(zhì)y a x (a 1)y ax (0 a 1)函數(shù)定義域R值域(0 ，+)奇偶性非奇非偶公共點過點 (0 ，1) ，即 x0 時， y1單調(diào)性在（，）是增函數(shù)（，）在是減函數(shù)1 ） 當 a1時 函 數(shù) 為 單 調(diào) 增 , 當 0 a1時函數(shù)為單調(diào)減；2 ） 不 論 x 為 何 值 ,y 總 是 正 的 , 圖 形 在 x 軸 上 方 ；3 ） 當 x0 時

4、 , y1,所以它的圖形通過(0,1) 點。文檔實用標準3. （選，補充）指數(shù)函數(shù)值的大小比較a N *；yxx1a. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)f (x) af (x)af (x) ax1， f ( x)ax(0,1)的函數(shù)圖像關(guān)于y 軸對稱。Oxh( x)3xyf (x) 2xb.1. 當 a 1時， a 值越大， y ax(0,1)的圖像越靠近 y 軸；Oxg( x)yx131xq(x)2b.2. 當 0a 1時， a 值越大， y ax(0,1)的圖像越遠離 y 軸。O4. 指數(shù)的運算法則（公式）；a. 整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)( a0, m, nb. 根式的性質(zhì)；Q ) ；nn a當 n

5、 為奇數(shù)時， n anaamanamn(1)a； (2)(1)當 n 為偶數(shù)時， na na(a0)(2)ama nam naa(a0)nc. 分數(shù)指數(shù)冪；(3)amanmanma nn am(a0, m, n Z * , n1)(1)mnn nm11*aba b(4)(2)a nmnam(a 0, m, nZ, n 1)a n文檔實用標準四、對數(shù)函數(shù)ylog a x ( a 是常數(shù)且 a0, a1) ，定義域 x(0,) 無界 1. 對數(shù)的概念：如果 a(a 0， a 1) 的 b 次冪等于 N，就是abN ，那么數(shù) b 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 loga Nb , 其中 a 叫做

6、對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子log a N 叫做對數(shù)式。對數(shù)函數(shù) yloga x 與指數(shù)函數(shù) ya x 互為反函數(shù)，所以ylog a x 的圖象與 ya x 的圖象關(guān)于直線 yx 對稱。2. 常用對數(shù)：log10 N 的對數(shù)叫做常用對數(shù)，為了簡便，N的常用對數(shù)記作lg N 。3. 自然對數(shù)： 使用以無理數(shù)e2.7182 為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，為了簡便，N 的自然對數(shù) log e N 簡記作 ln N 。4. 對數(shù)函數(shù)的圖象：yOx1yylog a x (a1)(1,0)xOx 1(1,0)x5. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ；yloga x (0 a 1)性質(zhì)ylog a xyloga x函數(shù)(a 1)

7、(0a 1)定義域(0 ，+)值域R奇偶性非奇非偶公共點過點 (1 ， 0) ，即 x1時， y0單調(diào)性在 (0,+ ) 上是增函數(shù)在 (0,+ ) 上是減函數(shù)1）對數(shù)函數(shù)的圖形為于y 軸的右方，并過點(1,0) ；2）當 a1 時，在區(qū)間(0,1) ， y 的值為負，圖形位于 x 的下方；在區(qū)間 (1,+) ，y 值為正，圖形位于x 軸上方，在定義域是單調(diào)增函數(shù)。a 1 在實際中很少用到。文檔實用標準6. （選，補充）對數(shù)函數(shù)值的大小比較a N *；yyloga xa. 底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)y log a x ， y log 1 x(1,0)aOx的函數(shù)圖像關(guān)于x 軸對稱。yf ( x

8、)log2xylog 1 xaf ( x)log3 xb.1. 當 a1時， a 值越大， f (x) log a xx 軸；的圖像越靠近O(1,0)xyb.2. 當 (0a 1) 時， a 值越大， f ( x) loga x(1,0)xO的圖像越遠離x 軸。f ( x) log 1x37. 對數(shù)的運算法則（公式）；a. 如果 a 0， a1， M 0， N 0，那么：loga MNloga Mlog a NMlog a Nlog a Mloga Nlog a M nn log a Mb. 對數(shù)恒等式：alog a NN (a0且a1，N0)f ( x)log 1 x2c. 換底公式：(1)

9、 log b Nlog a N0,a 1，一般常常（ alog a b換為 e或 10 為底的對數(shù) , 即 logb Nln N或ln blog b Nlg N）lg b(2) 由公式和運算性質(zhì)推倒的結(jié)論：nnloga m bloga bd. 對數(shù)運算性質(zhì)(1)1 的對數(shù)是零，即log a 10 ；同理 ln 10或 lg 1 0(2) 底數(shù)的對數(shù)等于1，即log aa 1；同理 ln e 1 或 lg 10 1文檔實用標準五、三角函數(shù)1. 正弦函數(shù) ysin x , 有界函數(shù)，定義域x ( , ) ，值域 y 1, 1圖象：五點作圖法：0， 3， 2222. 余弦函數(shù) y cos x，有界函

10、數(shù)，定義域x ( , ) ，值域 y 1, 1圖象：五點作圖法：0， 3， 2223. 正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)y sin x ( k Z )ycos x (kZ )函數(shù)定義域R值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性T2T2對稱中心( k,0)(k,0)2對稱軸xk2(k,0)2在 x2k,2k2上是增函數(shù)在 x2k,2k 上是增函數(shù)2單調(diào)性在 x2k,2k3上是減函數(shù)在 x2k,2k上是減函數(shù)22x2k2時， ymax1x2k 時， ymax1最值x2k時， ymin1x2k時， ymin12文檔實用標準4. 正切函數(shù) ytan x ，無界函數(shù)，定義域 x x k,( k Z) ，值域

11、 y ( , )y2x523O325222222ytan x 的圖像5. 余切函數(shù)ycot x ，無界函數(shù)，定義域x xk , kZ , y(,)yx3523O3253222222ycot x 的圖像6. 正、余切函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)ytan x ( k Z )ycot x (k Z )函數(shù)定義域x k2xk值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性TT單調(diào)性在 (k ,k) 上都是增函數(shù)在 (k ,( k1) 上都是減函數(shù)22對稱中心( k,0)( k,0)22零點(k,0)(k,0)2文檔實用標準7. 正割函數(shù) ysecx ，無界函數(shù)，定義域 x x k, (k Z ) ，值域 secx 1y21223

12、53O35x222-1222ysecx 的圖像8. 余割函數(shù) y cscx1x x k , (k Z ) ，值域 cscx 1，無界函數(shù)，定義域sin xy513222323O25x2-122ycsc x 的圖像9. 正、余割函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)ysec x (kZ )ycsc x ( kZ )函數(shù)定義域x xkx xk2值域(， 1 1,)(， 11,)奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T2T2(2k,2k)(2k,2k3 )(2k ,2k)(2k3,2k2 ) 減22223單調(diào)性減(2k,2k)( 2k,2k)(2k,2k)( 2k,2k) 增22增22文檔實用標準續(xù)表：性質(zhì)ysec x (k Z )y

13、 csc x (k Z )函數(shù)對稱中心(k,0)(k,0)2對稱軸xkxk2漸近線xkxk2六、反三角函數(shù)1. 反正弦函數(shù)yarcsin x ，無界函數(shù)，定義域-1,1，值域 0,A. 反正弦函數(shù)的概念：正弦函數(shù)ysin x 在區(qū)間,上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為22yarcsin x2. 反余弦弦函數(shù) yarccos x ，無界函數(shù)，定義域 -1,1，值域 0, B. 反余弦函數(shù)的概念：余弦函數(shù)ycos x 在區(qū)間0,上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為yarccos xyy2-12O1x2O1x-1y arcsin x 的圖像y arccos x 的圖像3. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；性質(zhì)函數(shù)yar

14、csin xyarccos x定義域-1,1-1,1值域0, 0, 奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)文檔實用標準4. 反正切函數(shù)yarctan x ，有界函數(shù)，定義域x(,) , 值域,22C. 反正切函數(shù)的概念：正切函數(shù)ytan x 在區(qū)間,上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為22yarctan x5. 反余切函數(shù)yarc cot x ，有界函數(shù)，定義域x(,) , 值域0,D. 反余切函數(shù)的概念：余切函數(shù)ycot x 在區(qū)間0,上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為yarc cot xyy2Ox22Oxy arctan x 的圖像y arc cot x 的圖像6. 反正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)性

15、質(zhì)yarctan xyarc cot x定義域R值域,0,22奇偶性奇函數(shù)非奇非偶單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)文檔實用標準三角函數(shù)公式匯總一、任意角的三角函數(shù)在角正弦：正切：正割：的終邊上任取 一點 P( x, y) ，記： rx2y2 。yxsin余弦： cosrryxtan余切： cotxyrrsec余割： cscxy二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系： sincsc1 ， cossec1， tancot1商數(shù)關(guān)系： tansincoscos， cotsin平方關(guān)系： sin 2cos21， 1 tan2sec2， 1 cot2csc2三、誘導公式x 軸上的角，口訣：函數(shù)名不變，符號看象限；y 軸

16、上的角，口訣：函數(shù)名改變，符號看象限。四、和角公式和差角公式sin()sincoscossin)tantantan(tantansin()sincoscossin1cos()coscossinsin)tantantan(cos()coscossinsin1tantan五、二倍角公式sin 22sin costan 22 tan1tan2cos2cos2sin 22cos211 2sin2二倍角的余弦公式常用變形：（規(guī)律：降冪擴角，升冪縮角）1cos22 cos21cos22sin 21sin 2(sincos)21sin 2(sincos )2文檔實用標準cos21 cos2， sin 21sin 2， tan1cos21sin 222sin 2cos 2六、三倍角公式sin 33sin4 sin34 sinsin()sin()33cos34 cos3 3 cos4 coscos(3) cos()tan33tan 33 tantantan() tan()13 tan233七、和差化積公式sinsin2sincoscoscos2coscos2222sinsin2 cossincoscos2sinsin2222八、輔助角公式a sin x b cos xa 2b 2 sin( x)其中：角的終邊所在的象限與