非齊次泊松過(guò)程及復(fù)合泊松過(guò)程

1、1非齊次泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程主講人：張建軍主講人：張建軍2015.5.012一、泊松過(guò)程的定義一、泊松過(guò)程的定義二、齊次泊松過(guò)程二、齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程3 一、泊松過(guò)程的定義一、泊松過(guò)程的定義 泊松過(guò)程是一類(lèi)較為簡(jiǎn)單的時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離泊松過(guò)程是一類(lèi)較為簡(jiǎn)單的時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)程。散的隨機(jī)過(guò)程。 一種累計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的最基本的獨(dú)立一種累計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的最基本的獨(dú)立增量過(guò)程。增量過(guò)程。4一、泊松過(guò)程的定義一、泊松過(guò)程的定義u泊松過(guò)程是由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家泊松（泊松過(guò)程是由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家泊松（Poisson

2、, Simeon-Denis）（）（17811840）證明的。）證明的。 u1943年年C.帕爾姆在電話業(yè)務(wù)問(wèn)題的研究中運(yùn)用帕爾姆在電話業(yè)務(wù)問(wèn)題的研究中運(yùn)用了這一過(guò)程。了這一過(guò)程。u辛欽于辛欽于50年代在服務(wù)系統(tǒng)的研究中又進(jìn)一步發(fā)年代在服務(wù)系統(tǒng)的研究中又進(jìn)一步發(fā)展了它。展了它。5二、齊次泊松過(guò)程二、齊次泊松過(guò)程1.齊次泊松過(guò)程的定義齊次泊松過(guò)程的定義： 稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程X(t)0為具有參數(shù)0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：X(0)=0;X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程;在任意長(zhǎng)度為t的區(qū)間內(nèi)，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)0的泊松分布，即對(duì)任意s ,t0，有PX(t+s) -X(s)=n= ,n=0,1,2-(

3、)!ntten6二、齊次泊松過(guò)程二、齊次泊松過(guò)程解釋?zhuān)簂獨(dú)立增量過(guò)程：是指在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)是相互獨(dú)立的。l平穩(wěn)增量過(guò)程：是指計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)在(t,t+s) 內(nèi)(s0)，事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t) 僅與時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間段的起始時(shí)間無(wú)關(guān)。因此，齊次泊松過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程且EX(t)=t。由于 單位時(shí)間內(nèi)事A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱(chēng)為此過(guò)程的速率或強(qiáng)度。EX(t)t7二、齊次泊松過(guò)程二、齊次泊松過(guò)程齊次泊松過(guò)程的解釋?zhuān)簂稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程X(t)，t0為具有參數(shù)0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：X(0)=0;X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程;X(t)滿足下列兩式： PX(t+h) -

4、X(t)=1=ho(h), PX(t+h) -X(t)=2=o(h).l以上定義說(shuō)明，在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的事件同時(shí)發(fā)生。也就是說(shuō)，要么事件發(fā)生一次，要么事件不發(fā)生。這是泊松過(guò)程的核心概念。8三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程l例例: 設(shè)電話總機(jī)在早晨8時(shí)接到的電話呼叫數(shù)為20個(gè)；8時(shí)至11時(shí)接到的電話呼叫數(shù)線性增加，接到的電話呼叫數(shù)為50個(gè);11時(shí)至15 時(shí)保持平均到呼叫數(shù)不變; 15時(shí)到18時(shí)接到的電話呼叫數(shù)線性下降,到18時(shí)為20個(gè)。接到的呼叫在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的,求9時(shí)至11時(shí)有30個(gè)呼叫數(shù)的概率9三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊

5、松過(guò)程l從這個(gè)例子可以看出，它符合泊松過(guò)程，即符合獨(dú)立增量過(guò)程，且在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多只有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的事件同時(shí)發(fā)生。但是，和齊次泊松過(guò)程比有一個(gè)條件變了，不再是常數(shù)了。l在齊次泊松過(guò)程的討論中，由于對(duì)齊次過(guò)程做了時(shí)齊的假設(shè)，其均值函數(shù) E（Xt）=t 與t成正比，但是現(xiàn)實(shí)生活中不可能所有的事情都按齊次泊松過(guò)程發(fā)生，因此引入了非齊次泊松過(guò)程。10三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程l非齊次泊松過(guò)程的定義： 稱(chēng)計(jì)數(shù)過(guò)程X(t)，t0為具有強(qiáng)度函數(shù)(t)非齊次泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：X(0)=0X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程;X(t)滿足下列兩式： PX(t+h) X(t

6、)=1=(t)ho(h), PX(t+h) X(t)2=o(h). 在這里，定義與齊次泊松過(guò)程相比，出現(xiàn)了微小的變化。11三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程l首先，X(t)不再是平穩(wěn)增量過(guò)程。也就是說(shuō)，計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)在(t,t+s)內(nèi)(s0)，事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)N(t)不僅與時(shí)間差有關(guān)，而且還與時(shí)間段的起始時(shí)間有關(guān)。l其次，定義公式里不再是泊松過(guò)程的強(qiáng)度，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)期望不再是E X(t)= t，而出現(xiàn)了(t)，叫做強(qiáng)度函數(shù)。l因此，引入累積強(qiáng)度函數(shù)的概念:0( )( )tts ds12三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程 下面我們將從均值函數(shù)的層面解釋非齊次泊松過(guò)程與齊次泊松過(guò)

7、程的不同之處：l在齊次泊松過(guò)程中，由于齊次性，即它的平穩(wěn)增量過(guò)程，過(guò)程的強(qiáng)度為，因此，在（s ，ts）內(nèi)，其均值為t。l在非齊次泊松過(guò)程中，由于非齊次性，即強(qiáng)度函數(shù)的為（t），因此： 在（0 ，t）內(nèi)，均值為 在 內(nèi)，均值為：l因此，在 內(nèi)，均值為0( )( )tts ds0()( )ttts ds t(0,)tt( ,)t tt()( )( )ttttts ds t13三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程l在齊次泊松過(guò)程中，事件A在(s ，ts)內(nèi)發(fā)生n次的概率P為：PX(t+s) X(s)=n= ,n=0,1,2l其中，t為數(shù)學(xué)期望，即均值。l因此，可以想象，在非齊次泊松過(guò)程中，事件A在

8、內(nèi)發(fā)生n次的概率P為： lP=-()!ntten( ()( )- ()( )!kttttttek( ,)t tt14三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程證明：對(duì)t0,h0及非負(fù)整數(shù)n， 定義則由獨(dú)立增量性和和非齊次泊松過(guò)程的定義知，對(duì)任意s0，有( , )(-)ph tp XXnntht0(, )(-0)t h stp h s tp XX (-0) (-0)t htt h st hp XXp XX 0( , )1- () - ( )p h tth s o s15三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程于是用s除上式兩端，并令s0得由非齊次泊松過(guò)程的定義知，以上偏微分方程滿足下列初始條件000(,

9、)-( , ) -( , ) () - ( )p h s tp h tp h tt h s o s00( , )- ()( , )ph tth ph th4.1 0(0, )1pt 4.2 16三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程利用初始條件（4.2）式，對(duì)（4.1）積分得對(duì)于n1,由獨(dú)立增量性和非齊次泊松過(guò)程的定義知，對(duì)任意s0,有-( )-()-( )0( , )thtx dxthtph tee4.3 17三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程(, )(-)nt h stp hs tp XXn (-) (-0)t htt h st hp XXn p XX (-1) (-1)( )t htt

10、h st hp XXnp XXo s -1( , )1- () - ( )( , ) ()( )nnp h tth s o sph tth so s18三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程于是，用s除上式兩端，并令s0得(, )-( , )nnp hs tp h t-1- ()( , )()( , )( )nnth sp h tth sph to s-1( , )()( , )-( , )nnnp h tthph tp h th4.4 4.5 19三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程若令 ,則當(dāng)n=0時(shí)，（4.5）式就變?yōu)椋?.1）式，即（4.5）式對(duì)任意非負(fù)整數(shù)n均成立。下面利用生成函數(shù)法求

11、偏微分方程組（4.5）的解。令-1( , ) 0p ht 0( , , )( , )nnnG h t zph t z4.6 20三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程對(duì)每一n=0、1、2，將（4.5）式兩端乘以Zn，然后對(duì)n求和即得 對(duì)(4.7)式積分得( , , )()( -1)( , , )G h t zthzG h t zh4.7 ln( , , )-ln(0, , )( -1)( )t htG h t zGt zzx dx 4.8 21三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程l由非齊次泊松過(guò)程的定義知l于是1,00,1 2.(0, )nnnpt、0(0, , )(0, )1nnnGt zpt

12、 z4.9 4.10 22三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程由（4.8）式及(4.10)式得-( -1)( )( , , )t htzx dxG h t ze()-( )-()-( )zt htt htee-()- ( )0 ()-( )!nt htnnthtezn4.1123三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程將（4.6）式與（4.11）式比較得定理證明完畢。-()-( ) ()-( )( , )!nt htnthtph ten4.12 24三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程l關(guān)于非齊次泊松過(guò)程的幾個(gè)實(shí)例：l例例: 設(shè)某路公共汽車(chē)從早晨5時(shí)到晚上9時(shí)有車(chē)發(fā)出。乘客流量是：5時(shí)按平均乘客2

13、00人/時(shí)計(jì)算；5時(shí)至8時(shí)乘客平均到達(dá)率線性增加，8時(shí)到達(dá)率為1400人/時(shí)；8時(shí)至18 時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)到21時(shí)從到達(dá)率1400人/ 時(shí)按線性下降，到21時(shí)為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的，求12時(shí)至14時(shí)有2000人 來(lái)站乘車(chē)的概率，并求這兩小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘車(chē)人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。25三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程解: 將時(shí)間5時(shí)至21時(shí)平移為0到16時(shí),依題意得乘客到達(dá)率為：乘客到達(dá)率與時(shí)間關(guān)系如圖所示.200400 ,03= 1400,3t131400400(13),1316tttt 1400200133（t）16t26三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松

14、過(guò)程由題意,乘客數(shù)的變化可用非齊次泊松過(guò)程描述. 從知：在12時(shí)至14時(shí)有2000名乘客到達(dá)的概率12時(shí)至14時(shí)有2000名乘客的數(shù)學(xué)期望是97(9)-(7)14002800ds2000-28002800 (9)-(7)20002000!pe (9)-(7)2800E 27三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程例例: 某商店每日8時(shí)開(kāi)始營(yíng)業(yè)，從8時(shí)到11時(shí)平均顧客到達(dá)率線性增加，在8時(shí)顧客平均到達(dá)率為5人/時(shí)，11時(shí)到達(dá)率達(dá)最高峰20人/時(shí)。從11時(shí)到13時(shí)，平均顧客到達(dá)率維持不變，為20人/時(shí)，從13時(shí)到17時(shí)，顧客到達(dá)率線性下降，到17時(shí)顧客到達(dá)率為12人。假定不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的

15、顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問(wèn)在8：30到9:30無(wú)顧客到達(dá)商店的概率是多少，在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少？28三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程解: 將時(shí)間8時(shí)至5時(shí)平移為0到9時(shí),依題意得顧客到達(dá)率為：乘客到達(dá)率與時(shí)間關(guān)系如圖所示.55 ,03=20,3t5202(5),59tttt20553（t）9t29三、非齊次泊松過(guò)程三、非齊次泊松過(guò)程由題意,顧客的變化可用非齊次泊松過(guò)程描述. 從知：在0:30時(shí)至1:30時(shí)無(wú)顧客到達(dá)商店的概率概率8:30至9:30有2000名乘客的數(shù)學(xué)期望是321231(1:30)-(0 :30)( )-( )(55 )1022t dt 0-10-10(10

16、) (1:30)-(0:30)00!pee(1:30) -(0 :30)10E 30四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l在人們的日常生活中，泊松過(guò)程往往不是單獨(dú)存在的。l比如顧客到商店，不會(huì)只是在商店轉(zhuǎn)一圈，往往會(huì)購(gòu)物(當(dāng)然，進(jìn)去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)不買(mǎi)也是有的)。 生產(chǎn)線的機(jī)器壞了，維修的時(shí)候會(huì)有維修費(fèi)用。 參加保險(xiǎn)公司的醫(yī)療保險(xiǎn)人生病，保險(xiǎn)公司會(huì)對(duì)其作出賠償?shù)?。l這一系列的泊松過(guò)程都會(huì)有累積的事件參雜在其中。如果我們能夠?qū)⑦@些累積的事件和泊松過(guò)程聯(lián)系起來(lái)，找出一定的規(guī)律，也許就能成為解決某些生活規(guī)律的工具。例如，算出商店一天的營(yíng)業(yè)額，生產(chǎn)線一年的機(jī)器維修費(fèi)用，保險(xiǎn)公司的預(yù)備賠償金的存儲(chǔ)額等。l因此，可以看出

17、，前面多考慮的泊松過(guò)程，并未涉及到“泊松過(guò)程質(zhì)點(diǎn)”的大小，確定這些泊松過(guò)程質(zhì)點(diǎn)的累積效果的隨機(jī)過(guò)程及其概率結(jié)構(gòu)是有實(shí)際意義的。31四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l下面我們引入復(fù)合泊松過(guò)程的定義： 定義3.5 設(shè)N(t),t0是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，Yk,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,且與N(t),t0獨(dú)立, 令 則稱(chēng)X(t),t0為復(fù)合泊松過(guò)程 。( )1( ),0N tkkX tY t32四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l例例: 設(shè)N(t)是在時(shí)間段(0,t 內(nèi)到某商店的顧客人數(shù)，N(t),t0是泊松過(guò)程.若Yk是第k個(gè)顧客在商店所花的錢(qián)數(shù),則 Yk,k=1,2,是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序

18、列,且與N(t),t0 獨(dú)立。 記X(t)為該商店在(0,t 時(shí)間段內(nèi)的營(yíng)業(yè)額,則 是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程.( )1( ),0N tkkX tY t33四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l例例: 令X(t)表示在時(shí)間段(0,t)內(nèi)抵達(dá)某港口船舶的艘數(shù)，他們到達(dá)的時(shí)刻為 012n 在通常情況下，X=Xt，t0,是一個(gè)泊松過(guò)程，在時(shí)刻n到達(dá)的船舶的載貨噸數(shù)為Yn是一個(gè)隨機(jī)變量，若要考慮(0,t)內(nèi)抵達(dá)該港口船舶的總載重噸數(shù)Zt，則需要研究隨機(jī)過(guò)程( )1( ),0,X tnnZ tY t 34四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l定理定理3.6 設(shè)是復(fù)合泊松過(guò)程,則(1) X(t),t0是獨(dú)立增過(guò)程;(2)

19、 X(t)的特征函數(shù)為 式中g(shù)Y(u)是隨機(jī)變量Y1的特征函數(shù),是事件的到達(dá)率.(3)若 ,則 EX(t)=tEY1,DX(t)=tEYI2( ) 1( )( )t gY ugX t ue21E Y35證明：(1)令0t0t1tm ,則由于Yk,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量, 所以X(t)具有獨(dú)立增量性。(2) ( )( )0|iuX tiuX tngX tE eEeN tn P N tn()() 1( )-(-1)kkN tkkii N tX tX tY 1-0()|!nkniuYktntE eN tn en1-0()!nkniuYktntE een1-00()()( )exp!nk

20、nniuYknttnnttgr ueE eenn36由條件期望的性質(zhì)EX(t)=EEX(t)|N(t)及假設(shè)知：所以，類(lèi)似的， ( )111( ) |()|()NtiinniiiiiEXtNTnEYNtnEYNtnEYnE Y 11|E X tE E X t N tE N t E YtE Y 1122111 () DXtEN t DYD N t E YtD YtE YtEY（）37四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l復(fù)合泊松過(guò)程由一列隨機(jī)變量Yn的和而構(gòu)成， 當(dāng)Yn1時(shí),X(t)=N(t)，X(t)即為通常的泊松過(guò)程。l復(fù)合泊松過(guò)程的定義要求,分析具體問(wèn)題時(shí)，首先要確定一個(gè)泊松過(guò)程與一個(gè)隨機(jī)變量

21、序列，然后要驗(yàn)證隨機(jī)變量序列以及隨機(jī)變量序列與泊松過(guò)程的獨(dú)立性。只有在這些條件都具備后，方可對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行處理或計(jì)算.38四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l例例: 設(shè)移民到某地定居的戶數(shù)是一泊松過(guò)程，已知平均每周有2戶定居。設(shè)每戶的人口數(shù)是一隨機(jī)變量，而且一戶有4人的概率為1/6，有3人的概率是1/3,有2人的概率為1/3，有1人的概率是1/6。且知各戶的人口數(shù)相互獨(dú)立。求0,t周內(nèi)到該地定居的移民人數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。39四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l解: 記Yi為第i戶的人口數(shù),Yi相互獨(dú)立,移民總?cè)藬?shù) X(t)= 是一復(fù)合泊松過(guò)程. 依題意,=2. EY1=41/6+31/3+21/3

22、+11/6=5/2; EY12=421/6+321/3+221/3+121/6=43/6; 所以, EX(t)=tEY1=2t5/2=5t; DX(t)=tEY12=2t43/6=43t/3.( )1N tiYi40四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程l例例: 考慮保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備支付保險(xiǎn)總金額的金錢(qián)儲(chǔ)備。 假設(shè)保險(xiǎn)單持有者在時(shí)刻012n 死亡；家屬索取的的保險(xiǎn)金額Yn. Yn相互獨(dú)立，都服從U1500-2000均勻分布。 假設(shè)X（t）表示0t時(shí)間段內(nèi)人的死亡數(shù)量。 X（t）為=3的齊次泊松過(guò)程。保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備 的保險(xiǎn)金額Zt=求復(fù)合泊松過(guò)程的EZ(t), DZ(t)( )1X tnYn41四、復(fù)合泊松過(guò)程四、復(fù)合泊松過(guò)程解：由題意知，=3由概率論可