初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文添加輔助線的方法華東師大版

1、添加輔助線的方法（一） 從圖形考慮1， 在三角形中，已知一條中線，常把延長(zhǎng)一倍構(gòu)成全等三角形或平行四邊形，或把一邊延長(zhǎng)一倍造中位線，或取另一邊的中點(diǎn)作成中位線。2， 在三角形中，若已知兩條或三條中線時(shí)，則常連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)作成中位線或延長(zhǎng)某一中線到它的三分之一處，使之與重心、兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。3， 在等腰三角形中。常引底邊上的高或頂角的平分線；在直角三角形中，則常引斜邊上的中線或高。4， 在梯形中，常過(guò)頂點(diǎn)作高或與腰平行的線段；若已知各邊中點(diǎn)，則作中位線。5， 在圓中，常作直徑所對(duì)的圓周角，垂直于弦的半徑（或直徑）。過(guò)切點(diǎn)的半徑；若兩圓相切，則常作它的公切線和連心線；此外，還可根據(jù)共圓條件作

2、一些輔助圓。（二） 從要證的結(jié)論考慮1， 要證線段的和、差、倍、分或比較大小時(shí)，常用延長(zhǎng)或截取方法進(jìn)行等量代換。2， 要證線段、角相等時(shí)，常找全等形進(jìn)行等量代換。3， 要證四條線段成比例時(shí)，常作平行線找相似形。4， 要證面積相等時(shí)，常平移變換找等積形。（三） 從添輔助線的作用考慮1， 作平行線有利于造成線段、角相等，有利于造成相似形、平行四邊形、全等形、等積形。2， 作垂線有利于造成平行線、直角三角形。3， 作圓有關(guān)線段和角，有利于用圓的有關(guān)性質(zhì)和有關(guān)定理。如何添加輔助線，歸納的方法是很多的，還可用如下的口訣加以記憶；輔助線如何添，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。題中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線

3、，可與兩端把線連。三角形中兩中點(diǎn)，連結(jié)則成中位線。三角形中有中線，則把中線一倍延。成比例，證相似，通常要作平行線。作線原則有一條，證題線段別割斷圓外若有一切線，切點(diǎn)圓心把線連。如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線。兩圓相交于兩點(diǎn)，一般要作公共弦。是直徑、成半圓，想作直角把線連。作等角，添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線是虛線，畫(huà)圖注意莫改變。輔助線的添法靈活多變，歸納只是一種形式，要靈活掌握，靈活運(yùn)用。這里只是介紹了常規(guī)的一些輔助線的作法，具體問(wèn)題要具體分析，要多在實(shí)際問(wèn)題中去操練，才能形成自己的能力。梯形添加輔助線常用方法例析梯形作為特殊的四邊形，在求解時(shí)常常需要轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形等來(lái)解決。于是

4、，梯形添加輔助線的方法就成為同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。為此，筆者根據(jù)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，歸納總結(jié)了一個(gè)梯形添加輔助線方法的口訣，這里介紹給大家并舉例說(shuō)明之。梯形問(wèn)題中，轉(zhuǎn)化很重要，平移對(duì)角線，平移梯形腰，作出梯形高，延長(zhǎng)兩腰來(lái)相交，中位線要想到，一腰中點(diǎn)等積變。例1. 如圖1，已知在梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，求證：ABCD圖1證明：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。因?yàn)镈E/AC，所以。又因?yàn)锳D/BC，所以四邊形ACED為平行四邊形，所以ACDE，又因?yàn)锳CBD，所以BDDE，所以，所以在和中所以所以ABDC例2. 如圖2，已知梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，求證：圖2證明

5、：過(guò)點(diǎn)D作DE/AB，交BC于一點(diǎn)E，因?yàn)锳B/DE，所以。又因?yàn)锳D/BC，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以ABDE，又因?yàn)锳BDC，所以DEDC，所以，所以例3. 如圖3，在梯形ABCD中，AD/BC，AD3，DC6，求梯形的面積S。圖3解：過(guò)點(diǎn)A、D分別作，垂足分別為E、F在中，因?yàn)椋运?，在中，因?yàn)椋訟EBE，因?yàn)锳D/BC，所以四邊形AEFD為矩形，所以，所以，所以例4. 已知，如圖4，在梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，求證：梯形ABCD為軸對(duì)稱圖形。圖4證明：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交BC于G，交AD于F，因?yàn)?，所以。又因?yàn)锳D/BC，所以，因?yàn)?，所以?/p>

6、即EG垂直平分AD、BC。又因?yàn)椋蕴菪蜛BCD關(guān)于EG對(duì)稱，所以梯形ABCD為軸對(duì)稱圖形。例5. 如圖5，已知梯形ABCD中，AD/BC，E為AB的中點(diǎn)，且，求證：圖5證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，因?yàn)镋M為梯形ABCD的中位線所以又因?yàn)椋运詾?，所以?. 如圖6，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N為腰AB、DC的中點(diǎn)，求證：（1）MN/BC；（2）圖6證明：連結(jié)AN并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，因?yàn)?，所以所以，又所以MN是的中位線，所以MN/BC，因?yàn)樗云矫鎺缀问浅踔薪虒W(xué)的重要組成部分，它的基礎(chǔ)知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，又是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)，但許

7、多初中生對(duì)幾何證實(shí)題感到困難，尤其是對(duì)需要添加輔助線的證實(shí)題，往往束手無(wú)策。定義：為了證實(shí)的需要，在原來(lái)圖形上添畫(huà)的線叫做輔助線。        關(guān)于添加輔助線的問(wèn)題，這是初中生學(xué)習(xí)平面幾何難點(diǎn)之一，也是平面幾何教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。但是由于諸多方面的因素的影響，許多學(xué)生在完成幾何作業(yè)或考試答卷中經(jīng)常出現(xiàn)輔助線的作法和敘述上的錯(cuò)誤。例如：如圖，已知O的半徑為5，弦ABCD，AB=6，CD=8。求：AB和CD的距離。這道題的輔助線如圖，可是在作業(yè)中同學(xué)卻出現(xiàn)了如下種種敘述方法：1、作AB和CD的垂線段MN2、過(guò)O點(diǎn)作直線MN垂直A

8、B和CD3、過(guò)O點(diǎn)作AB和CD的垂直平分線MN4、作OMAB，并延長(zhǎng)交CD于N5、連結(jié)AB，CD的中點(diǎn)MN，并使之通過(guò)O點(diǎn)6、連結(jié)MN，使MNAB，MNCD經(jīng)過(guò)分析，幾種敘述方法都是錯(cuò)誤的。而這種種錯(cuò)誤，歸納起來(lái)大致有以下兩個(gè)原因：1、不會(huì)使用幾何作圖的規(guī)范用語(yǔ)；2、違反了幾何作圖的基本要求；3、違反了幾何作圖的基本原則。那么，如何解決同學(xué)們?cè)谧鬏o助線時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題呢？一、注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何語(yǔ)言的表達(dá)能力從學(xué)生的開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何時(shí)就應(yīng)引入和應(yīng)用規(guī)范用語(yǔ)，突出幾何語(yǔ)言，非凡在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)，更就突出作圖規(guī)范用語(yǔ)和練習(xí)，否則就會(huì)出現(xiàn)前文中出現(xiàn)的輔助線作法的敘述上的錯(cuò)誤。下面介紹幾種常用的輔助線的正確敘述

9、方法：連結(jié)：如圖連結(jié)AC、BD交于O點(diǎn)作平行線：如圖：過(guò)D點(diǎn)作DGAE，交BC于G作垂線：如圖分別過(guò)A、D兩點(diǎn)作AEBC，DFBC，垂足分別為E、F延長(zhǎng)：如圖延長(zhǎng)AC交O于F，連結(jié)DF二、加強(qiáng)添加輔助線的教學(xué)與研究關(guān)于添加輔助線的問(wèn)題。這是初中學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的難點(diǎn)之一，要在教學(xué)中循序漸進(jìn)練習(xí)學(xué)生。可以通過(guò)精選例題，讓學(xué)生開(kāi)闊眼界，靈活思路，把握規(guī)律，提高能力。在添輔助線時(shí)，必須使學(xué)生明確輔助線要添得合理，必須符合基本作圖要求。如證實(shí)：“三角形內(nèi)角和定理“。要證實(shí)這個(gè)定理應(yīng)先以CA為一邊，在ABC外部作ACE=BAC，再延長(zhǎng)BC，然后只要證實(shí)ECD=ABC就行了。根據(jù)這樣分析，故先作BC延長(zhǎng)邊

10、CD，并在ABC外部以CA為一邊，CE為另一邊作ACE=BAC，然后即可證BACABCACB=180°。此外還可以讓學(xué)生把握多種方法添輔助線。教學(xué)時(shí)，要注重強(qiáng)調(diào)添加輔助線是手段，而不是目的，它是溝通已知和未知的橋梁，不能見(jiàn)到題目，就無(wú)目的地添加輔助線。一則沒(méi)用、二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問(wèn)題。同時(shí)，還應(yīng)注重常見(jiàn)的輔助線的教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)到許多輔助線的添加是有規(guī)可循的，從而進(jìn)一步提高分析問(wèn)題能力。不斷引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些帶有規(guī)律性結(jié)論，有助于拓寬思路，豐富聯(lián)想，而達(dá)到融會(huì)貫通的目的。教學(xué)時(shí)，要注重強(qiáng)調(diào)添加輔助線強(qiáng)調(diào)一條輔助線只能提供一個(gè)條件。如作高只能提供垂直而不能提供過(guò)中點(diǎn)等

11、。三、注重培養(yǎng)學(xué)生了解幾何問(wèn)題的思考方法，防止添加輔助線的盲目性很多學(xué)生不能夠把握正確的思考方法，經(jīng)常是不著邊際的添加一些不恰當(dāng)?shù)妮o助線，不僅不能有助于解題，反而使圖形復(fù)雜化，影響了對(duì)習(xí)題的解答。怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？仔細(xì)的分析一下，不難發(fā)現(xiàn)，不同的問(wèn)題需要添加不同的輔助線，相同的問(wèn)題思考方法不同，輔助線的添加又不同，所以說(shuō)正確的添加輔助線依靠于問(wèn)題本身對(duì)問(wèn)題有一個(gè)正確的思考方法。因此，學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題的思考方法就顯得很重要了。例如：有這樣一個(gè)習(xí)題，矩形ABCD中，E是DC上的一點(diǎn)，且AE=AB，BFAE于F，求證：EF=EC這個(gè)題目的證實(shí)本身可以不添加輔助線，直接證實(shí)ABFEAD，從而AF=DE

12、，又因?yàn)镈C=AB=AE，即可以得出結(jié)論。但是不同的學(xué)生對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的思考方法不同，因而出現(xiàn)幾種添加輔助線的方法：、驗(yàn)證EF=EC可以它們所在的三角形全等，因而需要將它們構(gòu)建到兩個(gè)全等的三角形中去，所以連接B、E。、驗(yàn)證EF=CE可以證它們是一個(gè)等腰三角形的兩條腰，所以連結(jié)F、C。上述幾種方法有繁有簡(jiǎn)，但都能順利地得出結(jié)論，所以采用不同的思考方法，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題就有了不同的輔助線的添加方法。四、幫助學(xué)生找到添加輔助線的規(guī)律怎樣才能正確地添加輔助線呢？我?guī)椭鷮W(xué)生總結(jié)了以下規(guī)律口訣：人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩

13、邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證實(shí)有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證實(shí)是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓

14、，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓假如碰到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證實(shí)題目少困難。輔助線，是虛線，畫(huà)圖注重勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)把握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，中線處長(zhǎng)加倍看；底角倍半

15、角分線，有時(shí)也作處長(zhǎng)線；線段和差及倍分，延長(zhǎng)截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘；全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦；四邊形、對(duì)角線，比例相似平行線；梯形問(wèn)題好解決，平移腰、作高線；兩腰處長(zhǎng)義一點(diǎn)，亦可平移對(duì)角線；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡邊，作出垂線就解決；實(shí)際問(wèn)題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙；圓中問(wèn)題也不難，下面我們慢慢談；弦心距、要垂弦，碰到直徑周角連；切點(diǎn)圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦；切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解；以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。五、注重總結(jié)常見(jiàn)添加輔助線的方法

16、在平時(shí)的教學(xué)中教會(huì)學(xué)生思考問(wèn)題的方法是極為重要的，總結(jié)一些常見(jiàn)的輔助線的添加辦法也有助于學(xué)生解決問(wèn)題，在幾年的教學(xué)中總結(jié)以下幾點(diǎn)：1、定義類：、和角平分線有關(guān)的問(wèn)題，通?？梢宰鬟@個(gè)角的兩邊的平行線例如：ABC中，AD是BAC的角平分線，與BC交于D，求證：ABAC=BDCD這個(gè)習(xí)題的證實(shí)方法很多，但均離不開(kāi)添加BAC的兩邊的平行線。過(guò)D做DEAC與AB交于E。過(guò)D做DFAB與AC交于F。過(guò)B做BHAC與AD交于H。過(guò)C做CGAB與AD的延長(zhǎng)線交于G。、如遇垂直平分線的問(wèn)題，往往構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)解題例：已知在三角形ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，G為ED的中點(diǎn)，

17、求證：FGED分析：G是ED的中點(diǎn)，要證實(shí)FGED，說(shuō)明FG必為ED的垂直平分線，自然考慮添加輔助線DF與EF，只要證得DF與EF相等，就可利用等腰三角形的三線合一定理推出結(jié)論。、梯形問(wèn)題。梯形沒(méi)有平行四邊形、矩形等非凡四邊形那么多性質(zhì)，所以有關(guān)梯形的證實(shí)、計(jì)算題，常有一定的難度，假如能巧借輔助線，則能有效地化難為易。、移腰、移動(dòng)一腰例1梯形兩底長(zhǎng)分別為14cm和24cm，下底與腰的夾角分別是60°和30°，求較短腰長(zhǎng)。解析：如圖1，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=14cm，BC=24cm，B=60°，C=30°。過(guò)點(diǎn)A作AE/DC交BC于E，得到平

18、行四邊形AECD和ABE，故AE=DC，AD=EC，C=AEB=30°。圖1這樣，梯形的兩腰，兩底之差，下底與腰的兩個(gè)夾角都集中于RtABE中，于是得到較短腰。、移動(dòng)兩腰例2如圖2，梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EFBC。求證：B=C。圖2分析：過(guò)點(diǎn)E作EM/AB，EN/DC，分別交BC于點(diǎn)M、N。梯形兩腰、下底與腰的兩個(gè)夾角集中于EMN中，由E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)輕易得到，又由EFBC，得EM=EN，故EMN=ENM，所以B=C。、移對(duì)角線例3如圖3，已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，對(duì)角線AC、BD互相垂直，梯形的兩底之和為8。求梯形

19、的高與面積。圖3解析：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DMBC于點(diǎn)M，這樣得到平行四邊形ACED，所以AC=DE，AD=CE。由ACBD，得BDDE。這樣將兩對(duì)角線，兩底和，兩對(duì)角線夾角集中于BDE中。輕易得到DM為等腰直角BDE的BE邊上的高，所以，即梯形的高為4，故。、移底例4如圖4，梯形ABCD中，AB/CD，E為腰AD的中點(diǎn)，且AB+CD=BC。求證：BDCE。圖4分析：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，可得DCEAFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BECE。例5如圖5，在梯形ABCD中，AB/CD，且AB>CD

20、，E、F分別是AC和BD的中點(diǎn)。求證：。圖5分析：連接DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，易得AGECDE，故DC=GA，DE=EG，從而得。、作高例6如圖6，在梯形ABCD中，AB/CD，兩條對(duì)角線AC=20cm，BD=15cm，梯形高為12cm，求梯形ABCD的面積。圖6解析：此題有兩種解法。法一：如圖6，分別過(guò)點(diǎn)C、D作CEAB于點(diǎn)E，DFAB于點(diǎn)F，得矩形DCEF，在RtACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，顯然BF+AE=AB+CD=25，可求梯形面積為。法二：如圖7，過(guò)點(diǎn)D作DE/CA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DFBA于點(diǎn)F，在RtDEF中，DE=

21、AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，F(xiàn)B=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，進(jìn)而求得梯形面積為。圖7通過(guò)添加輔助線，將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非凡平行四邊形和非凡三角形問(wèn)題，從而解決問(wèn)題。梯形添加輔助線的規(guī)律可歸納為以下幾點(diǎn)：1、當(dāng)兩腰具備非凡關(guān)系時(shí)，移腰，構(gòu)造等腰三角形或直角三角形。2、當(dāng)涉及面積時(shí)，作高，構(gòu)造直角三角形。3、當(dāng)涉及腰的中點(diǎn)時(shí)，可添加輔助線構(gòu)造全等三角形。4、當(dāng)涉及兩底的和或差時(shí)，可靈活利用上述三點(diǎn)，將兩底移到同一直線上。、涉及到圓的輔助線可以歸納如下：遇有直徑，常把圓上的一個(gè)點(diǎn)和直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連接，構(gòu)成直角三角形；有關(guān)弦的問(wèn)題常做弦

22、心距和將圓心與弦的兩個(gè)端點(diǎn)連接；兩圓相切或相交，則可以按以下規(guī)律進(jìn)行：“相切做條公垂線，相交做條共弦；相切相交連心線，必定過(guò)切點(diǎn)，垂直公共弦”。、和線段的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題往往可以聯(lián)系到三角形和梯形的中位線例如：如圖四邊形ABCD是圓的外切四邊形，其周長(zhǎng)是S，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：4EFS證實(shí)方法：連接AC，N是AC和EF的交點(diǎn)，若N是AC的中點(diǎn)，則EFDCAB，四邊形ABCD是梯形，那么EF是梯形ABCD的中位線，則有4EF=2=AB+BC+CD+DA=S若N不是AC中點(diǎn)則可以做出AC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，則有2EM=DC，2FM=AB，從而可以得出4=2=S，而在三角形EMF中EFEM+MF，可得4EFS。2、暗示類：、截長(zhǎng)補(bǔ)短：一條線段等于另外兩條線段的和差。例如：已知RtABC中，C=90°，AC=BC，AD是BAC的角平分線，求證：AB=BC+CD方法一：截長(zhǎng)，在AB上截取AE等于AC，連接DE從而就有了AEDACD，可得DE=DC，因?yàn)镃=90°，