初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文添加輔助線的方法華東師大版

1、添加輔助線的方法（一） 從圖形考慮1， 在三角形中，已知一條中線，常把延長一倍構(gòu)成全等三角形或平行四邊形，或把一邊延長一倍造中位線，或取另一邊的中點作成中位線。2， 在三角形中，若已知兩條或三條中線時，則常連結(jié)兩個中點作成中位線或延長某一中線到它的三分之一處，使之與重心、兩個頂點構(gòu)成平行四邊形。3， 在等腰三角形中。常引底邊上的高或頂角的平分線；在直角三角形中，則常引斜邊上的中線或高。4， 在梯形中，常過頂點作高或與腰平行的線段；若已知各邊中點，則作中位線。5， 在圓中，常作直徑所對的圓周角，垂直于弦的半徑（或直徑）。過切點的半徑；若兩圓相切，則常作它的公切線和連心線；此外，還可根據(jù)共圓條件作

2、一些輔助圓。（二） 從要證的結(jié)論考慮1， 要證線段的和、差、倍、分或比較大小時，常用延長或截取方法進行等量代換。2， 要證線段、角相等時，常找全等形進行等量代換。3， 要證四條線段成比例時，常作平行線找相似形。4， 要證面積相等時，常平移變換找等積形。（三） 從添輔助線的作用考慮1， 作平行線有利于造成線段、角相等，有利于造成相似形、平行四邊形、全等形、等積形。2， 作垂線有利于造成平行線、直角三角形。3， 作圓有關(guān)線段和角，有利于用圓的有關(guān)性質(zhì)和有關(guān)定理。如何添加輔助線，歸納的方法是很多的，還可用如下的口訣加以記憶；輔助線如何添，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。題中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線

3、，可與兩端把線連。三角形中兩中點，連結(jié)則成中位線。三角形中有中線，則把中線一倍延。成比例，證相似，通常要作平行線。作線原則有一條，證題線段別割斷圓外若有一切線，切點圓心把線連。如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點作切線。兩圓相交于兩點，一般要作公共弦。是直徑、成半圓，想作直角把線連。作等角，添個圓，證明題目少困難。輔助線是虛線，畫圖注意莫改變。輔助線的添法靈活多變，歸納只是一種形式，要靈活掌握，靈活運用。這里只是介紹了常規(guī)的一些輔助線的作法，具體問題要具體分析，要多在實際問題中去操練，才能形成自己的能力。梯形添加輔助線常用方法例析梯形作為特殊的四邊形，在求解時常常需要轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形等來解決。于是

4、，梯形添加輔助線的方法就成為同學(xué)們學(xué)習(xí)時的一個難點。為此，筆者根據(jù)教學(xué)中的經(jīng)驗，歸納總結(jié)了一個梯形添加輔助線方法的口訣，這里介紹給大家并舉例說明之。梯形問題中，轉(zhuǎn)化很重要，平移對角線，平移梯形腰，作出梯形高，延長兩腰來相交，中位線要想到，一腰中點等積變。例1. 如圖1，已知在梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，求證：ABCD圖1證明：過點D作DE/AC，交BC的延長線于點E。因為DE/AC，所以。又因為AD/BC，所以四邊形ACED為平行四邊形，所以ACDE，又因為ACBD，所以BDDE，所以，所以在和中所以所以ABDC例2. 如圖2，已知梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，求證：圖2證明

5、：過點D作DE/AB，交BC于一點E，因為AB/DE，所以。又因為AD/BC，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以ABDE，又因為ABDC，所以DEDC，所以，所以例3. 如圖3，在梯形ABCD中，AD/BC，AD3，DC6，求梯形的面積S。圖3解：過點A、D分別作，垂足分別為E、F在中，因為，所以所以，在中，因為，所以AEBE，因為AD/BC，所以四邊形AEFD為矩形，所以，所以，所以例4. 已知，如圖4，在梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，求證：梯形ABCD為軸對稱圖形。圖4證明：延長BA、CD交于點E，過點E作，交BC于G，交AD于F，因為，所以。又因為AD/BC，所以，因為，所以，

6、即EG垂直平分AD、BC。又因為，所以梯形ABCD關(guān)于EG對稱，所以梯形ABCD為軸對稱圖形。例5. 如圖5，已知梯形ABCD中，AD/BC，E為AB的中點，且，求證：圖5證明：取CD中點M，連結(jié)EM，因為EM為梯形ABCD的中位線所以又因為，所以所以為，所以例6. 如圖6，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N為腰AB、DC的中點，求證：（1）MN/BC；（2）圖6證明：連結(jié)AN并延長，交BC的延長線于點E，因為，所以所以，又所以MN是的中位線，所以MN/BC，因為所以平面幾何是初中教學(xué)的重要組成部分，它的基礎(chǔ)知識在生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，又是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)，但許

7、多初中生對幾何證實題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的證實題，往往束手無策。定義：為了證實的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線。        關(guān)于添加輔助線的問題，這是初中生學(xué)習(xí)平面幾何難點之一，也是平面幾何教學(xué)中的一個重點。但是由于諸多方面的因素的影響，許多學(xué)生在完成幾何作業(yè)或考試答卷中經(jīng)常出現(xiàn)輔助線的作法和敘述上的錯誤。例如：如圖，已知O的半徑為5，弦ABCD，AB=6，CD=8。求：AB和CD的距離。這道題的輔助線如圖，可是在作業(yè)中同學(xué)卻出現(xiàn)了如下種種敘述方法：1、作AB和CD的垂線段MN2、過O點作直線MN垂直A

8、B和CD3、過O點作AB和CD的垂直平分線MN4、作OMAB，并延長交CD于N5、連結(jié)AB，CD的中點MN，并使之通過O點6、連結(jié)MN，使MNAB，MNCD經(jīng)過分析，幾種敘述方法都是錯誤的。而這種種錯誤，歸納起來大致有以下兩個原因：1、不會使用幾何作圖的規(guī)范用語；2、違反了幾何作圖的基本要求；3、違反了幾何作圖的基本原則。那么，如何解決同學(xué)們在作輔助線時出現(xiàn)的問題呢？一、注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何語言的表達能力從學(xué)生的開始學(xué)習(xí)幾何時就應(yīng)引入和應(yīng)用規(guī)范用語，突出幾何語言，非凡在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖時，更就突出作圖規(guī)范用語和練習(xí)，否則就會出現(xiàn)前文中出現(xiàn)的輔助線作法的敘述上的錯誤。下面介紹幾種常用的輔助線的正確敘述

9、方法：連結(jié)：如圖連結(jié)AC、BD交于O點作平行線：如圖：過D點作DGAE，交BC于G作垂線：如圖分別過A、D兩點作AEBC，DFBC，垂足分別為E、F延長：如圖延長AC交O于F，連結(jié)DF二、加強添加輔助線的教學(xué)與研究關(guān)于添加輔助線的問題。這是初中學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的難點之一，要在教學(xué)中循序漸進練習(xí)學(xué)生?？梢酝ㄟ^精選例題，讓學(xué)生開闊眼界，靈活思路，把握規(guī)律，提高能力。在添輔助線時，必須使學(xué)生明確輔助線要添得合理，必須符合基本作圖要求。如證實：“三角形內(nèi)角和定理“。要證實這個定理應(yīng)先以CA為一邊，在ABC外部作ACE=BAC，再延長BC，然后只要證實ECD=ABC就行了。根據(jù)這樣分析，故先作BC延長邊

10、CD，并在ABC外部以CA為一邊，CE為另一邊作ACE=BAC，然后即可證BACABCACB=180°。此外還可以讓學(xué)生把握多種方法添輔助線。教學(xué)時，要注重強調(diào)添加輔助線是手段，而不是目的，它是溝通已知和未知的橋梁，不能見到題目，就無目的地添加輔助線。一則沒用、二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問題。同時，還應(yīng)注重常見的輔助線的教學(xué)，使學(xué)生體會到許多輔助線的添加是有規(guī)可循的，從而進一步提高分析問題能力。不斷引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些帶有規(guī)律性結(jié)論，有助于拓寬思路，豐富聯(lián)想，而達到融會貫通的目的。教學(xué)時，要注重強調(diào)添加輔助線強調(diào)一條輔助線只能提供一個條件。如作高只能提供垂直而不能提供過中點等

11、。三、注重培養(yǎng)學(xué)生了解幾何問題的思考方法，防止添加輔助線的盲目性很多學(xué)生不能夠把握正確的思考方法，經(jīng)常是不著邊際的添加一些不恰當(dāng)?shù)妮o助線，不僅不能有助于解題，反而使圖形復(fù)雜化，影響了對習(xí)題的解答。怎樣解決這個問題呢？仔細的分析一下，不難發(fā)現(xiàn)，不同的問題需要添加不同的輔助線，相同的問題思考方法不同，輔助線的添加又不同，所以說正確的添加輔助線依靠于問題本身對問題有一個正確的思考方法。因此，學(xué)生對一些問題的思考方法就顯得很重要了。例如：有這樣一個習(xí)題，矩形ABCD中，E是DC上的一點，且AE=AB，BFAE于F，求證：EF=EC這個題目的證實本身可以不添加輔助線，直接證實ABFEAD，從而AF=DE

12、，又因為DC=AB=AE，即可以得出結(jié)論。但是不同的學(xué)生對同一個問題的思考方法不同，因而出現(xiàn)幾種添加輔助線的方法：、驗證EF=EC可以它們所在的三角形全等，因而需要將它們構(gòu)建到兩個全等的三角形中去，所以連接B、E。、驗證EF=CE可以證它們是一個等腰三角形的兩條腰，所以連結(jié)F、C。上述幾種方法有繁有簡，但都能順利地得出結(jié)論，所以采用不同的思考方法，對同一個問題就有了不同的輔助線的添加方法。四、幫助學(xué)生找到添加輔助線的規(guī)律怎樣才能正確地添加輔助線呢？我?guī)椭鷮W(xué)生總結(jié)了以下規(guī)律口訣：人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線，可向兩

13、邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證實有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證實是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓

14、，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓假如碰到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證實題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注重勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。基本作圖很關(guān)鍵，平時把握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點、作中線，中線處長加倍看；底角倍半

15、角分線，有時也作處長線；線段和差及倍分，延長截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘；全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦；四邊形、對角線，比例相似平行線；梯形問題好解決，平移腰、作高線；兩腰處長義一點，亦可平移對角線；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡邊，作出垂線就解決；實際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙；圓中問題也不難，下面我們慢慢談；弦心距、要垂弦，碰到直徑周角連；切點圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦；切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解；以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。五、注重總結(jié)常見添加輔助線的方法

16、在平時的教學(xué)中教會學(xué)生思考問題的方法是極為重要的，總結(jié)一些常見的輔助線的添加辦法也有助于學(xué)生解決問題，在幾年的教學(xué)中總結(jié)以下幾點：1、定義類：、和角平分線有關(guān)的問題，通?？梢宰鬟@個角的兩邊的平行線例如：ABC中，AD是BAC的角平分線，與BC交于D，求證：ABAC=BDCD這個習(xí)題的證實方法很多，但均離不開添加BAC的兩邊的平行線。過D做DEAC與AB交于E。過D做DFAB與AC交于F。過B做BHAC與AD交于H。過C做CGAB與AD的延長線交于G。、如遇垂直平分線的問題，往往構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)解題例：已知在三角形ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，G為ED的中點，

17、求證：FGED分析：G是ED的中點，要證實FGED，說明FG必為ED的垂直平分線，自然考慮添加輔助線DF與EF，只要證得DF與EF相等，就可利用等腰三角形的三線合一定理推出結(jié)論。、梯形問題。梯形沒有平行四邊形、矩形等非凡四邊形那么多性質(zhì)，所以有關(guān)梯形的證實、計算題，常有一定的難度，假如能巧借輔助線，則能有效地化難為易。、移腰、移動一腰例1梯形兩底長分別為14cm和24cm，下底與腰的夾角分別是60°和30°，求較短腰長。解析：如圖1，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=14cm，BC=24cm，B=60°，C=30°。過點A作AE/DC交BC于E，得到平

18、行四邊形AECD和ABE，故AE=DC，AD=EC，C=AEB=30°。圖1這樣，梯形的兩腰，兩底之差，下底與腰的兩個夾角都集中于RtABE中，于是得到較短腰。、移動兩腰例2如圖2，梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是AD、BC的中點，且EFBC。求證：B=C。圖2分析：過點E作EM/AB，EN/DC，分別交BC于點M、N。梯形兩腰、下底與腰的兩個夾角集中于EMN中，由E、F分別是AD、BC的中點輕易得到，又由EFBC，得EM=EN，故EMN=ENM，所以B=C。、移對角線例3如圖3，已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，對角線AC、BD互相垂直，梯形的兩底之和為8。求梯形

19、的高與面積。圖3解析：過點D作DE/AC交BC的延長線于點E，過點D作DMBC于點M，這樣得到平行四邊形ACED，所以AC=DE，AD=CE。由ACBD，得BDDE。這樣將兩對角線，兩底和，兩對角線夾角集中于BDE中。輕易得到DM為等腰直角BDE的BE邊上的高，所以，即梯形的高為4，故。、移底例4如圖4，梯形ABCD中，AB/CD，E為腰AD的中點，且AB+CD=BC。求證：BDCE。圖4分析：延長CE交BA的延長線于點F，因為點E為AD的中點，可得DCEAFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BECE。例5如圖5，在梯形ABCD中，AB/CD，且AB>CD

20、，E、F分別是AC和BD的中點。求證：。圖5分析：連接DE并延長交AB于點G，易得AGECDE，故DC=GA，DE=EG，從而得。、作高例6如圖6，在梯形ABCD中，AB/CD，兩條對角線AC=20cm，BD=15cm，梯形高為12cm，求梯形ABCD的面積。圖6解析：此題有兩種解法。法一：如圖6，分別過點C、D作CEAB于點E，DFAB于點F，得矩形DCEF，在RtACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，顯然BF+AE=AB+CD=25，可求梯形面積為。法二：如圖7，過點D作DE/CA交BA的延長線于點E，過點D作DFBA于點F，在RtDEF中，DE=

21、AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，F(xiàn)B=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，進而求得梯形面積為。圖7通過添加輔助線，將梯形問題轉(zhuǎn)化為非凡平行四邊形和非凡三角形問題，從而解決問題。梯形添加輔助線的規(guī)律可歸納為以下幾點：1、當(dāng)兩腰具備非凡關(guān)系時，移腰，構(gòu)造等腰三角形或直角三角形。2、當(dāng)涉及面積時，作高，構(gòu)造直角三角形。3、當(dāng)涉及腰的中點時，可添加輔助線構(gòu)造全等三角形。4、當(dāng)涉及兩底的和或差時，可靈活利用上述三點，將兩底移到同一直線上。、涉及到圓的輔助線可以歸納如下：遇有直徑，常把圓上的一個點和直徑的兩個端點連接，構(gòu)成直角三角形；有關(guān)弦的問題常做弦

22、心距和將圓心與弦的兩個端點連接；兩圓相切或相交，則可以按以下規(guī)律進行：“相切做條公垂線，相交做條共弦；相切相交連心線，必定過切點，垂直公共弦”。、和線段的中點有關(guān)的問題往往可以聯(lián)系到三角形和梯形的中位線例如：如圖四邊形ABCD是圓的外切四邊形，其周長是S，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，求證：4EFS證實方法：連接AC，N是AC和EF的交點，若N是AC的中點，則EFDCAB，四邊形ABCD是梯形，那么EF是梯形ABCD的中位線，則有4EF=2=AB+BC+CD+DA=S若N不是AC中點則可以做出AC的中點M，連接EM，F(xiàn)M，則有2EM=DC，2FM=AB，從而可以得出4=2=S，而在三角形EMF中EFEM+MF，可得4EFS。2、暗示類：、截長補短：一條線段等于另外兩條線段的和差。例如：已知RtABC中，C=90°，AC=BC，AD是BAC的角平分線，求證：AB=BC+CD方法一：截長，在AB上截取AE等于AC，連接DE從而就有了AEDACD，可得DE=DC，因為C=90°，