概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程第二章練習(xí)題及解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程第二章練習(xí)題及解答一、判斷題（在每題后的括號(hào)中 對(duì)的打“”錯(cuò)的打“×” ） 1、連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)也一定是連續(xù)函數(shù) （×）2、隨機(jī)變量X是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù) （）3、取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)的隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量 （）4、離散型隨機(jī)變量X的分布律就是X的取值和X取值的概率 （）5、隨機(jī)變量X的分布函數(shù)表示隨機(jī)變量X取值不超過x的累積概率（）6、一個(gè)隨機(jī)變量，如果它不是離散型的那一定是連續(xù)型的 （×）7、我們將隨機(jī)變量分成離散型和連續(xù)型兩類 （×）8、若成立，則相互獨(dú)立 （×）9、若相互獨(dú)立，則必

2、有 （）二、單選題1、設(shè)是隨機(jī)變量，且，則（ A ）AB. C. D. 2、設(shè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（ D ）A、B、C、D、3、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，且，是的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（ B ）A、B、C、 D、分析 ，選B4、設(shè)與分別為隨機(jī)變量與的分布函數(shù)，為使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取（ A ）A、 B、C、 D、分析 根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，即在給的四個(gè)選項(xiàng)中只有A滿足，選A5、設(shè)和是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為和，分布函數(shù)分別為和，則（ D ）A、必為某一隨機(jī)變量的概率密度B、必為某一隨機(jī)變量的概率密度C、必為

3、某一隨機(jī)變量的分布密度 D、必為某一隨機(jī)變量的分布密度分析 首先可否定選項(xiàng)A與C，因?yàn)閷?duì)于選項(xiàng)B，若，則對(duì)任何 ，也應(yīng)否定C。選D進(jìn)一步分析可知，若令，而，則的分布函數(shù)恰是，因?yàn)?、設(shè)隨機(jī)變量與均服從正態(tài)分布，記，則（ A ）A、對(duì)任何實(shí)數(shù)都有 B、對(duì)任何實(shí)數(shù)都有C、只有的個(gè)別值，才有 D、對(duì)任何實(shí)數(shù)都有分析 因此，對(duì)任何實(shí)數(shù)都有。選A7、設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則隨的增大，概率（ C ）A、單調(diào)增大 B、單調(diào)減少 C、保持不變 D、增減不定分析 由于，故， 計(jì)算看出概率的值與的大小無關(guān)。選C8、設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，對(duì)給定的，數(shù)滿足。若，則等于（ C ）A、 B、 C、 D、分析 由于，故

4、對(duì)任何正數(shù)，有，若，則因，必有且由此可見。選C9、假設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)（ D ）A、是連續(xù)函數(shù) B、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn) C、是階梯函數(shù) D、恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)分析 設(shè)的分布函數(shù)為，的概率密度函數(shù)為由于，因此因?yàn)?，所以的分布函?shù)為恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)。選D三、填空題1、在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為5/92、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的概率分布為（ ）分析 在的分布函數(shù)的各間斷點(diǎn)處，有則 ，因此的概率分布為-1130.40.40.23、設(shè)隨機(jī)變量概率密度為，若使得，則的取值范圍是（ ）分析 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的取值范圍是。4、設(shè)隨機(jī)變量概

5、率密度為，以表示對(duì)的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則（ ）分析 由于，故，于是5、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，若，則（ ）分析 因?yàn)椋?解方程，得，因此6、離散型隨機(jī)變量是從（取值）角度定義的，連續(xù)型隨機(jī)變量是從（概率）角度定義的。四、計(jì)算題1、（1）一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律（2）將骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)。求X的分布律。解：(1) X的可能取值為3，4，5;X的分布律為X3 4 5P ，。(2)設(shè)分別表示第一、二次擲出的點(diǎn)數(shù)，樣本空間為

6、，的可能取值為1，2，3，4，5，6。X的分布律為 。事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)且共有6-k種情況；且共有6-k種情況；且僅一種情況，之一發(fā)生，因此事件包含6-k+6-k+1個(gè)樣本點(diǎn)。2、一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻，（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？解：以X表示同一時(shí)刻被使用的設(shè)備個(gè)數(shù)，則b(5,0.1)，（1）（2）（3）（4）3、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7，今各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相

7、等的概率。（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。解：設(shè)X，Y分別表示甲、乙投中的次數(shù)，則 Xb(3,0.6)，Yb(3,0.7)（1）4、某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)為X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)為記）。（1）求某天中午12時(shí)至下午3時(shí)未收到緊急呼救的概率。（2）求某天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率。解：由題知，X，且，（1），所求概率為；（2），所求概率為。5、在區(qū)間0，a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0，a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例。試求X的分布函數(shù)。解：X的分布函數(shù)為

8、，（1）當(dāng) 時(shí)，； 由題知 是常數(shù)，為了確定，取 ，得，因此， （2）當(dāng) 時(shí)，； （3）當(dāng) 時(shí)，；于是 。6、以X表示某商店從早晨開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘。解：（1）P至多3分鐘=；（2）P 至少4分鐘=；（3）P3分鐘至4分鐘之間=；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘=；（5）P恰好2.5分鐘=。7、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形。解：（1）X的分布函

9、數(shù)為（2）X的分布函數(shù)為8、設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率.解：方程有實(shí)根，即有 ，解得 ，由題知，KU(0，5),且 ,方程有實(shí)根的概率為.9、設(shè)XN（3，22）（1）求P 2<X5，P 4<X10，P|X|>2，P X>3（2）決定c使得P X > c =P X c 。（3）設(shè)d滿足P X > d 0.9，問d至少為多少？解：因?yàn)閄N（3，22）（1）；。（2）由，得，即有，于是 。（3）由，有因?yàn)楦怕史植己瘮?shù)是單調(diào)不減函數(shù)，所以，因此，。10、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍

10、10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？解：由題知，XN（10.05，0.062）, 螺栓不合格的概率為11、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為： X-2 -1 0 1 3 P1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X 2的分布律。解：Y=X 2的分布律為Y0 1 4 9 P1/5 7/30 1/5 11/3012、設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的概率密度；（2）求Y=2lnX的概率密度。解：X的概率密度為 ，（1）求Y=eX的概率密度，因?yàn)?，又 所以 。（2）求Y=2lnX的概率密度，因?yàn)樗?3、設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度