《高等數(shù)學教學》201x-1 第四節(jié) 重積分應(yīng)用

1、編輯ppt、例例3.:,)(22222azyxdxdydzzyxI 其其中中計計算算解解 dxdydzzyxI2)( dxdydzyzxzxyzyx )222(222 dxdydzyzxzxydxdydzzyx)222()(222 dxdydzxzxydxdydzzyx)22()(222;2 yzdxdydz,)(222 ,是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于面面對對稱稱關(guān)關(guān)于于xzyxxzxyyoz ;0)22( dxdydzxzxy,2 ,是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于面面對對稱稱關(guān)關(guān)于于yyzxoz 02 yzdxdydz ddddxdydzzyxIa202020222sin)( .2255455aa 編

2、輯ppt、例例4解解.1,)(2222222222222所所圍圍成成的的立立體體區(qū)區(qū)域域由由是是其其中中計計算算三三重重積積分分 czbyaxczbyaxdxdydz;cossinsincossin czbyax由由廣廣義義球球面面坐坐標標變變換換.sin),(),(2 abczyxJ dddabcdxdydzczbyaxsin)(242222222 dddabc 106020sin.74abc cossinsincossinwvu cwzbvyaux. 10;0;20 1222 wvu1222222 czbyax 編輯ppt第四節(jié)、重積分應(yīng)用第四節(jié)、重積分應(yīng)用一、幾何應(yīng)用一、幾何應(yīng)用、例例1

3、.22所所圍圍立立體體的的體體積積與與求求由由曲曲面面yxzyxz 解解02222 yxyxzyxzyxz消消去去.)()()(222221221 yx.)()()(:222221221 yxDxoy面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在 yxyxDdzdxdydxdydzV22 dxdyyxyxD)(22 DDdxdyyxdxdyyxyx)()()(2212212122rJrDryrx 222121020:sincos: 令令.)(8122202120 rdrrdV編輯ppt 重積分應(yīng)用重積分應(yīng)用 2 、 曲面面積曲面面積 dyxfyxfdAyx),(),(122 DyxDdyxfyxfdAA ),(

4、),(122)1),(),(cos),(),(:yxfyxfnddADyxyxfzyxxy ),(),(11cos22yxfyxfznyx 軸軸正正向向的的夾夾角角為為與與的的切切平平面面的的部部分分在在點點黃黃顏顏色色小小平平面面是是曲曲面面),(zyxP 編輯ppt:曲面面積計算公式曲面面積計算公式,),(),(:)1(xyDyxyxfz 、假假設(shè)設(shè)曲曲面面;)()(122 xyDyzxzdxdyA:,),(的的面面積積為為則則曲曲面面具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) yxf,),(),(:)2(xzDzxzxfy 、假假設(shè)設(shè)曲曲面面;)()(122dxdzAxzDzyxy :,),(的的面面

5、積積為為則則曲曲面面具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) zxf,),(),(:)3(yzDzyzyfx 、假假設(shè)設(shè)曲曲面面.)()(122dydzAyzDzxyx :,),(的的面面積積為為則則曲曲面面具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) zyf編輯ppt、例例2.2222的的表表面面積積求求球球面面azyx 解解222222:),( ,:ayxDDyxyxazxyxy 由由對對稱稱性性考考慮慮上上半半球球面面 dxdydxdyzzdSyxayyxaxyx22222222)()(11222222 dxdyyxayyxax222222221dxdyyxaa222 2222222ayxyxaadxdyA所所求求

6、球球面面積積 arardrda020222 ararada0)(22222 araa0222121)(112 .4)0(42aaa 編輯ppt、例例3.,)0(2222大大在在定定球球面面內(nèi)內(nèi)部部的的面面積積最最球球面面取取何何值值時時問問上上的的球球心心在在定定球球面面的的球球面面設(shè)設(shè)半半徑徑為為 RaazyxR解解)1(,:224222222aRRyxyxRaz )1()(20 ,)(:224222222222222222aRzRyxRazyxazyxaRRazyx 消消去去的的方方程程為為曲曲面面:的的方方程程為為所所求求曲曲面面 編輯ppt)1(,:224222222aRRyxyxRa

7、z 的的方方程程為為所所求求曲曲面面 )1(222422221)(:aRRyxyxdxdyzzRA的的面面積積為為 )1(222242222aRRyxyxRRdxdy )1(222242222aRRyxyxRRdxdy 242102220aRRrRRrdrd 22410222aRRrRR )(2223aRR aRRRAaR20)(2)(223 )(0,0)1(4)2(23443232舍舍去去 RRRRRAaaRaR .,)(342273234在在定定球球面面上上的的面面積積最最大大球球面面時時所所以以當當且且駐駐點點唯唯一一面面積積一一定定存存在在因因為為該該實實際際問問題題的的最最大大得得

8、aRaaA ),(3032011星星期期三三第第六六周周日日月月年年編輯ppt.),.,3 , 2 , 1(),(,的的質(zhì)質(zhì)點點系系坐坐標標為為質(zhì)質(zhì)量量為為niyxmiii niiniiixniiniiiymmyMMymmxMMx1111:),()(則則的的坐坐標標質(zhì)質(zhì)點點系系重重心心點點yx 編輯ppt.),(),(,),(),(:),(,),(, DDxDDydxdyyxdxdyyxyMMydxdyyxdxdyyxxMMxyxDyxD 為為則則重重心心坐坐標標上上連連續(xù)續(xù)在在且且面面密密度度設(shè)設(shè)平平面面薄薄片片所所在在區(qū)區(qū)域域為為二、重心坐標二、重心坐標.,:),( ,的的面面積積是是區(qū)區(qū)

9、域域為為重重心心坐坐標標稱稱為為形形心心坐坐標標當當密密度度均均勻勻時時DdxdydxdyydxdyMMydxdyxdxdyMMxyxDDDxDDy 編輯ppt.;,),(,)(),(),(,),(),(,),(),(:),(,),(,的的體體積積是是重重心心坐坐標標為為形形心心坐坐標標時時均均勻勻分分布布為為常常數(shù)數(shù)當當密密度度為為則則重重心心坐坐標標連連續(xù)續(xù)密密度度為為若若空空間間立立體體所所占占位位置置為為 dvdvzdvzdvydvydvxdvxzyxdvzyxdvzyxzzdvzyxdvzyxyydvzyxdvzyxxxzyxzyx 編輯ppt、例例4).(sin4,sin2形形心心

10、之之間間均均勻勻薄薄片片的的重重心心求求介介于于兩兩圓圓 rr解解;0:)( x形形心心的的橫橫坐坐標標知知見見圖圖由由對對稱稱性性 DDdxdyydxdyy 4Dydxdy drrd sin4sin220sin31 04sin956d37221432956 )., 0(:37M形形心心坐坐標標為為), 0(37M編輯ppt、例例5.:,)(22yxyxDdxdyyxD 其其中中計計算算解解21221221)()(: yxD).,(:2121MD的的形形心心坐坐標標為為 DDDydxdyxdxdydxdyyx)()()(DAyDAx .2221221 )(,)(2 DADDA的的面面積積為為編

11、輯ppt三、其他應(yīng)三、其他應(yīng)用用)(.2的的距距離離到到直直線線是是質(zhì)質(zhì)點點轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量的的的的質(zhì)質(zhì)點點繞繞直直線線質(zhì)質(zhì)量量為為lmdmdIlml ),(),()(;),(;),(:,2222的的面面密密度度是是分分別別為為軸軸以以及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸繞繞平平面面區(qū)區(qū)域域DyxIIIdxdyyxyxIdxdyyxxIdxdyyxyIyxDyxoDoDyDx 編輯ppt),()(),()(),()(),()(),()(:,212220222222的的體體密密度度是是分分別別為為軸軸以以及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸軸軸繞繞空空間間區(qū)區(qū)域域 yyxIIIIdxdydzzy

12、xzyxIdxdydzzyxyxIdxdydzzyxzxIdxdydzzyxzyIzyxzyxozyx 編輯ppt三三、其其他他應(yīng)應(yīng)用用、例例6.徑徑邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量的的均均勻勻半半圓圓薄薄片片對對于于直直求求半半徑徑為為 a解解:所所以以所所求求轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量0,:,222 yayxDD面區(qū)域為面區(qū)域為設(shè)均勻半圓薄片所占平設(shè)均勻半圓薄片所占平 adrrdd02300sin DxdxdyyI2 .)21(2為為均均勻勻半半圓圓薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量其其中中 aM 244124Maa 編輯ppt、例例7.).3(;).2(;).1(),0()0(2222軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量求求該該球

13、球體體關(guān)關(guān)于于求求該該球球體體的的重重心心坐坐標標求求該該球球體體的的質(zhì)質(zhì)量量則則比比例例系系數(shù)數(shù)為為離離成成反反比比與與坐坐標標原原點點到到該該點點的的距距上上各各點點的的密密度度假假設(shè)設(shè)球球體體zkaazzyx ).1 (解解,),(222zyxkzyx 的的體體密密度度球球體體 dxdydzzyxM),(質(zhì)質(zhì)量量 dxdydzzyxk222drrddkar2cos2012020sin cos202020sinardrddk drkacos2022120sin2 2022cossin4 dak.cos342033422 kaka ; 0),(),(),(1 dxdydzzyxxdxdydz

14、zyxdxdydzzyxxxM :).2(求求該該球球體體的的重重心心坐坐標標; 0),(),(),(1 dxdydzzyxydxdydzzyxdxdydzzyxyyM ),(奇奇函函數(shù)數(shù)對對稱稱面面關(guān)關(guān)于于xyoz ),(奇奇函函數(shù)數(shù)對對稱稱面面關(guān)關(guān)于于yxoz dxdydzzyxzdxdydzzyxdxdydzzyxzzM),(),(),(1 編輯ppt,2222rzyx 2222sinryx drrddkIarrz2cos20sin202022sin drrdka cos203203sin2 20cos204413)(sin2 drka 20434cossin8 dka 20424cos

15、cossin8 dka 20424coscos)cos1(8 dka.35164 ka )(8coscoscoscos8715142020644kaddka .).3(zIz軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量求求該該球球體體關(guān)關(guān)于于dxdydzzyxyxIz),()(22 ;22222)(dxdydzzyxyxk dxdydzzyxzdxdydzzyxdxdydzzyxzzM),(),(),(1 dxdydzzyxkzka222243 cos2021202043cossin2aradrrrdd 204202cossin ddaaada54512202055122)()(cos ), 0 , 0(:54a

16、重重心心坐坐標標為為),(142011星星期期五五第第六六周周日日月月年年編輯ppt、含含參參變變量量的的積積分分第第五五節(jié)節(jié) 、定定理理1.,),()(,)(,)(:)(),(,:),()()(上上連連續(xù)續(xù)在在則則函函數(shù)數(shù)滿滿足足連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)在在矩矩形形區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)badyyxfxdxcdxcxxdycbxaDyxfxx )(2 萊萊布布尼尼茲茲公公式式、定定理理).()(,()()(,(),()(,),()(,)(,)(:)(),(,:),(),()()()()(xxxfxxxfdyyxfxbadyyxfxbaxdxcdxcxxdycbxaDyxfyxfxxxxxx 并并且且上上可可微微在在則則函函數(shù)數(shù)滿滿足足可可微微函函數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)在在矩矩形形區(qū)區(qū)域域及及其其偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)若若函函數(shù)數(shù)編輯ppt、例例1).(,)sin()(2xdyyx