第三節(jié) 函數項級數的一致收斂性

1、第三節(jié)函數項級數的一致收斂性本節(jié)將討論函數項級數有關性質。定義 1 設 ，是集合E上的函數列，我們稱形為 +為E上的函數項級數，簡記為 。其中稱為第n項.+也記為. 記號中n可以用其它字母代之. 同研究常數項級數一樣，我們類似可以定義其收斂性。定義 2 設是集合E上的函數項級數，記=+，它稱為級數的部分和函數（嚴格地說是前n 項部分和函數）. 稱為的部分和函數列。如果在點收斂，我們也說在點收斂或稱為該級數的收斂點。如果在點收斂，我們稱在點絕對收斂。非常容易證明絕對收斂一定收斂。的收斂域也稱為該級數的收斂域。如果在點不收斂，我們說在點發(fā)散。如果在D上點態(tài)收斂于，我們稱在D上點態(tài)收斂于. 稱為該級

2、數的的和函數。稱為該級數關于前n 項部分和的余項. 稱為該級數的余項函數列. 如果在D上一致收斂于，我們稱在D上一致收斂于，或在D上一致收斂. 如果在D上內閉一致收斂于，我們稱在D上內閉一致收斂.用的進行敘述將是： 設是D上函數項級數，是D上函數。 若對任意>0，總存在一個正數正數N（只能依賴于，絕對不依賴于x），當時，對一切的，總有，則稱該函數項級數在D上一致收斂于. 同樣一致收斂一定點態(tài)收斂.例 1 定義在（，+）上的函數項級數（幾何級數）的部分和函數是 .顯然當|x|<1時 .時，幾何級數是發(fā)散的。其收斂域是（1，1）. 顯然幾何級數在（1，1）上不是一致收斂的. 函數列的有

3、關結論，都可以不加證明地推廣到函數項級數.定理11. 8 （函數項級數一致收斂Cauchy準則）函數項級數在集合D上一致收斂的充分必要條件是： 對任意>0,總存在正數N，使得當正整數m，n，有 m>n>N時，對一切的xD,都有 。 .推論 在D上一致收斂的必要條件是在D上一致收斂于0。 反之未必（請讀者舉例）.定理11. 9 在D上一致收斂的充分必要條件是其余項函數列一致收斂于0. 定理11. 10 （Weierstrass判別法）設是收斂的正項級數，是D上的函數項級數。如果，則在D上一致收斂。證明 因正項級數收斂，所以，任意>0，存在正數N, 當 (m>n) 時

4、,.那么對任意 ，由Cauchy準則，得證。例 在（，+）上一致收斂。定理11. 11 （Abel判別法）設函數項級數在D上一致收斂，函數列在D上一致有界，即存在常數M, 使得，如果關于n是單調的，那么 在D上一致收斂。證明 因一致收斂，所以任意>0，存在正數N, 當 (m>n) 時,對所有 。又 .由一致收斂Cauchy準則即證。定理11. 12 （Dirichlet判別法）設D上函數項級數的部分和函數列在D上一致有界，函數列在D上一致收斂于0，如果關于n是單調的，那么 在D上一致收斂。證明 因的部分和函數列在D上一致有界, 所以存在M>0,使得滿足, 所以 . 又在D上一

5、致收斂于0，所以任意>0，存在正數N, 當 時, 對所有。當 (m>n) 時, 對所有 .又由Cauchy一致收斂準則即證。 例 如果常數列單調收斂于0，那么在（0，2）上內閉一致收斂。證明 數列收斂于0意味著關于x一致收斂于0，對任意（0，2）的子集a, b,當記 M=min >0, 則任意a, b中的x，有 .所以 .由Dirichlet判別法知道，原級數在（0，2）上內閉一致收斂. 下面將給出與函數列相應的一些性質，不于證明：定理11. 13 （連續(xù)性）若函數函數項級數的每一項在區(qū)域D上都連續(xù)。如果在D上一致收斂于，則其和函數在D上也連續(xù)。即.定理11. 14 （逐項可

6、積性）設函數列在上一致收斂，每一項在上都連續(xù), 則 .即積分與無限求和運算可交換。定理11.15 （逐項可微性）設函數列在上滿足：（1） 有連續(xù)導函數；（2）點態(tài)收斂于；（3）一致收斂于，則在上可導，并且 ，即 . 也就是說在一定條件下，求導運算與無限求和運算交換順序。定理11. 16 設函數項級數 在區(qū)域D上點態(tài)收斂于，如果 （1） 在 D上連續(xù)；（2）在D上連續(xù)；（3）對D上每個固定的x， 不變號，則 在D上一致收斂于.習題 11-31. 判別下列級數的一致收斂性1） ； 2）3） 4）；2. 設在(0, 1 )里單調增加, 0, (n=1,2,). 如果在 (0, 1 )里點態(tài)收斂,且有上界, 那么在(0, 1 )里一致收斂. 且 3. 證明 當x 整數時收斂, 其和函數是為1的周期函數, 并且當x 整數時, 和函數連續(xù).4. 設在a, b上連續(xù)(n=1,2,), 在 (a, b1 )里一致收斂, 證明在a, b 上一致收斂. 5. 設是(0, 1)中的兩兩不同的數列,