圓錐曲線的光學性質(zhì)

1、圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用說課黃石二中 葉濟宇數(shù)學源于現(xiàn)實，通過現(xiàn)實世界的模型提出問題，可以激發(fā)學生探求客觀世界的積極性，在舊知識點上提出新的問題，能激活學生頭腦中的舊知識，調(diào)動學生主動學習的心理傾向。 弗賴登塔爾一、教材分析：1、教材的地位和作用：根據(jù)新課程標準的要求，新教材對于教學內(nèi)容的安排與舊教材不同，不僅安排了研究性課程的內(nèi)容，而且還適當?shù)拇┎辶?1個閱讀材料，目的是為了擴大學生的視野，豐富學生的課程資源。本課題出現(xiàn)在高中數(shù)學第二冊第八章第六節(jié)后的閱讀材料中，既是對圓錐曲線初步知識的一個完善，又是對圓錐曲線系統(tǒng)知識的一個延伸與拓展，集中反映了三種圓錐曲線的光學性質(zhì)。通過圓錐曲線光學性質(zhì)

2、的研究對培養(yǎng)學生探究和解決問題的能力具有良好的訓練價值，而且把物理學和數(shù)學有機結(jié)合起來了，體現(xiàn)了數(shù)學與其它自然科學的統(tǒng)一和諧之美。2、教學重難點：重點：圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用的探究和拓展難點：圓錐曲線的光學性質(zhì)的探究過程和方法二、學情分析：1、知識結(jié)構(gòu)：本節(jié)課的教學對象是高二學生，他們已經(jīng)學過了圓錐曲線的基本知識，對物理學中光傳播的基本原理也有所了解 2、思維水平：學生已經(jīng)具備了解析幾何中的一些簡單計算和證明的能力，但是對于解決實際數(shù)學模型的能力還不夠；由單元化向系列化解決問題的過渡還有些困難 3、心理水平：學生對于探究性學習還不甚了解，對于高中數(shù)學應用問題有些畏難心理 三、教學目標：本次

3、課程強調(diào)對所學知識、技能的實際運用，注重學習的過程和學習的實踐與體驗，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)和心理特征，制定如下教學目標：1、知識目標：圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用的探究與拓展2、能力目標：通過對圓錐曲線的光學性質(zhì)的研究和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力；培養(yǎng)學生用所學的數(shù)學知識去研究解決生活中的實際問題的能力；培養(yǎng)學生收集、分析和利用信息的能力；培養(yǎng)學生的獨立探究能力和數(shù)學建模能力，提高學生的思維水平。 3、德育目標：以圓錐曲線的光學性質(zhì)的探索為載體，培養(yǎng)學生分享與合作的團隊精神，認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索的科學精神。培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用意識，使學生認識到數(shù)學

4、源于生活，又服務于生活，培養(yǎng)學生辯證唯物主義世界觀 。四、教法、學法分析：由于這是一個閱讀材料，要想學生真正成為研究的主體，必須引導學生身臨其境，發(fā)揮其主動作用。同時由于本節(jié)課題是閱讀材料，從而對探究的內(nèi)容與范疇沒有嚴格的限制，對知識的跨度也沒有嚴格的約束，允許學生自由的拓展自己的思維空間。 1.教學方法：啟發(fā)探索法和引導討論法相結(jié)合我本節(jié)課的設計思路為：創(chuàng)設問題情景、切入課題探求解決問題的方法得出科學結(jié)論發(fā)展、運用知識教法重在引導、啟發(fā)、點撥、激勵、拓展；始終注重灌輸以人為本的教育理念。通過這樣的教法可以充分調(diào)動學生學習的主動性、積極性，開拓了學生的視野，同時培養(yǎng)了學生的自主學習、動手探究的

5、能力。2.教學手段：采用多媒體和自制教具輔助教學使用多媒體和自制教具輔助教學，變靜為動，由平面幾何圖形聯(lián)系到日常生活中的實物，由抽象到直觀，由教師操作到師生互動，打破學生思維上的被動，突破教學難點，培養(yǎng)學生的數(shù)學情操。 3.學法指導：體驗合作交流自主探究發(fā)展運用五、教學過程： 教學過程是師生互相交流的活動過程，教師起主導作用，是學生實踐活動的組織者、引導者與合作者；學生是學習的主體，是學習的主動參與者和知識的建構(gòu)者，為充分發(fā)揮學生的主體性及教師的主導作用，教學程序設計了六個環(huán)節(jié)：課 程 流 程 圖誘發(fā)興趣任務驅(qū)動科學研究發(fā)展思維培養(yǎng)品質(zhì)發(fā)展運用知識光學性質(zhì)及其應用的背景自主探索鍛煉能力師生互動

6、繼續(xù)探索引申推廣共同探索創(chuàng)設情境提出問題學習動機激發(fā)學習動機維持教育目標的完成（一）創(chuàng)設情境、提出問題本節(jié)課的開始由多媒體演示“神州六號”飛船發(fā)射的場面，并描繪出運行軌跡圖。問一 2005年月日時零分零秒，中國“神州六號”飛船實驗成功 ，至此中國將穩(wěn)步邁向太空時代。請問：“神州六號”飛船繞地球旋轉(zhuǎn)的軌跡是什么圖形？【設置依據(jù)】讓學生形成對圓錐曲線的感性認識，感受數(shù)學的應用價值，明白生活實踐中有很多數(shù)學問題，數(shù)學來源于實踐，同時培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光去觀察周圍事物的能力，并體現(xiàn)了愛國主義思想的滲透。此時老師可以指出，在我們生活空間當中，除橢圓外，還有雙曲線、拋物線等，并讓學生舉出實際生產(chǎn)、生活

7、中的有關例子，再運用多媒體展示兩個模型給他們看：第一個是2008年北京奧運會國家主體育場的“鳥巢”模型，第二個是手電筒模型。并就手電筒中的小燈泡模型，向?qū)W生解釋一個奇怪的現(xiàn)象，一只很小的燈泡發(fā)出的光，會分散地射向各方，但是把它裝在圓柱形手電筒里，經(jīng)過適當?shù)恼{(diào)節(jié)，就能射出一束比較強的平行光線，（輔以實物模型向?qū)W生演示），這是什么原因呢？【設置依據(jù)】使學生對本節(jié)課要探討的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，培養(yǎng)學生對立統(tǒng)一的觀點，教師也可以很自然的引出課題。（二）引申推廣、共同探索【問二】 下面是中學數(shù)學一個典型習題：oFAMy最短路徑已知拋物線y2=2px (p>0) 內(nèi)有一點A（a, y0）,F為拋物線的焦點

8、，試在拋物線上找一點M，使得|MA|+|MF|最小。由于在直線部分也討論過距離和最小的問題，并且與光線反射緊密聯(lián)系在一起，同時學生有一定的光學基礎，于是我就向?qū)W生提出了這樣一個問題：既然光線沿著最短的路線行走，那么，從F射出的光線要經(jīng)過拋物線反射到A，是否沿著FMA的路線？此問題既讓學生感到有趣，又體現(xiàn)了數(shù)學與物理學之間的綜合?！驹O置依據(jù)】“思維從疑問開始”，由于學生熟知直線部分的最短距離問題，通過創(chuàng)設情境，激發(fā)了學生的求知欲，使學生急于想知道拋物線的光學性質(zhì)，但又無從回答，形成認知沖突，使學生進入憤悱狀態(tài)。由于是經(jīng)一曲線反射，我們還是運用極限的思想，把拋物線上的每一小段看成是直線，這一點學生

9、在學習光的漫反射時用到過，是能接受的。如把M0（x0,y0）附近看成線段，這條線段所在的直線近似于過M0的拋物線的切線，經(jīng)過計算驗證角度之間的關系，得到拋物線的光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸（多媒體演示）?！緫谩?.手電筒 (如圖1);2. 探照燈（如圖2）；3. 太陽能灶（如圖3）逆用拋物線的光學性質(zhì)簡要介紹工作原理 圖 2圖 3圖 1（三）師生互動、繼續(xù)探索此時學生發(fā)現(xiàn)，以他們現(xiàn)有的知識居然已經(jīng)能夠解釋這么有用的發(fā)明的原理，都感到很興奮，很自然的，有些同學提出：橢圓是否也有類似的光學性質(zhì)？我沒有立刻給出結(jié)論，而是鼓勵學生猜想：如果橢圓也有類

10、似的光學性質(zhì)，那么結(jié)論會是什么樣呢？很自然的，有些同學回答說“從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓上的一點反射后，反射光線平行于橢圓的長軸”，當然也有同學認為橢圓與拋物線的結(jié)論應該不會完全相同。我仍然沒有立刻回答哪個對哪個錯，而是提出，讓我們一起來探索探索。引導學生去驗證：入射角是否等于反射角？學生經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓上的一點反射后，反射光線必過橢圓的另一個焦點。（圖4）（多媒體演示）圖 6圖 4圖 5 【設置依據(jù)】既讓學生明確思維的目的，又體現(xiàn)了學生的主體作用和老師的主導作用?！緫谩侩娪胺庞硻C的聚光燈（如圖5）（簡要介紹工作原理）（四）自主探索、鍛煉能力這

11、時，有些同學又問：雙曲線是否也有類似的光學性質(zhì)？我首先肯定了學生的猜想，并將全班學生分成四個小組，讓每位同學課后試著去探索一下結(jié)論，可以集體討論，相互交流，期間教師可以給學生一些指導性的建議。并且規(guī)定每個小組要拿出自己的研究成果，專門抽出一個單位時間讓每一個小組推薦一名學生說出自己小組的思維過程并給出證明。給學生充分創(chuàng)造展示自己才能的機會。從學生展示的情況來看，絕大多數(shù)同學都能找到雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線上的一點反射后，反射光線是散開的，但其反向延長線必過雙曲線的另一個焦點。（如圖6）（多媒體演示）【應用】汽車反光鏡、天文望遠鏡的設計都是利用了雙曲線的反向虛聚

12、性質(zhì)最后我要求學生整理出研究成果，并作出研究報告。通過這一研究性課題的提出、研究、取得成果到深入發(fā)展的過程，使我受到了深刻的教育：學生中蘊藏著巨大的智慧和力量，教師的任務就是喚起他們的學習興趣，點燃他們智慧的火花，釋放他們實踐的能量，從而達到培養(yǎng)學生的研究能力、動手實踐能力和創(chuàng)新能力的目的。所以，我又向大家指出：實際生活中有很多的發(fā)明，用我們現(xiàn)有的知識已經(jīng)能夠很好地解釋了，希望同學們平時多觀察、多思考，試著用我們現(xiàn)有的知識去解釋一些生活常識，相信你們的能力會在不知不覺中提高的。（五）發(fā)展、運用知識 橢圓、雙曲線、拋物線的光學性質(zhì)是各自表述的，能否把它們統(tǒng)一呢？顯然，關鍵是要解決兩個焦點與一個焦

13、點的矛盾.對于拋物線，我們可想象另一個焦點在主軸正向的無窮遠處，這樣，三種曲線的光學性質(zhì)就可以統(tǒng)一為“由圓錐曲線一焦點發(fā)出的光線，經(jīng)反射后，其反射光線所在直線必經(jīng)過另一焦點.”注意到兩焦點的中點即為圓錐曲線中心，這就啟發(fā)我們，當拋物線的中心與另一焦點想象為位于主軸正向上的無窮遠處時，則有心無心的某些差異就可能消失，從而能由有心曲線的性質(zhì)猜測出拋物線的未知性質(zhì).【設置依據(jù)】引導學生對數(shù)學的統(tǒng)一美、奇異美的追求，成為探索未知的金鑰匙.追求數(shù)學美感，追求自然界的和諧統(tǒng)一，能成為學生簡化結(jié)果、深化問題、推廣結(jié)論，探究數(shù)學世界的強大精神力量,也成為判斷事物的一個重要標準.【聯(lián)想】古羅馬演藝場、現(xiàn)代化的音

14、樂廳、美國白宮會議室屋頂?shù)鹊鹊牡臋E球形設計，都充分揭示了圓錐曲線的光學性質(zhì)類比到聲學中也有廣泛的應用?！痉此肌磕敲蠢走_、衛(wèi)星天線等等為什么也做成拋物面形狀呢？【光波、聲波都是電磁波的本質(zhì)】【嘗試】鼓勵學生運用圓錐曲線的光學性質(zhì)嘗試進行小發(fā)明創(chuàng)造 學生通過交流、研討得到研究成果，讓學生在理解知識的基礎上，要求他們在新的情境中運用所學的圓錐曲線的光學知識來解決問題，強化知識技能的針對性。提供兩個習題供學生探討。并建議有興趣的同學課后不妨用古典幾何的方法來證明一下圓錐曲線的光學性質(zhì)，解釋圓錐曲線的幾何本質(zhì)。例1、P為橢圓上一點，過中心O作直線與P處的切線平行，交于Q，求證：（為一個焦點，與在短軸的同

15、側(cè)）例2、設橢圓長軸為，自焦點向切線PT引垂線，垂足為T，證明：T在以為直徑的圓上?！驹O置依據(jù)】鞏固研究成果，檢驗學生運用知識的能力(六)圓錐曲線光學性質(zhì)及其應用的背景歷史上第一個考查圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年325年）；大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線。他們兩位對圓錐曲線的研究是很實在的：考察不同傾斜角的平面截圓錐其切口所得到的曲線，也就是說如果切口與底面所夾的角小于母線與底面所夾的角，則切口呈現(xiàn)橢圓；若兩角相等，則切口呈現(xiàn)拋物線；若前者大于后者，則切口呈現(xiàn)雙曲線。并且，阿波羅尼奧還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)，比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點F一側(cè)做成

16、鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡反射的光線全部通過另一個焦點F。熱也和光一樣發(fā)生反射，所以這時便會被烤焦，這也就是焦點名稱的由來。據(jù)說這一發(fā)現(xiàn)是他在研究橢圓的作法（也就是現(xiàn)行教材中一開始介紹的作法）時得出的。 而圓錐曲線真正從后臺走上前臺，從學術的象牙塔中進入現(xiàn)實生活的世界里，應歸功于德國天文學家開普勒（公元1571年1630年），開普勒在長期的天文觀察及對記錄的數(shù)據(jù)分析中，發(fā)現(xiàn)了著名的“開普勒三定律”，其中第一條是：“行星在包含太陽的平面內(nèi)運動，劃出以太陽為焦點的橢圓”，就這樣，梅納庫莫斯和阿波羅尼奧出于數(shù)學愛好而研究的曲線在近2000年之后于天文學的舞臺上登場了。后來哈雷又利用圓錐曲

17、線理論及計算方法準確地預測到哈雷慧星與地球最近點的時刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷慧星與地球如期而遇，這引起了全歐洲、乃至全世界的轟動，也進一步推動人們對圓錐曲線研究興趣的提升?！驹O置依據(jù)】重視對學生進行數(shù)學史教育和思想教育，發(fā)展非智力因素，體現(xiàn)數(shù)學的人文價值，激勵他們在科學的道路上勇于探索、不畏艱難。六、評價分析：從一個具體的習題當中創(chuàng)設情境，調(diào)動學生發(fā)現(xiàn)問題的積極性，循序漸進地引導學生主動的去探究問題，在探究中體會到成功的愉悅。讓學生在“提出問題主動研究解決問題得出結(jié)論內(nèi)延外拓”中促進學生數(shù)學研究能力，交流能力，數(shù)學表達能力，協(xié)作能力。：從直線反射的性質(zhì)類比到拋物線的光學性質(zhì)，結(jié)合現(xiàn)實生活中的例子引導學生發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的光學性質(zhì)，提高了他們的認知水平，將物理學和數(shù)學有機結(jié)合起來了，達到科學協(xié)調(diào)發(fā)展的要求。在內(nèi)容的安排上既抓住了重點又突出了難點。：A.既注