工科概率統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊(cè)-解答題(第三版-2015)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(1)隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 隨機(jī)事件 概率的定義 古典概型113 3設(shè)代B,C是三事件，且P(A) P(B) P(C) ,P(AB) P(BC) O,P(AC)48求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解：由于P(AB) 0,所以P(AU BUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)11115444 884 4設(shè) 代B是兩事件，且P(A) 0.6,P(B)0.7問(wèn)：(1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由于P(AB) P(A) P(B) P(AUB)，所以(

2、1) 當(dāng)P(AUB) 0.7時(shí)，P(AB)取最大值 0.6;(2) 當(dāng)P(AU B) 1時(shí)，P(AB)取最小值 0.3.5 5某工廠有 1010 個(gè)車間，每個(gè)車間選出 2 2 名代表出席職工代表會(huì)議，又從這 2020 名代表中任選出 1010 人組成工會(huì)委員會(huì)求：(1) 第二車間在工會(huì)委員會(huì)中有代表的概率；(2) 每個(gè)車間在工會(huì)委員會(huì)中都有代表的概率解：令 A 第二車間在工會(huì)委員會(huì)中有代表，B 每個(gè)車間在工會(huì)委員會(huì)中都有代表，則(1)P(A)(2)P(B)1010 -20C1018概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(2)3條件概率獨(dú)立性3 3甲、乙、丙 3 3 臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由各臺(tái)機(jī)床加工的百

3、分比依次是50%50%,30%30%，20%20% .各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次是80%80%, 85%85%，90%90%，將加工的零件放在一起，從中任取 1 1 個(gè)，求取得優(yōu)質(zhì)品的概率.解：令 BB!取到的產(chǎn)品是甲機(jī)床加工的,B2取到的產(chǎn)品是乙機(jī)床加工的,B3取到的產(chǎn)品是丙機(jī)床加工的,A取得優(yōu)質(zhì)品 則P(A) P(BJP(A|即P(B2)P(A| B2) P(B3)P(A| B3)0.5 0.8 0.3 0.85 0.2 0.9 0.835.4 4將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，信息A被誤收作B的概率為0.020.02，而B(niǎo)被誤收作A的概率為 0.010.01 .信息A與信息

4、B傳送的頻繁程度為 2 2 ： 1 1.若接 收站收到的信息是A，問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？解：令H原發(fā)信息是 A A ,C收到的信息是 A A，則5 5甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)射擊，三人擊中的概率分別為擊中而被擊落的概率為0.20.2，被兩人擊中而被擊落的概率為 定被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率.解：令A(yù)飛機(jī)被擊落，Bi恰有i人擊中飛機(jī)，i 0,1,2,3，則P(B)0.60.50.3 0.09P(BJ0.40.5 0.30.6 0.50.30.60.50.70.36，P(B2)0.60.50.70.40.5 0.70.40.50.30.41，P(B3)0.4 0.5 0.7 0.14.P(H

5、 |C)P(H)P(C|H)P(H)P(C|H) P(H)P(C|H)30.98196-0.98 - 0.01197330.9950.40.4, 0.50.5, 0.70.7.飛機(jī)被一人0.60.6，若三人都擊中，飛機(jī)必從而P(A)P(BJP(A|Bi) 0.09 0 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458i 0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(3)離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量姓名_學(xué)號(hào)_ 班級(jí)_3.3.一汽車沿街行駛，需通過(guò) 3 3 個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口， 每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠不依賴 于其他信號(hào)燈，而且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等，以X X 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口

6、數(shù)，求 X X 的分布律. X表示汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù)，其可能取值為0,1,2,3,1111PX0PX 1 22 2411111 1 111PX2 -，PX3-22282 2284 4設(shè)隨機(jī)變量X N(108, 9)，求：(1 1)P101.1 X 117.6； ( 2 2)常數(shù)a，使PX a 0.90；(3 3)常數(shù)a，使P| X a | a 0.01.101.1 108117.6 108解d)P101.1 X 117.6 PX33(3.2)( 2.3)(3.2)(2.3)10.9886X 108 a 108、“a 108、(2)由于PX a P() 0.9,333a 108所以

7、1.28，因此a 111.843(3)由于P| X a| a P X 2a P X 01 PX 2a PX 00.01,所以PX 2a 0.99，即PX 108 2a 1080 99,3332a 108于是2.33，從而a 57.495布函數(shù)；1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（4）二維隨機(jī)變量、邊緣分布與條件分布姓名學(xué)號(hào)班級(jí)0,x 0,F(x)11ccosx, 0 x221,x.21 1P0 X2sin xdx -02 2解（i）kY1 12 23 3YPY | X 0%PY | X 1X服從參數(shù)p 0.6的（0-10-1）分布，在求（X ,Y）的分布律.3 3.已知分別為1 1 2 2解依題意，P

8、X 01 p 0.4,P X 1p 0.6,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f （x）ksi nx,0 x0, 其他.求：（1 1）常數(shù)k； （2 2）X的分21下關(guān)于丫的條件分布律3于是有P X 0,Y1P X 0 ,Y 2P X 0, Y 3P X 1,Y1P X 1,Y2 P X 1 P Y 2X 10.6 -,6 101100.44101100.4251100.44101310.6210PX 0 P Y 1 XPX 0 P Y2 XPX 0 P Y3 XP X 1 P Y 1 XP X 1,Y 3P X 1 P Y 3X 10.6 -3所以（X,Y）的分布律為4 4 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率

9、密度為f(x,y)ke3x4y0,x其他.0, y 0;（1 1）求常數(shù)k；（2）求（X ,Y）的分布函數(shù)F x,y；(2)求P1,0 Y解（1 1）由0oke3x 4ydxdy 1，知k 12.F (x, y)y x12e3x40 00,xydxdy,x 0,y0,o,y(1 e0,x3x)(10,y4y、e ),x0.o,y 0,P0 X 1,0 Y22 10(012e3x 4ydx)dy (1e3)(18e )5 5.已知平面區(qū)域D由曲線 y y1 1及直線x xy 0, x 1, x2e圍成，（X,Y）在D上服從均勻分布.求（1 1）（X , Y）的聯(lián)合密度函數(shù)；（2 2）X和Y的邊緣

10、密度函數(shù).解由于m（D）e21edx In x h 2，故1x(1)(1)f (x, y)xe2,。1,其他.fx(x)2X,1 x e ,fY(y)0,其他.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（5）隨機(jī)變量的獨(dú)立性、隨機(jī)變量函數(shù)的分布姓名學(xué)號(hào)班級(jí)則Y的分布律為Y-1-10 01 1218Pk153154.4. 一電子儀器由兩部件構(gòu)成，以X和丫分別表示兩部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知（1 1）問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立？（ 2 2）求兩部件的壽命均超過(guò) 100100 小時(shí)的概率.0 5x解Fx(x) lim F(x,y) 1 e.(x 0),FY(y) lim F(x, y) 1 e0.5y(y 0),FX(

11、X)FYW)(1 e0.5x)(1 e0.5y)2(e21),02ei），e2小0,其他.3 3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PXk *,k 1,2,L，求YsinX解Y sin的可能取值為21, 0,1，而PX k丄,k 1,2,L,2故PY1k13，PY 1815X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F （x,0.5xe0.5 ye0.5(x y)e , x0,y 0,0,其他.0.5x0.5y10.5(xy),x 0, y 0,10,z0,1(ezz 1),0z 2,211(e21)ez, z 2.2即FX(X)FYW)0.5xe0.5ye0.5(Xy)e ,X0,y0；0,其它,有F(x,y) FX(X)F

12、YW),故X和Y相互獨(dú)立.P X 0.1,Y 0.1 P X 0.1 P Y 0.1(IPX 0.1 )(1 P Y 0.1 )0.050.050.050.050.11 (1 e )1(1 e ) e ee 0.9048.5.5.設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為1,0X1,fX(X)0,其他，4ey, y 0,0, y 0.求隨機(jī)變量Z 2X Y的分布函數(shù).解 由于X、Y獨(dú)立，因此f (X, y)ey,0 x 心 0,所以0, 其它.0,z 0,FZ(Z) P2X Y zf (X, y) dxdy2Xy zz/2z 2Xdx e0 0ydy,0z 2,1z2Xdx eydy,2,即F

13、Z(Z)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(6)數(shù)學(xué)期望、方差姓名學(xué)號(hào)班級(jí)DX E(X2) (EX)2f(x)0, x 0.工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換，若工廠售出一臺(tái)設(shè)備盈利 100100解由于丫1200, X l所以x1一E(Y) 100e4dx141 1 1100e4200e4-200300e420033.64(元).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（7）協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、大數(shù)定律與中心極限定理姓名_學(xué)號(hào)_班級(jí)_3 3對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止,望和方差.如果每次命中率為p，求射擊次數(shù)X的數(shù)學(xué)期故EXE(X2)X的可能取值為n(1 p)n1p2nn (1 p)n 11,2,Lppn

14、 1，而PXn(1 p)nppnn2(11np)n(1P)n 1p, n 1,2,L,p (11 pp)(2 P)4 4. 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300300 元.試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利的數(shù)學(xué)期望.x11 1 - -200 - e4dx043 3.在一零件商店中，其結(jié)帳柜臺(tái)替各顧客服務(wù)的時(shí)間（以分計(jì)）是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,均值為 1.51.5,方差為 1 1,求對(duì) 100100 位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多余2 2 小時(shí)的概率.解 用Xk表示柜臺(tái)替第k位顧客服務(wù)的時(shí)間，k 1,2,L ,100，貝y4 4某種難度很大的心臟手術(shù)成功

15、率為0.90.9,對(duì) 100100 個(gè)病人進(jìn)行這種手術(shù)，以X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P84 X 95解由于X b(100, 0.9)，故P84 X 95 P84 90 X 90 95 90(5)( 2) 0.929733335 5為了確定事件A發(fā)生的概率p(0 p 1)，進(jìn)行 1000010000 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，試分別用 切比雪夫不等式和中心極限定理估計(jì)：用事件A在 1000010000 次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為概率p的近似值，誤差小于 0.010.01 的概率.解 以n表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Ennp, Dnnp(1 p),用切比雪夫不等式：P P n| 0.01 P|nEn|0.01 n

16、10.鳥(niǎo)1 p p20.75。用中心極限定理:P| -np | 0.01P0.01nnEn0.01 n 一np(1 p)Jnp(1p),n p(1p)(1-)(1) 2 (-1)1 2(2)10.9544一P(1 P)、P(1 P)一P(1 P)6 6某單位設(shè)置一臺(tái)電話總機(jī)，共有200200 個(gè)分機(jī)，設(shè)每個(gè)分機(jī)有 5%5%的時(shí)間要使用外線通話，各個(gè)分機(jī)使用外線與否是相互獨(dú)立的，該單位需要多少外線才能保證每個(gè)分機(jī)要用 外線時(shí)可供使用的概率不小于0.9?0.9?解 設(shè)X為同一時(shí)刻使用外線通話的分機(jī)數(shù)，則X B(200,0.05)。n為需要的外線數(shù)，依題意，要確定n，使得PX n 0.9，而1001

17、00P Xk120PUXk15010120 15010(3)0.0013故該單位需要 1414 根外線才能保證每個(gè)分機(jī)要用外線時(shí)可供使用的概率達(dá)到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題(8)PX nP X 200 0.05. 200 0.05 0.95n 200 0.05 200 0.05 0.95(J0.9(1.28)n 109.51.28，即n10 1.28 9.513.9452，取n14.0.90.9樣本及其分布姓名_學(xué)號(hào)_班級(jí)_3 3設(shè)總體X N（60,152），從總體中抽取一個(gè)容量為100的樣本，求樣本均值與總體均 值之差的絕對(duì)值大于3的概率.由于N(0,1)X3I 3 Pln-2(1(2)0.04

18、562 24 4設(shè)X!, X2,L ,Xn為總體N（,）的一個(gè)樣本，S為其樣本方差，且2。若樣本容量n滿足（n 1）38.9，求n的最小值.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（9）點(diǎn)估計(jì)、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)姓名_學(xué)號(hào)3 3 計(jì)算題（1 1）設(shè)總體X具有分布律P| XPE 1.5 1解由于P$1.51，故PA字1.5(n 1)2從而(n 1) 1.5 (n 1)，而2(n 1) 38.9，所以1.5(n 1) 38.9,即n 26.93，取n 27.5 5.設(shè)X1, X2丄,X9為總體N(2）的一個(gè)樣本,123(X7X82X9),S92(XiY，Z71，Y (X1X2L X6),62證因?yàn)閅1N（三）,丫2N

19、（丐），所以七N（0,1）,2（2），且丫1匕與今Z22獨(dú)立，于是Z2(Y1Y2)S班級(jí)222 (1 )3 3(1)2其中(0(011)為未知參數(shù).已知取得了樣本X11,X22,X31.試求 的矩估計(jì)值.1EX 122 2 (1)3(1)23X，解之得的矩估計(jì)量-(1 2 1)3由此得的矩估計(jì)值(2(2)設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為f (X,2e2(x)，其中0為未知參數(shù).又Xi, X2丄解因?yàn)長(zhǎng)(Xi,X2,L , Xn；Xn是X的一組樣本觀測(cè)值,n2( Xi 1求參數(shù)的極大似然估計(jì)值.n2e2(Xii 1)2ne,i1,2,L , n,n所以ln L( ) nln 22(i 1越大似然函數(shù)越大，但Xin )，從而d曰是，min X1,X2,LX,因此的極大似然估計(jì)值為minX1,X2,L ,Xn.(3)(3)131115X1X2X3,2X1X2X3,351023412的無(wú)偏估計(jì)量,并分析哪一個(gè)最