六.圓錐曲線方程

1、1.(全國(guó)卷一 （全國(guó)卷一）圓錐曲線14已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 2 【解析】本小題主要考察拋物線的方程及有關(guān)性質(zhì)。由題意知a>0，C（0，-1），原方程變形為x2=1/a（y+1），所以|OC|=1/4a，即a=1/4，則=4，所以SABC=2.21. 雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程解：（）設(shè)雙曲線方程為(a>0,b>0，右焦點(diǎn)為F(c,0(c>0，則c2=a2+b2

2、不妨設(shè)l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0則 ，。因?yàn)?+2=2，且=2-，所以2+2=(2-2，于是得tanAOB=。又與同向，故AOF=AOB，所以 解得 tanAOF=，或tanAOF=-2（舍去）。因此 。所以雙曲線的離心率e=（）由a=2b知，雙曲線的方程可化為x2-4y2=4b2 由l1的斜率為，c=b知，直線AB的方程為y=-2(x-b 將代入并化簡(jiǎn)，得15x2-32bx+84b2=0設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1，(x2,y2，則x1+x2=，x1·x2= AB被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)l= 將代入，并化簡(jiǎn)得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6所以

3、雙曲線的方程為2.(全國(guó)卷二 全國(guó)二圓錐曲線9設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ）A B C D解：，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，所以，即考查：雙曲線的離心率、函數(shù)的取值范圍、解析幾何與函數(shù)的交匯點(diǎn)15已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)設(shè)，則與的比值等于 解：設(shè)A（，）B（，）由x=或x=由知>，故，；由拋物線的定義知考查：直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線定義的應(yīng)用21 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)（）若，求的值；（）求四邊形面積的最大值（）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，如圖，設(shè)，（）E且 滿足方程 ， 故由

4、知，得；由在上知，得所以，化簡(jiǎn)得，解得或（）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為，又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為考查：運(yùn)算能力、橢圓與直線的位置關(guān)系、四邊形面積的求法、函數(shù)的最值問題3.(北京卷 北京卷：曲線方程19（本小題共14分）已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對(duì)角線所在直線的斜率為1（）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值方法一：（）由題意得直線的方程為因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以于是可設(shè)直線的方程為由得因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以所以的中

5、點(diǎn)坐標(biāo)為由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上， 所以，解得所以直線的方程為，即（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以所以菱形的面積由（）可得，所以所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值方法二：（）由題意得直線的方程為設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則A, C中點(diǎn)O坐標(biāo)為，且O過直線BD，所在直線的斜率為1，所以AC的斜率為.因?yàn)樵跈E圓上，則： ，所以直線的方程為，即（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以所以菱形的面積設(shè)直線的方程為， 由得因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，由弦長(zhǎng)公式得：所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值4.(上海卷5(天津卷 天津圓錐曲線數(shù)列類型題目：NO. 5,21. .設(shè)橢圓上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右

6、焦點(diǎn)的距離為1，則P到右準(zhǔn)線的距離為（ ）A）6 B）2 C） D）【評(píng)述】本題是一道圓錐曲線的選擇題，主要考查橢圓第二定義的運(yùn)用，主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化，化歸的思想方法.解：由題意與橢圓的第一定義得 又 由橢圓的第二定義得 => . 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是（1）求雙曲線C的方程；（2）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.【評(píng)述】本題是一道直線與雙曲線相交的綜合題，是一道常規(guī)的解析幾何題.主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.直線方程、一元二次方程的根的判別式等知識(shí).本題主要運(yùn)用數(shù)

7、形結(jié)合及轉(zhuǎn)換、化歸的方法進(jìn)行求解.解：（1）由題可知,則，則又漸近線方程為 即又設(shè)雙曲線C的方程為則漸近線方程為，則，則則 , 則（2）設(shè)直線的方程為： ，則設(shè)又設(shè)MN的垂直平分線為，且由題意得其斜率為.則將代入，得則，即則 將代入中：則過點(diǎn)則的方程為 令中，則 令，則則則 則 有可知：0即0當(dāng)0時(shí)，0000解之得0或當(dāng)0時(shí)，0000解之得或0綜上所述：的取值范圍是6(重慶卷 重慶卷 圓錐曲線知識(shí)8、解：本題已給出雙曲線的漸進(jìn)線，離心率通過他們即可求出a、b之間的關(guān)系。方法一：由題意可知，則雙曲線的方程就是即選答案。方法二依題意得由此得，因此這雙曲線方程為即選答案。評(píng)述：本題主要考察對(duì)雙曲線的

8、漸進(jìn)線，離心率的應(yīng)用。21、解：（1）設(shè)長(zhǎng)半軸為a，短半軸長(zhǎng)為b，焦距為c，則由題意可知2a=6,那么a=3，c=2,則短半軸為=因此橢圓的方程為（2）方法一：由條件可得又因?yàn)樗渣c(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形，所以就有即所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上所以為點(diǎn)的坐標(biāo)所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,方法二設(shè)橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)B，由（1）可知當(dāng)然為最大值,所以討論顯然P不可能在x軸上，且不可能垂直于x軸依圖可知設(shè)，則，則即.聯(lián)立 、 即可得為 ，評(píng)述：本題主要考察對(duì)橢圓，雙曲線的定義，性質(zhì)的理解、應(yīng)用。7. (廣東卷 圓錐曲線（廣東）13（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)

9、為 解：要求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)，就是求同時(shí)滿足極坐標(biāo)方程的點(diǎn)，聯(lián)立解方程組，解得,即兩曲線的交點(diǎn)為。18（本小題滿分14分）設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；圖（ ）設(shè) 分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn) ，使得 為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)） 解： （1）解法一：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和。解法二：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是過的直線的斜率。令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）拋物線上存在點(diǎn)，使得為直角三角形，這樣的點(diǎn)有四個(gè)。過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理 以為直角的只有一個(gè)。解法一：若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， ,因?yàn)榈亩畏匠逃幸淮笥诹愕慕?，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。解法二：以原點(diǎn)為圓心，為直線作圓，由于圓的半徑大于橢圓的半短軸長(zhǎng)1，且橢圓與拋物線僅交于一點(diǎn)，故所作圓與拋物線交于