K0085,華師一附中2013屆高一(新課標)學年教案必修(1)第三章---補充內容：一元二次方程實根的分布

1、函數的應用（ 1.3 第 3 課時）高中數學教案（新課標）第三章華中師大一附中黃松生3函數的應用（ 1.3 第 3 課時）第三章課題： 一元二次方程實根的分布教學內容： 一元二次方程實根的分布教學目的： 掌握一元二次方程的零分布和k 分布 (k教學重點： 基本結論與應用教學難點： 基本結論與應用教學過程：一、課前復習0) 。二、講解新課提出問題我們在二次函數和不等式的基礎上討論一元二次方程根的分布問題。結合圖象易于理解。引入新課知識點 1零分布設一元二次方程ax2bxc0( a0) 的兩根為 x1, x 2，且 x1x2定理 1： x0 ， x00xx0推論： x0 ， x000a 0或 a0

2、1212x1x2012f (0)0c0定理 2 ： x10 ， x200x1x20x1x2000b 0b0推論： x0 ， x0a0或 a012f (0)0f (0)0定理 3： x1b0b0c0x20a定理 4： x1x10 ， x200 ， x20c 0 ，且 b ac0 ，且 ba0（可得證0 ）0知識點 2非零分布 k 分布所謂非零分布 k 分布，指的是方程的根與k 的關系。設一元二次方程ax2bxc0( a0) 的兩根為 x1, x 2，且 x1x2 ， k 為實常數。定理 1： kx1x20af (k)0 bk2a0定理 2： x1x2kaf (k)0 bk2a定理 3：證: af

3、 (k)x1ka 2 ( kx2afb )2(k) 024acb0 , b24ac(kb ) 20 ， b24ac0 肯定有相異實根 .2a4a2a定理 4： 有且僅有k1x1 ( 或 x 2)k2f ( k1 ) f (k 2 )0a0a0f(k1)0f ( k1 )0k1x1k2p1x2p2f(k 2 )0或f ( k2 )0f( p1 )0f ( p1 )0f( p 2 )0f ( p2 )0定理 5：00a0a0定理 6：k1x1x2k 2f (k1 )0或f(k1 )0f (k2 )0f(k 2 )0三、典例解析bbkk12k1k 22a2a例 1若一元二次方程0( m1) x20(

4、2m1) xm0 有兩個正根，求 m 的取值范圍。m10解：（ i）m0m10或（ ii）m0對應推論而得 ,由（ i）得 m，而由（ ii ）知 0m1 ， 0m1 。2(m1)02( m1)0例 2k 取何值時，一元二次方程kx23kxk30 的兩根為負。0解： x1x20x1x20k12 或k0 5k0或k3 k12 或 k35例 3k 取何值時，一元二次方程kx23kxk30 有一正根和一負根。解： k3 k0 ， 0k3例 4已知方程 x 2011xm210 的兩根都大于 1，求 m 的取值范圍。解：af (1)0b12am324m12 12m32 14例 5若一元二次方程mx2(

5、m1) x30 的兩實根都小于 2 ，求 m 的取值范圍。0解：af ( 2)0 mb2a21 或m5226 .例 6已知方程x 22mx2m230 有一根大于 2 ，另一根小于2 ，求 m 的取值范圍。解： af(2)0 ，2m24m10 ，12m12 .22例 7若方程 x2(k2) xk0 的兩實根均在區(qū)間( 1 , 1) 內，求 k 的取值范圍。0f (1)0解：f (1)10k212 423k1 .2例 8已知a, b, x 為正數 , 且 lg(bx ) lg( ax)10 的根都為實數 ,求 ab的取值范圍 .解: 由已知方程可化為lg2 x(lg alg b)lg xlg al

6、g b10, 所有的根都為實數 ,0,即 lg 2 a2lg alg blg2 b40,(lg alg b) 24,lg a2,lg a2,0a1或 a100.例 9若方程bbblg(ax) lg(ax2 )4 的所有解都大于 1, 求 a 的取值范圍 .100b解: 設 tlg x, 則原方程可化為2t 2(3lga)tlg 2 a40, 所有解都大于 1 ,t10,t20,即方程有兩個正根 ,t1t2 t1t200 ,解之 01a .1001例 10設直線l ： y=(a+13)x-a2+2a+16與拋物線 c： y=7x 2+14x+8有兩個交點 a(x 1， y 1)和 b(x 2，y

7、2 )，并且 -1x1<0<x 21，設 u 是線段 ab 中點的縱坐標，問a 為何值時， u 達到最大值？并求出這個最大值。y解： 由y(a 7x213) xa214x8,2a16,可得： 7x 2 +(1-a)x+a 2-2a-8=0 直線l 1 與拋物線 c 交于兩點 a(x 1， y 1)， b(x 2， y 2) ，且-1x1<0<x 21方程有兩個不同實根。a 22a80,令 f(x)=7x 2+(1-a)x+a 2-2a-8 ，則有：f (0)f ( 1)f (1)0,a 20, 即a 2a 2a 3a3a20,0.0,解得-2<a-1且 3a<

8、;40, a (-2 ， -1 3 ， 4 )x1x2a1設 ab 的中點 m 坐標為 (x ， u) 。由方程，有x。 代 入 直 線214l1 ：·y=(a+13)x-a 2+2a+16 ，得： u=(a+13)a1 -a 2 +2a+16=1 (-13a 2+40a+211)=-13 (a-20 )2+449 。1414141326函數的應用（ 1.3 第 3 課時）高中數學教案（新課標）第三章華中師大一附中黃松生 a (-2 ， -1 3 ， 4 )， a=3 時， u 達到最大值，且 u 最大=107 77函數的應用（ 1.3 第 3 課時）第三章例 11已知二次函數f (

9、x)ax2bx1 (a0 ,br) ，設方程f ( x)x 有兩個實根 x1 , x 2（ 1）如果 x12x24 ，設函數f ( x) 的對稱軸為 xx0 ，求證： x01（ 2）如果 0x12x24 ，且f (x)x 的兩實根相差為 2 ，求實數 b 的取值范圍。解：（ 1）設g( x)f ( x)xax2(b1) x1 , a0 ， x12x24 ，g(2)0 且 g( 4)0 4a 16a2b104b30, 344ab1 2 a23( b 有解 ),4a 4112a , a. 28由 34ab 412a 得： 112 4ab 232a8a, x0b111112a4a418（ 2）由g(

10、 x)ax2(b1) x10 ,可得 0x12x24 ，又 x2x12 (x22x1)(x22x1 )4 x1 x2(b1)2a 244 , 2a1a(b1) 21 ，由g(2)0 ， 4a2b10 代入得：( b1)2132b ， b1 .4例 12設二次函數 f(x)=ax 2 +bx +c(a>0), 方程 f(x )- x=0 的兩個根為 x1 (1) 當 x (0, x1 )時，求證： x<f(x)< x1；、x2,滿足 0< x11<x2 <.a(2) 設函數 f(x)的圖象關于直線 x=x 0x1對稱，求證： x 0<.21證: (1)

11、x 1、x 2 是方程 f(x)- x=0 的兩個根，且 0< x1 <x 2<，當 x (0, x 1)時,a有 f(x)-x =a(x-x1)(x -x2)= a(x1-x)( x2-x )>0, 即 f(x )- x>0. 又 f(x)-x =a( x1- x)( x2-x)<a1· (x1a-x )= x1-x,即 f(x )-x<x1-x,故 0< f (x )-x <x1 -x,即 x<f(x )<x 1.(2) f(x )-x=ax 2+(b -1) x+c,且 f( x)-x =0 的兩個根為 x1、x

12、 2,二次函數 f(x )- x 的對稱軸為 x=x1x2=b1x1b.=1x2.又由已知，得 x 0=bx1，1x2=x 0+.22a22a2a22a22 a211又 x 2<,a2ax2>0. 故2x11=x 0+22ax2>x 02x1, 即 x0 <.2例 13二次函數 f(x )= px2 +qx +r 中實數 p、q、r 滿足pm2qrm1m=0, 其中 m>0, 求證(1) pf (m)<0;(2)方程 f(x )=0 在(0 ， 1) 內恒有解m1證 (1)pf (m) m1p p(m)2m1q(m)r m1pmqrpmp2m( m2)(m1

13、)2pm2pm2p m2( m1)m1m(m1)m2( m1) ( m2)pm 21,由于 f(x)是二次函數，故 p 0又,m>0, 所以， pf (m) 0( m1) 2 ( m2)m1(2) 由題意，得 f(0)= r,f(1)= p+q+r。當 p 0 時，由 (1 ）知 f(m) 0；m1若 r>0, 則 f(0)>0, 又 f(m) 0, 所以 f(x )=0 在(0 ， m)內有解 ;m1m1若 r0則,f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( pr )+r=pr >0, 又 f(m) 0,所以 f(x )=0 在(m,1) 內有解m2mm2mm1m1當

14、 p 0 時，同理可證綜上所述，證畢。例 14已知函數f (x)ax24xb,（ a 0 ，a）, br，設關于 x 的方程f ( x)0 的兩根為x1 , x2 ，f (x)x 的兩實根為、（ 1）若 |1，求 a，b 關系式；（ 2）若 a， b 均為負整數，且 |1 ，求f (x) 解析式；（ 3）若 1 2 ，求證：( x11)( x21) 7 。解：（ 1）f (x)x 即 ax 23 xb0 ，由題意得：3ab2消去,得： aa14ab9 。（ 2）由于a, b都是負整數， 故 a4b 也是負整數， 且 a4b5 ，由 a 24 ab9 得： a( a4b)9 ，所 以 a1, a

15、4b9 ，所以 a1,b2 ，所以f ( x)x 24 x2 。（ 3）令g( x)ax 23xb ，則12 的充要條件為：g(1)0，g(2)0g(1)即：g(2)a b30， 又4ab60x1x2bx1x2a4a ，所以10 g(1)7 g (2)(x1)(x1)7x x( xx )6b 466ab433.121 212aaaa因為 g (1)0, g (2)0, a0 ，所以( x11)(x 2 1)70 ，即( x11)( x 2 1)7 。四、課堂練習1. 如果二次函數ymx2( m3) x1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側，試求 m 的取值范圍。解： ymx2(m3)

16、 x1 是二次函數， m0 ,設拋物線與 x 軸的交點為 (x 1, 0), ( x 2, 0) 且 x1x2拋物線不過原點，滿足題意的有兩種情況：（ 1）兩個交點分別在原點的兩側，即x10x2 ，此時有mf (0)0 即 m0（ 2）交點都在原點右側，即0x1x2 ，此時0x1x 20x1 x 20 0m1綜上所述 m 的范圍為 m0 或 0m1 。2. 方程 x22ax40 的兩根均大于1 ，求實數 a 的取值范圍。解： 設f (x)x22ax4 ，由于方程 x 22ax40 的兩根均大于 1. 據二次函數圖象應滿足：02a2f (1)01,即4a 216a1a520,解得 2a5 。2解

17、法二：設x1 , x2為方程 x 22 ax40 的兩根， x1x22a, x1x24 .要使原方程 x22ax40 的兩根x1 , x2均大于 1，則需滿足( x1( x11)1)( x0.(x221)1)0,0,將代入上述不等式中，解之得2a5 .22a4a 2162解法三：運用求根公式，方程x 22ax420 的兩根為 x25aa4 ，要使兩根均大于 1，只需較小根 a五、備選習題a41 ，解之得：2a.21. 若一元二次方程kx2( 2k1) xk30 有一根為零，求另一根是正根還是負根？解： 由題意知， k30 ， k3 ，把 k3 代入 x1x22 31350 ,由此知另一根為負根

18、。322. 已知方程 x(m2) x2m10 僅有一實根在0 和 1 之間，求 m 的取值范圍。解： f ( 0),f (1)0 ，(2m1)(1m22m1)0 ， 1m2233. 已知方程 x 2(m2)x2m10 的較大實根在0 和 1 之間，求 m 的取值范圍。解： f (0)0 ， f (1)0 , 2m103m20m12 m.原方程不存在較大實根在0 和 1 之m23間。實質上有較小根在0 和 1 之間。4. 若方程 x 2( k2)x2k10 的兩根中， 一根在 0 與 1 之間， 另一根在 1 與 2 之間， 求 k 的取值范圍。f ( 0)解：f (1)f ( 2)00 , 1

19、k2 .0235. 已知關于 x 的方程(m1) x22mxm2m60 的兩根、 且滿足 01 ，求 m 的取值范圍。m10m10解：f ( 0)0或f (0)0 2m7 或3m7 .f (1)0f (1)06. m 為何值時，二次方程2x 2+4mx+3m-1=0有兩個負根？解： 設二次方程 2x 2 +4mx+3m-1=0的兩個負根為x1 ， x 2，根據題意，由韋達定理可得0,x1x22m0,11m或m1. 故當1 <m1 或 m1時，原方程有兩個負根。x1x23m1323202解法二：（數形結合）考慮二次函數f(x)=2x 2+4mx+3m-1的圖象（如圖 2-5-2 ）。二次方

20、程有兩個負根就等價于0,f (0)0b02a11m或m1.327. 已知關于 x 的二次方程 x 2+2 mx +2 m+1=0(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1 ， 0)內，另一根在區(qū)間 (1 ，2) 內，求 m 的范圍(2) 若方程兩根均在區(qū)間 (0 ， 1) 內，求 m 的范圍解 (1) 條件說明拋物線 f(x )= x2 +2 mx +2 m+1 與 x 軸的交點分別在區(qū)間 ( 1， 0) 和(1 ， 2) 內，f (0)m12m10,2f ( 1)20,mr,51得f (1)f (2)4m20,6m50m1 ,6m22m56函數的應用（ 1.3 第 3 課時）高中數學教案（新

21、課標）第三章華中師大一附中黃松生10函數的應用（ 1.3 第 3 課時）第三章(2)據拋物線與 x 軸交點落在區(qū)間 (0 ，1) 內，列不等式組f (0)0,f (1)0,0,m1 ,2m1 ,20m1m12或m12 ,1m0.8. 已知函數 f(x)=mx 2 +(m-3)x+1的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側，求實數m 的范圍。解： 當 m=0 時， f(x)=-3x+1 ，與 x 軸交于點 ( 1 ， 0) 符合題意。3當 m<0 時，則符合題意。1 <0 ， >0 ，拋物線 y=f(x) 開口向下，它與 x 軸的兩個交點必在原點的兩側。m<0m當 m

22、>0 時，依題意，必須有(m3) 24mb3m0.0,或 f(0)<0 解得 0<m12a2m綜上所述，得m 的取值范圍是 m (-，1 9. 若關于 x 的方程 3 x2-5 x+a=0 的一根在 (-2 ， 0) 內，另一個根在 (1 ， 3) 內，求 a 的取值范圍 .解： 如果用求根公式與判別式來做，運算量很大,能否將問題借助二次函數的圖象，從圖象中抽出與方程的根有關的關系式，使得問題解答大大簡化.設 f(x )=3 x 2-5 x+a,則 f(x)為開口向上的拋物線 ,如圖 (略).因為 f(x )=0 的兩根分別在區(qū)間(-2 ， 0) 、f ( 2)0,22a0,

23、(1 ，3) 內，所以f (0)f (1)0,a0,即0,2a故所求 a 的取值范圍是 -12< a<0.0,f (3)0,12a0.10. 關于 x 的方程 x 2-ax +a2-7=0 的兩個根一個大于2 ，另一個小于2, 求實數 a 的取值范圍 .解：設 f (x )=x2 -ax +a 2-7, 圖象為開口向上的拋物線 (略 ).因為方程 x 2-ax +a 2-7=0 的兩個根一個大于 2，另一個小于 2, 所以函數 f(x )=x2 -ax +a 2-7 的零點一個大于 2，另一個小于 2. 即函數 f(x)=x 2-ax +a 2 -7 的圖象與 x 軸的兩個交點在點

24、 (2 ，0) 的兩側 .只需 f(2)<0, 即 4-2 a+a 2-7<0, 所以 -1< a<3.11. 如果二次函數y=mx 2+( m 3) x+1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側，試求m 的取值范圍解 f(0)=1>0(1) 當 m 0 時，二次函數圖象與x 軸有兩個交點且分別在y 軸兩側，符合題意0(2 ）當 m>0 時，則m解得 0 m130m綜上所述， m 的取值范圍是 m|m1且 m012. 若方程 2ax 2 -x -1=0 在 (0 ，1) 內有解，求實數 a 的取值范圍 .解： 令 f(x )=2 ax 2-x-1 ，(1)當方程 2ax 2-x -1=0 在(0 ， 1) 內恰有一個解時，f(0) ·f(1)<0 或 a0且 =0,由 f(0)得(-1)(2 a-2)<0, 所以 a>1.f·(1)<0,由 =0, 得 1+8 a=0, a=1方程為8