層次分析法例題

1、wd專題：層次分析法一般情況下，物流系統(tǒng)的評(píng)價(jià)屬于多目標(biāo)、多判據(jù)的系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)。如 果僅僅依靠評(píng)價(jià)者的定性分析和邏輯判斷，缺乏定量分析依據(jù)來評(píng)價(jià)系統(tǒng) 方案的優(yōu)劣，顯然是十分困難的。尤其是物流系統(tǒng)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)很難作 出精確的定量分析。層次分析法(Analytical Hierarchy Process)由美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家薩蒂 (T. L. Saaty)于1982年提出，它綜合了人們主觀判斷，是一種簡(jiǎn)明、實(shí) 用的定性分析與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析與評(píng)價(jià)的方法。目前，該方法 在國(guó)內(nèi)已得到廣泛的推廣應(yīng)用，廣泛應(yīng)用于能源問題分析、科技成果評(píng)比、 地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展方案比較，尤其是投入產(chǎn)出分析、資源分配、方案

2、選擇及評(píng) 比等方面。它既是一種系統(tǒng)分析的好方法，也是一種新的、簡(jiǎn)潔的、實(shí)用 的決策方法。層次分析法的基本原理人們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常要從一堆同樣大小的物品中挑選出最重的物品。 這時(shí)，一般是利用兩兩比較的方法來達(dá)到目的。假設(shè)有n個(gè)物品，其真實(shí)重 量用W/, W2,W”表示。要想知道W/, W2,W”的值，最簡(jiǎn)單的就是用秤 稱出它們的重量，但如果沒有秤，可以將幾個(gè)物品兩兩比較，得到它們的 重量比矩陣4/ w2W-2 / W2如果用物品重量向量卬2，WnT右乘矩陣4AW =TVj / W2/ TVSW" / W2則有:w2由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根據(jù)矩陣?yán)碚摚琻是矩 陣A

3、的唯一非零解，也是最大的特征值。這就提示我們，可以利用求物品重 量比判斷矩陣的特征向量的方法來求得物品真實(shí)的重量向量W。從而確定最 重的物品。將上述n個(gè)物品代表n個(gè)指標(biāo)（要素），物品的重量向量就表示各指標(biāo)（要 素）的相對(duì)重要性向量，即權(quán)重向量；可以通過兩兩因素的比較，建立判 斷矩陣，再求出其特征向量就可確定哪個(gè)因素最重要。依此類推，如果n個(gè) 物品代表n個(gè)方案，按照這種方法，就可以確定哪個(gè)方案最有價(jià)值。應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)評(píng)價(jià)的主要步驟如下：（1）將復(fù)雜問題所涉及的因素分成若干層次，建立多級(jí)遞階的層次結(jié) 構(gòu)模型（目標(biāo)層、判斷層、方案層）。（2）標(biāo)度及描述。同一層次任意兩因素進(jìn)行重要性比較時(shí)，對(duì)

4、它們的 重要性之比做出判斷，給予量化。（3）對(duì)同屬一層次的各要素以上一級(jí)的要素為準(zhǔn)則進(jìn)行兩兩比較，根 據(jù)評(píng)價(jià)尺度確定其相對(duì)重要度，據(jù)此構(gòu)建判斷矩陣4（4）計(jì)算判斷矩陣的特征向量，以此確定各層要素的相對(duì)重要度（權(quán) 重）。（5）最后通過綜合重要度（權(quán)重）的計(jì)算，按照最大權(quán)重原則，確定 最優(yōu)方案。例題:某物流企業(yè)需要采購(gòu)一臺(tái)設(shè)備，在采購(gòu)設(shè)備時(shí)需要從功能、價(jià)格與可 維護(hù)性三個(gè)角度進(jìn)行評(píng)價(jià)，考慮應(yīng)用層次分析法對(duì)3個(gè)不同品牌的設(shè)備進(jìn) 行綜合分析評(píng)價(jià)和排序，從中選出能實(shí)現(xiàn)物流規(guī)劃總目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)備，其 層次結(jié)構(gòu)如下圖所示。以A表示系統(tǒng)的總目標(biāo)，判斷層中為表示功能，當(dāng)表 示價(jià)格，人表示可維護(hù)性。g, G,表示備

5、選的3種品牌的設(shè)備。目標(biāo)層判斷層方案層圖設(shè)備采購(gòu)層次結(jié)構(gòu)圖解題步驟:1、標(biāo)度及描述人們定性區(qū)分事物的能力習(xí)慣用5個(gè)屬性來表示，即同樣重要、稍微重 要、較強(qiáng)重要、強(qiáng)烈重要、絕對(duì)重要，當(dāng)需要較高精度時(shí)，可以取兩個(gè)相 鄰屬性之間的值，這樣就得到9個(gè)數(shù)值，即9個(gè)標(biāo)度。為了便于將比較判斷定量化，引入19比率標(biāo)度方法，規(guī)定用1、3、5、 7、9分別表示根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，要素i與要素j相比：同樣重要、稍微重要、較 強(qiáng)重要、強(qiáng)烈重要、絕對(duì)重要，而2、4、6、8表示上述兩判斷級(jí)之間的折 衷值。標(biāo)度定義（比較因素i與j）1因素i與j同樣重要3因素i與j稍微重要5因素i與j較強(qiáng)重要7因素i與j強(qiáng)烈重要9因素i與j絕對(duì)重

6、要2、 4、 6、 8兩個(gè)相鄰判斷因素的中間值倒數(shù)因素i與j比較得判斷矩陣a ij,則因素j與i相比的判斷為。產(chǎn)1/的注:%表示要薪與要素j相對(duì)重要度之比,且有下述關(guān)系:/ciji ：； if j= 19 2, / n顯然,比值越大,則要蔚的重要度就越高。2、構(gòu)建判斷矩陣A判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是進(jìn)行權(quán)重計(jì)算的重要依據(jù)。 根據(jù)結(jié)構(gòu)模型，將圖中各因素兩兩進(jìn)行判斷與比較，構(gòu)造判斷矩陣： 判斷矩陣A-3（即相對(duì)于物流系統(tǒng)總目標(biāo)，判斷層各因素相對(duì)重要性 比較）如表1所示； 判斷矩陣4-C（相對(duì)功能，各方案的相對(duì)重要性比較）如表2所示； 判斷矩陣當(dāng)-C（相對(duì)價(jià)格，各方案的相對(duì)重要性比較）如表

7、3所示； 判斷矩陣當(dāng)（相對(duì)可維護(hù)性，各方案的相對(duì)重要性比較）如表4所zj O表1判斷矩陣A-3A4以B,11/32B,3151/21/51表2判斷矩陣用-。4aG一GG11/31/5311/3g531表3判斷矩陣&CGc一GG127g1/2151/71/51表4判斷矩陣以-。從Ga一gG131/7a一1/311/9G7913、計(jì)算各判斷矩陣的特征值、特征向量及一致性檢驗(yàn)指標(biāo)一般來講，在AHP法中計(jì)算判斷矩陣的最大特征值與特征向量，必不需 要較高的精度，用求和法或求根法可以計(jì)算特征值的近似值。求和法1）將判斷矩陣A按列歸一化（即列元素之和為1）：加=4/小爐2）將歸一化的矩陣按行求和：C

8、iWj （i=1, 2, 3.n）；3）將G歸一化：得到特征向量W= （w vv2, .wn ） L wf=Ci /la ,W即為A的特征向量的近似值；4）求特征向量W對(duì)應(yīng)的最大特征值：/I msx2 , ）求根法1）計(jì)算判斷矩陣A每行元素乘積的n次方根；嗎=口傳（i =1,2,n)W丁2）將因歸一化，得到叱=kt二；（w w2, .wn ） T即為A的特Z嗎/=!征向量的近似值；3）求特征向量W對(duì)應(yīng)的最大特征值：。，工（皿） 力/ 叫（1）判斷矩陣A 8的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)計(jì)算矩陣A-3的特征向量。計(jì)算判斷矩陣A-3各行元素的乘積,并求其次方根，如i2=lx-x2 = -, 叱=班

9、"=0-874 , 類似 地有， W2 = 2.466 ,取=%應(yīng)；=0.464。對(duì)向量沖=M，憶，叱了規(guī)范化，有0.8740.874 + 2.466 + 0.464=0.230叱=1 nZ叱1=1類似地有也=。.6%，隹 =。/22。所求得的特征向量即為:W= 0.230, 0.648, 0.1227計(jì)算矩陣A-3的特征根-11/3241V= 3150,230,0.648,0.122r1/2 1/5 1A 叱=1 x 0.230 +-x 0.648 + 2x0.122 = 0.6913類似地可以得到AI% =1.小,AW3 =0.3666 0按照公式計(jì)算判斷矩陣最大特征根：2之業(yè)=

10、 L_ + J + L = 3.004 m 占 叱 3x0.230 3x0.648 3x0.122一致性檢驗(yàn)。實(shí)際評(píng)價(jià)中評(píng)價(jià)者只能對(duì)A進(jìn)行粗略判斷，這樣有時(shí)會(huì)犯不一致的錯(cuò) 誤。如，己判斷。比C?重要，C2比C3較重要，那么，。應(yīng)該比C3更重要。如 果又判斷C1比C3較重要或同等重要，這就犯了邏輯錯(cuò)誤。這就需要進(jìn)行一致 性檢驗(yàn)。根據(jù)層次法原理,利用A的理論最大特征值入max與n之差檢驗(yàn)一致性。一 致性指標(biāo)：門二冬E "二n（里2） W-1亍 叫計(jì)算C7 = 4皿一 ="）。4_=0.002<0.1, C/?= = 0.003<0.1 ,查同階平均 一 13-1RI

11、隨機(jī)一致性指標(biāo)(表5所示)知四=0.58,(一般認(rèn)為CR<0.7時(shí), 判斷矩陣的一致性可以接受，否則重新兩兩進(jìn)行比較)。表5平均隨機(jī)一致性指標(biāo)階數(shù)34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58(2)判斷矩陣用-C的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第(1)步的計(jì)算過程，可以得到矩陣用-c的特征根、特征向量與 一致性檢驗(yàn)如下：VV =0.105 , 0.258 , 0.637 max = 3.039 , CR = 0.033<0.1（3）判斷矩陣當(dāng)-C的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第（1）步

12、的計(jì)算過程，可以得到矩陣刀：一C的特征根、特征向量 與一致性檢驗(yàn)如下：VV =0.592 , 0.333 , 0.075 '' , 2max = 3.014 , C7? = 0.012 <0.1（4）判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第步的計(jì)算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一 致性檢驗(yàn)如下：VV =0.149 , 0.066 , 0.785/, 2max = 3.08 , CR = 0.069 < 0.14、層次總排序獲得同一層次各要素之間的相對(duì)重要度后，就可以自上而下地計(jì)算各級(jí) 要素對(duì)總體的綜合重要度。設(shè)二級(jí)共有m個(gè)要素C1,C2,Cm，它們對(duì)總

13、值的 重要度為Wi, W2,., Wm;她的下一層次三級(jí)有Pl, P2,Pn共n個(gè)要素，令要 素Pi對(duì)Cj的重要度（權(quán)重）為Vij,則三級(jí)要素Pi的綜合重要度為：匕二嗎%j方案Cl的重要度（權(quán)重）=0.230x0.105+0.648x0.529+0.122x0.149=0.426方案C2的重要度（權(quán)重）=0.230x0.258+0.648x0.333+0.122x0.066=0.283方案 C3 的重要度（權(quán)重）=0.230x0.637+0.648x0. 075+0.122x0.785=0.291依據(jù)各方案綜合重要度的大小，可對(duì)方案進(jìn)行排序、決策。層次總排 序如表6所示。表6層次總排序?qū)哟螌哟?B、當(dāng)層次C總排序權(quán)重0.2300.6480.122G0.1050.5920.1490.4260.2580.3330.0660.2830.6370.0750.7850.2915、結(jié)論由表5可以看出，3種品牌設(shè)備的優(yōu)劣順序?yàn)椋篶., c3, c2,且品牌1 明顯優(yōu)于其他兩種品牌的設(shè)備。“江（皿） I3作業(yè)：某配送中心的設(shè)計(jì)中要對(duì)某類物流裝備進(jìn)行決策，現(xiàn)初步選定三種設(shè)備配套方案， 應(yīng)用層次分析法對(duì)優(yōu)先考慮的方案進(jìn)行排序。解：對(duì)設(shè)備方案的判斷主要可以從設(shè)備的功能、成本、維護(hù)性三方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。當(dāng) 然，如何評(píng)價(jià)功能、