第3講空間計算

1、實用文案第三講空間計算教學目標1、異面直線之間的夾角；2、線面之間的夾角；3、線面之間的距離；4、面面之間的夾角；5、面面之間的距離；教學重點異面直線之間的夾角的求法。教學難點等價問題的相互轉化、以及輔助線作法。教學方法建議1、師生的共同討論與講授法相結合；2、讓學生在學習過程不斷歸納整理所學知識，通過認識空間圖形，培養(yǎng)和 發(fā)展學生的幾何觀察能力、運用圖形語言進行交流的能力、空間想象能 力與一定的推理論證能力；3、通過身邊諸多實物，引導學生思考、舉例和相互交流得出線、面位置關 系的概念；4、采用課件與實物演示的方法，加深學生的理解，讓學生養(yǎng)成利用現有的 物品如筆，書等，對結論進行驗證的習慣；5

2、、進一步培養(yǎng)學生空間問題平面化的思想。選材程度及數量課堂精講例題課堂訓練題課后作業(yè)A類(3 )道(2 )道(7 )道B類(4 )道(2 )道(10)道C類(3 )道(2 )道(8 )道一、知識梳理要點一、異面直線間的夾角1、 角的定義：已知兩條異面直線a,b，經過空間任一點 0作直線a a,b /b，把a ,b所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）；2、 作法：a,b 所成的角的大小與點0的選擇無關，為了簡便，點0通常取在異面直線的一條上；3、夾角范圍：異面直線所成的角的范圍為 （0,90 ;如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作a_b ;4、求解步驟：求兩

3、條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點t平移t定角t計算。實用文案要點二、線面之間的夾角1、角的定義：已知直線 a與平面a相交，設 a在平面內的射影為b，那么與之間的夾角， 稱之為線面角；2、 規(guī)定：如果一條直線與一個平面垂直，就說線面角為90°如果一條直線與平面平行或在這個平面內，就說線面角為0 ° ;3、實質：線面角 t線線角；4、范圍：0江I1，25、作法：找到斜線，再找射影，那么斜線與射影的夾角，就是線面角；6、圖形表示為：要點三、線面之間的距離1、定義：如果一條直線與一個平面平行，那么這條線上的任意點到這個平面的距離均相 等，這個距離也就是這條直線與其在平面上

4、的射影之間的距離；2、 問題轉化：線面距離 t線線距離 t點線距離；3、作法：實用文案要點四、面面之間的夾角1、疋義：右兩個平面 A B相交于直線l ,在直線l上任取一點P,過點P分別在兩個平面內引直線l的兩條垂線分別是 丨1、l2,則1 1與12的夾角就是平面A B的平面角；2、范圍：0,二13、求法：疋義法；一垂線疋理法；4、圖形表示為：B要點五、面面之間的距離1、 定義：如果兩個平面 A B平行，那么有 A上的任意一點 P到平面B的距離就是 A B之 間的距離；2、問題轉化：面面距離 t線面距離 t線線距離 t 點線距離；3、圖示表示為：、例題精講【例題1】、【題目】已知異面直線50&#

5、176;, P為空間一定點，則過點是30°的直線有且僅有（）A. 1 條B. 2a和b所成的角為P且與a、b所成角都條實用文案C. 3條D. 4條【難度分級】：A類【選題意圖】(對應知識點)：異面直線的夾角【解題思路】：仔細閱讀，展開空間想象【解法與答案】：B【解析】：過P作a' / a, b V b,若P a,則取a為a'，若P b,則取b為b' 這 時a , b 相交于P點，它們的兩組對頂角分別為50°和130°。記a : b所確定的平面為B,那么在平面B內，不存在與a , b 都成30°的直線.過點P與a ', b都

6、成30°角的直線必在平面B外，這直線在平面B的射影是a , b所成對頂角的平分線其中射影是 50°對頂角平分線的直線有兩條 I和，射影是 130°對頂角平分線的直線不存在故答案選 B?！纠}2】、【題目】：如圖所示，正方體 ABCABGD , E、F分別是AD AA的中點(1) 求直線AB和CC所成的角的大?。?2) 求直線AB和EF所成的角的大小。匚A【難度分級】：B類【選題意圖】(對應知識點)：異面直線的夾角【解題思路】： 求解異面直線所成角時，需緊扣概念，結合平移的思想，發(fā)揮空間想 象力，把兩異面直線成角問題轉化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉化為共面

7、問題，運用化歸思想將難化易?！窘夥ㄅc答案】：(1)如圖，連結DC ,DC/ AB, DC和CC所成的銳角/ CCD就是AB和CC所成的角。/ / CGD=45° AB和CC所成的角是45 °實用文案（2）如圖，連結DA、AiC, EF/ AD, AB / DC, / ADC是直線AB和EF所成的角 ADC是等邊三角形， / A DC=60o，即直線 AB和EF所成的角是60o .【解析】：解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質，依照選點、平移、定角、計 算的步驟，逐步尋找出解答思路?！纠}3】、【題目】： 正方體ABCD -A'B'C'D'中

8、，AB的中點為 M DD'的中點為 N,異面直 線B'M與CN所成的角是（）.A. 30° B . 90°C . 45°D . 60°【難度分級】：A類【選題意圖】（對應知識點）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細閱讀，平移成一面【解法與答案】：B【解析】：通過作平行線，使異面直線平移到一個平面內，然后利用解三角形的方 法。這種題型比較多見的是平移其中一條與另一條共面，或是同時平移兩條向一個 平面內構成三角形?！纠}4】、【題目】：設異面直線a與b所成角為50°，0為空間一定點，試討論，過點0與a、b所成的角都是0 （0-90 ）

9、的直線l有且僅有幾條？【難度分級】：C類【選題意圖】（對應知識點）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細閱讀，畫空間圖形【解法與答案】：過點O作a1/ a， b1 / b,則相交直線 a” b確定一平面a . a與b1夾角為50 °或 130°，設直線OA與 a、b均為0角。故當0 <25°時，直線l不存在；當0=25°時，直線I有且僅有1條；當25° <0<65°時，直線l有且僅有2條；當0 =65°時，直線l有且僅有3條；當65° <0<90°時，直線l有且僅有4條；當0 =

10、90°時，直線l有且僅有1條?！窘馕觥浚合橐姟窘夥ㄅc答案】?！纠}5】、【題目】：如圖，已知P是平行四邊形 ABCD在平面外一點， M N分別是AB PC 的中點。（1）求證：MNT平面PAD（2）若MN =BC =4 , PA =4. 3，求異面直線 PA與MN所成的角的大小。C【難度分級】：C類【選題意圖】（對應知識點）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細閱讀，畫空間圖形【解法與答案】：（1 ）取PD的中點H連接AH由N是PC的中點 nh/1dc-2由M是AB的中點， NH/AM即AMN為平行四邊形。 MN /AH由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD , MN /平面 P

11、AD（2）連接AC并取其中點為 Q連接OM ON11 0M/丄 BC, ON/丄 PA22所以ZONM就是異面直線 PA與 MN所成的角，且 M0_ NO由 MN = BC =4 , PA = 4/3 ,得 OM2, ON= 2.3所以 ONM -30°，即異面直線 PA與 MN成 30°的角?！窘馕觥浚阂阎悬c，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉化為線面平 行.求兩條異面直線所成角，方法的關鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相 交的線線角，通過解三角形而得?！纠}6】、【題目】：直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD正方形，邊長為 2,側棱AA=

12、3 , M N分別為AB、AD的中點，E、F分別是BC、CD的中點。（1）求證：平面 AMN平面EFDB（2）求平面 AMNI平面EFDB勺距離?！倦y度分級】：B類【選題意圖】(對應知識點)1面面距離【解題思路】：仔細閱讀，等價轉化思想的靈活運用 【解法與答案】：(1)連接AG ,分別交MN EF于P、Q連接AC交BD于0,連接AR OQ 由已知可得MN / EF , MN / 平面 EFDB由已知可得，PQ / A0且PQ =A0AP / 0QAP/ 平面 EFDB平面AMN平面EFDBA H A PHH '由 AP = AA2AP2 = 32( 42.2238)盲,根據V _AMN

13、 =Va_aMN , 貝V1亙2-2 ah 32的距離為6蘭19 。解得AH3 19右.所以，平面AMN與平面EFDB(2)過A作平面A嘰平面EFDB勺垂線，垂足為H H，易得陽嚴話【解析】第( 1)第( 2)“線線平行f線面平行f面面平行”。問證面面平行，轉化途徑為問求面面距離，巧妙將中間兩個平面的距離，轉化為平面另一側某點到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離等價轉化的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉化思維，將此例中的兩個平面的距離，轉化為求點B到平面ABC的距離?！纠}7】、【題目】：已知棱長為1的正方體ABCDABCD中，E是AB的中點，求直線 AE 與平面ABGD所成的角的

14、正弦值。Cl【難度分級】：B類【選題意圖】（對應知識點）：線面夾角【解題思路】：仔細閱讀，畫空間圖形【解法與答案】：取CD的中點F,連接EF交平面ABC1D1于0,連AO 由已知正方體，易知 E0 _平面ABC1 D1，所以.EA0為所求。在 RtEOA 中，EO=1EF=AD 二湮，AE =J（1）2+12 =逅，2 2 2 2 2。嚨斗所以直線AE與平面ABCi Di所成的角的正弦值為 。5【解析】：線面夾角的一般思路應該是先作角。通常是找出這個面的法線，然后構筑直角三角形，再通過三角函數進一步求解?！纠}8】、【題目】：如圖所示，設平面a/平面B,AB CD是兩異面直線，且 A、Ca,B

15、 DB, ACL BD AC=6, BD=8. M是AB的中點，過點 M作一個平面 畀，交CD與N,且/:，求線段MN的長。【難度分級】：C類【選題意圖】（對應知識點）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細閱讀，畫空間圖形【解法與答案】：連接BC與平面V交于點E,分別連接 ME NE易知平面 MEN/平面a,平面 MEN/平面B。由于平面 ABC平面BDC分別與三個平行平面相交，所以，ME/ AC EN / BD M是AB的中點 E、N分別是BC CD的中點11二 ME 二 AC =3 , EN 二 BD =422又 I ACLBD MEL EN 所以 MN = 3_42 =5?！窘馕觥浚簩⒖臻g幾

16、何問題轉化為平面幾何問題是解決立體幾何問題的最終歸宿。 本題很好的借助了中位線平行原理，既利用了已學過的平面幾何的知識，又巧妙的 構筑了共面的條件?！纠}9】、【題目】：正三棱柱AB（ A B C中，AA=2AB, D E分別是側棱 BB、CC上的點, 且EOBC=2BD過A、D E作一截面。求：（1 ）截面與底面所成的角；（2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比。CiEC【難度分級】：B類【選題意圖】（對應知識點）：面面夾角【解題思路】：仔細閱讀，畫空間圖形【解法與答案】：（1）延長ED交CB延長線于F,1：DBEC,BD EC,. FB 二 BC 二 AB.又.ABF =120 2 /BAF

17、BFA =30 ，/FAC =90 AA - AF, AC _ AF,角在 Rt AEC中,(2)設 AB=a,AF _ AE,EAC為截面與底面所成二面角的平面EOAC 故得/ EAC45°則AA,= 2a, BD1 a, EC 二 a, V2A -BCEDVA1B1C1 SBCS ABC AAa 2a =2 a ,VADE -A1B1C13 3a ,83 3 3VADE 1B1C1=3SA -BCDE【解析】：截面問題的研究，需注意結合截面的性質如何作出截面，是解決問題的關鍵，然后把截面的看成一個平面圖形求二面角時，抓住二面角的平面角定義（兩線垂棱），找出其平面角，解直角三角形。

18、【例題10】、【難度分級】：C類【選題意圖】（對應知識點）線面夾角、面面夾角【題目】：直線a、b、c共點P,且兩兩成60°角，求c與a、b所確定的平面a所成角的余弦值?！窘忸}思路】：仔細閱讀，畫空間圖形【解法與答案】：解：在c上截PQ=1,b =P確定平面a.過Q作QHLa于H,過H作HAL a于A, HBL b 于 B,連 QA QBHB _ PB占13= PB_面QBH 二 PB _QB二 PB 二,QB .QH _PB22易得 QPB2A QPA QH&A QHA HB=HA二 PH 為/ APB的角平分線.3二.HPA =30 = PH .3J3V3COS. QPH

19、p.即c與a、b所確定的平面a所成角的余弦值為=三、課堂練習度?！揪毩?】、如圖所示，正方體 ABCD ABCP中，直線AB與BG所成角為【解答】60【練習2】、已知空間四邊形 ABCD各邊長與對角線都相等，求 AB和CD所成的角的大小【解答】PM PN,由三角形的中位線性質知PN/分別取AC AD BC的中點P、M、N 連接AB PM/ CD于是/ MPN就是異面直線 AB和CD成的角，如圖所示。連結 MN DN 設 AB=2,. PM=PN=1.而 AN=DN=V3，貝U MNL AD AM=1,得 MN2 , MN=MP+NP, / MPN90°,即異面直線 AB CD成 90

20、° 角?！揪毩?】、如圖所示，ABCD是矩形，PA_平面ABCD , PA二AD二a, AB =”2a , E是PE bf i線段PD上的點，F是線段 AB上的點，且 竺二=丄.求直線EF與平面ABCD所成角ED FA 2的正弦值【解答】=弓,FM = , AM2 AF2；PA_平面ABCD ,過E作EM _AD于M ,則EM _平面ABCD ,連FM ,則乙EFM 為直線EF與平面ABCD所成的角。EM在 RfFEM 中，tan. EFM 二宜=-./. sin. EFM 二3 .FM 3132【練習4】、四面體ABCD中，AC=BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF 2 AC

21、 ,2 ZBDC =90 ,求證：BD _ 平面 ACD?！窘獯稹咳D的中點G ,連結EG,FG。 E,F分別為AD,BC的中點 EG /-AC , FG 仏 BD2 2又 AC =BD,1 FG = EG = AC2 ，在-EFG 中，EG2 FG2 h- AC2 =EF2 ,2 EG _ FG , BD _ AC，又.BDC =90，即 BD _ CD , AC 仃 CD =CBD _平面ACD【練習5】、給出下列說法： 直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行； 夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面； 直線ml平面a,直線 n丄m則n/a； a、b是異面直

22、線，則存在唯一的平面a,使它與a、b都平行且與a、b距離相等。其中正確的兩個說法是().A. B.C. D.【解答】D?！揪毩?】、如圖所示，在三棱錐 PABC中，PA丄BC,PB丄AC , PO丄平面ABC垂足 為0。求證：O為底面 ABC的垂心?！窘獯稹窟B接OA OB OC PO _ 平面 ABC PO _ BC, PO _ AC 又/ PA _ BC, PB _ AC ,- BC _平面 PAO, AC _平面 PBO，得 AO _BC, BO _ AC , O為底面 ABC的垂心。四、課后自我檢測題1、A是厶BC叩面外的一點， E F分別是BC AD的中點,(1) 求證：直線 EF與B

23、D是異面直線；(2) 若ACL BD AG=BD求EF與BD所成的角2、 已知平面:/平面一：，P是:外一點，過點P的直線m與:分別交于點A,C，過點P的直線n與分別交于點B,D，且PA=6，AC =9，PD=8，則BD的長為（）A. 16 B.24或 24 C. 14 D.2053、 已知Rt ABC，斜邊BC/平面：，Ad AB AC分別與平面:-成30°和45°的角， 已知BC=6,求BC到平面:-的距離。4、在正方形SGG2G3中，E F分別是GG、GG的中點，現沿SE、 成一個四面體，使 G、G、G重合為點G則有（A. SGL面 EFG B.EGL面 SEFSF、

24、EF把這個正方形折C.)GFL面 SEF D.SGL面 SEF5、把正方形 ABCD&對角線AC折起，當以A、B、C D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（）A. 90°B. 60 °C. 45 °D.30°6、如圖所示，在正方體 ABCD ABGD中，E是CC1的中點。求證：平面ABD _平面BED。AB7、過正方形 ABCD勺頂點A作線段AP丄平面ABCD且APAB則平面 ABP與平面CDP所成的二面角的度數是（）.A . 30°B . 45 °C . 60°D . 90°

25、;8、在三棱錐 A- BCD中，如果 ADL BC BDL AD BCD是銳角三角形，那么（）個平面內的無數條直線，那么這條直線和這 個平面垂直；過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；垂直同一平面的兩條 直線互相平行；經過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直其中正確的說法個數是( )實用文案A.平面ABDL平面ADCB.C.平面BCDL平面ADCD.9、在直二面角： _AB _ 1棱AB上取一點P,線PG PD則/ CPD勺大小是()A . 45°B. 60°10、下面四個說法： 如果一條直線垂直于-平面ABDL平面ABC平面ABCL平面BCD過P分別在:平面內作與棱成

26、45°角的斜C. 120° D . 60° 或 120 °A.1 B. 2 C. 3 D. 411、E是正方形 ABC的AB邊中點，將 ADEWA BCE沿 DE CE向上折起，使得 A、B重合為點P,那么二面角 D- PE-C的大小為 。12、 空間四邊形 ABCDK AB=BC Ct=DA E是AC的中點，則平面 BDEW平面ABC勺位置關系疋.13、如圖，正三角形 ABC勺邊長為3,過其中心 G作 BC邊的平行線，分別交 AB AC于 B,、C 將AB.C, 沿BG折起到 "B! G的位置，使點 A在平面BB! G C 上的射影恰是線段

27、BC的中點M試求二面角A BG M的大小.14、如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，側棱 PA垂直于底面，E、F分別是AB PC的中點(1) 求證：CDL PD(2) 求證：EF/平面PAD(3) 當平面PCD與平面ABCD多大角時，直線 EF丄平面PCD15、把直角三角板 ABC勺直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊 AC與桌面所在的平面:.垂 直，a是：.內一條直線，若斜邊 AB與a垂直，則BC是否與a垂直？16、如圖所示，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PAL平面ABC。(1) 求證：平面PACL平面PBC(2) 若D也是圓周上一點，且與 C分居直徑AB的兩側，試寫出圖

28、中所有互相垂直的 各對平面17、三棱錐P -ABC中，PA =PB =PC , P0丄平面ABC垂足為 Q 求證：0為底面 ABC 的外心.P0丄平面ABC垂足為 0,18、三棱錐P ABC中，三個側面與底面所成的二面角相等, 求證：0為底面 ABC勺內心。19、如圖所示，在正方體 ABCDAiBCD中.求證：(1) BD丄平面AQB；(2) Bi D與平面ACB的交點設為 0,則點0是 ACB的垂心.20、如圖所示，已知 A B CABC是正三棱柱，D是AC中點.(1 )證明：AB/平面DBC(2)假設AB丄BC, BC= 2,求線段 AB在側面B BCC上的射影長21、在斜三棱柱 ABCA

29、BC中，底面是等腰三角形，AB=AC側面BBCC丄底面ABC(1) 若D是BC的中點，求證： ADL CC;(2) 過側面 BBCC的對角線 BC的平面交側棱于 M若AM=MA,求證：截面 MBCL側 面 BBCC;(3) 如果截面 MBCL平面BBCC，那么AMMA嗎？請你敘述判斷理由.AC上運動，且 AM=AN求MN勺最小值22、如圖所示，在棱長為 1的正方體ABCD - ABQQ!中,23、如圖所示，在正方體 ABCD - ABQP中，E是CG的中點，F是AC, BD的交點。求證：AF _平面BED .24、如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M N分別為AB、AD的中點，

30、E、F分別是BC、CD的中點.(1) 求證：E、F、B D共面；(2) 求證：平面AMN平面EFDBA25、已知正三棱錐P -ABC的體積為72.3，側面與底面所成的二面角的大小為60 。(1) 證明：PA _BC ；(2) 求底面中心0到側面的距離五、自我檢測題答案1、 解：(1 )證明：用反證法.設EF與BD不是異面直線，則 EF與BD共面，從而 DF與BE 共面，即AD與 BC共面，所以 A B、C、D在同一平面內，這與 A是厶BCD平面外的一點相 矛盾故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點 G 連結EG FG貝U EG/ BD所以相交直線 EF與EG所成的銳角或 直角即為異面直

31、線 EF與BD所成的角.在Rt EGF中，求得/ FEG45°，即異面直線 EF與BD所成的角為45° .2、B.3、解：作BB二于Bi , CG .丨驀于Ci，則由BC /.，得BBi -CCi，且CCi就是BC到平面:的距離，設 CC1 =x，連結 AB1, AC1，則.BABi =30 CACi =45、',AC = . 2x, AB =2x ,在 Rt. ABC 中，BC =6,. BAC =90；,二 36 =2x2 4x2 x - .6，即 BC到平面：的 距離為 6 .4、A。5、C6、 證明：連接 AC 交 BD于 F,連接 AF , EF, A1E

32、 , AG .由正方體ABCD ABGD，易得AD =AB , ED=EB , F是BD的中點， 所以AF丄BD, EF丄BD，得到AFE是二面角 A BD E的平面角.設正方體 ABCD ABGD的棱長為2,貝UAF2 二AA2 AF2 =22 ( 2)2 =6 , EF2 二CE2 CF 2 =12 (. 2)2 =3 ,AE2 二ACi2 CE2 =(2 2)2 12 =9. AF十EF =AE，即AF丄EF，則乂 AFE=90°,所以平面ABD丄平面BED .7、B。8、Co9、Do10、Co11、60°o12、垂直13、解：連接 AG GMI AG/ G是正 AB

33、C的中心，M是BC的中點， A、G M三點共線，且 AGGM2:1 , AML BCT BG / BC , AM _BQ,即 AG B&, GM _BG,- AGM為二面角A, _BG M的的平面角 M是點A在平面BBQQ上的射影，即 A,M _平面BBQC ,在Rt.'AMG中，由GM 1cosMAGM,得 ZA1GM =60 .即二面角 A - B.C.AG 2M的大小是60 ° .14、解：(1)證明：T又 CDL AD CDL平面 PAD CDL PD(2) 證明：取 CD中點G連EG FG t E、F分別是AB PC的中點， EG / PD 平面EFG/平面

34、PAD故EF/平面PAD(3) 當平面 PCDW平面ABCD成 45°角時，直線 EFL面PCD證明：G為CD中點，貝U EGL CD由 知FGL CD故/ EGF為平面PCD與平面 成二面角的平面角.即/ EGI=45°,從而得/ ADP45°, ADAP由 Rt PA匡 Rt CBE 得 PE=CE由 CDL EG CDL FG 得PAL底面 ABCD C左平面 ABCD： PAL CDCDL平面又F是PC的中點， EFL PCEFG CDL EF即 EFl CD 故 EF丄平面 PCDAD FGABCD所15、解:a 二：a _ ACa _ ABAC ABa

35、 _平面ABCBC二平面ABC16、解：(1)證明：t C是AB為直徑的圓 O的圓周上一點，又PAL平面ABC BC平面ABC BCL PA從而BC丄平面PACt BC 平面PBC平面PACL平面PBC(2)平面 PACL平面 ABCD平面 PA丄平面 PBC平面 面ABCD平面PADL平面ABCD17、證明：連接OA OB OCt PO _ 平面 ABC PO _OA, PO _OB, PO _OC 在厶 PAO PBO PCC中, NPOA =NPOB =NPOC =90°,AB是圓O的直徑,PADL平面PBD平面BCL ACPABL平實用文案PA 二PB 二PC , PO邊公共

36、. POA = . POB 三.：POC . OA =OB =OC ,所以，O為底面 ABC的外心.18、【證】作 PD丄AB于D, PE丄BC于E, PF丄AC于F,連接 OD OE OF PO 丄平面 ABC - PO 丄OD, PO 丄OE, PO 丄OF，PO _AB, PO _BC, PO _ AC .又/ PD _AB, PE _BC, PF _AC , AB _ 平面 PDO, BC_ 平面 PEO, AC _ 平面 PFO . 得 OD _AB, OE _BC, OF _AC, . PDO,. PEO,. PFO為三個側面與底面所成的二面角的平面角.即得.PDO PEO PFO

37、 ,/ PO邊公共， . PDO 二.PEO 二.PDO，得 OD =OE =OF ,又 OD _ AB, OE _ BC, OF _ AC .O為底面 ABC的內心.i 9、證明：(i )連接 Bi D ,貝U A C丄BD.又有DD丄AQ,. AG丄平面Bi DD,從而 AC丄BD.同理可證：AB丄BD BD丄平面ACB(2)連接 BO AQ CO由B Bi丄AiC , BO丄AC,得到AQ丄平面B BiO AQ丄BO同理，AB丄CO, BC丄AO故點0是厶AiGB的垂心.20、解：(1 )證明：由 ABCABC是正三棱柱, 四邊形BBCC是矩形. 連BiC與BC交于E,貝U E為BC的中

38、點，連 DE D是AC的中點. ED/ AB , 又EX平面BDC AB平面BDC 所以AB/平面BDC(2)解：作 AFL BC 垂足為 F. / 面 ABCL面 BBCC, AF丄面 BBCC 連BiF,貝U BF是AB在平面B BCC內的射影. BC! AB , BC! Bi F.：四邊形 B BCC是矩形，/ B BF=Z BCC= 90° ,又/ FBB=Z C BCBBMA BCC工=二_=二_.BC CC i B i B又F為正三角形 ABC的BC邊的中點.因而BiB2= BF- BC= i x 2 = 2 ,于是 BiF2 = B B2 +BF = 3 BF= 3 ,即線段AB在平面BBCC內的射影長為 3.21、解：(i )證明：T ABAC D是 BC的中點， ADL BC底面 ABCL平面 BBCC, ADL側面 BBCC, ADL CC.(2)證明：延長BA與BM交于N,連結CN.T AM=MA NA=Ai B