級數(shù)及其應用資料

1、第四講 級數(shù)、級數(shù)的概念及收斂級數(shù)的性質(zhì)1）級數(shù)和的定義：對于級數(shù)QOQO、Un，Sn是其前n項的和，我們定義 7 Un =lim Sn。 心n廠例 1 :設 U1 = 2 , Un 1 = u；-Un 11、的和。n =4 u n2解：因為 Un 1 二 Un -Un 1 二 Un 1j = Un Un "二Un1-1UnUn 1 - 11 1=+Un Un 1 - 1n所以Snk 42）收斂級數(shù)的性質(zhì)1Uk -11Uk 1 -11U| - 11Un 1 -1Un 1 -1qQ性質(zhì)：（柯西收斂準則）如果級數(shù)7 Un收斂,n 4Sn是其前n項的和,則對任意的正數(shù) p有例2 :設f心？

2、是單調(diào)增加的正數(shù)數(shù)列，證明：級數(shù)oOzn呂Pn1與級數(shù)同斂散。證明：（1）因為-1Pl P2 川 Pn npn，所以級數(shù)Pn收斂則P2 川Pn級數(shù)J n丘pn定收斂;（2）又因為2nP1 P2 "I P2n2n由收斂級數(shù)的性質(zhì),pn 12n +1P1 P2 川 P2n 1”2n +2Pn 1 ' Pn' P2n 12<Pn 1如果級數(shù) 丄nW pnoO收斂，則級數(shù)'、n=1 pn 12也收斂，由比較判別法級數(shù)2nzn Pl GV P2n2n 1,收斂，因此級數(shù)n Pl P2 1() ' P2n 1ZnJ Pl ' P| Pnn2收斂。廠

3、1 -eJ的斂散性。例3:判別級數(shù)1 -敘n丿解：因為lim 1n 5：n2.ne=£n ；： e21n2n2n en2二 lim n l :二 limn i:所以級數(shù)J 11J nJn2e發(fā)散。、常數(shù)項級數(shù)1) 正項級數(shù)斂散判別法：比較判別法、比之判別法、根式判別法。定理1:(拉貝判別法)對于正項級數(shù)送un，如果lim n 1-加 =r，則當 n 壬" <u nJ0(1) r 1時，正項級數(shù)7 un收斂;n £oO(2) r : 1時，正項級數(shù)工un發(fā)散;n=1(3) r =1時，不能確定正項級數(shù) 7 un的斂散性。n3證明:我們證明2)如果lim n 1

4、n咨un 1?。?0使得r ； ： 1，由極限的定義，存在自然數(shù) N0 0 ,當n _ N0時，有/ 、/ 、n1un十rrg< n1 u n4t<un丿<un丿:r :： 1un 1uN0unA . 1 _ = 0unn丄n -11N0 -1 -n因為7 1發(fā)散，由比較判別法，可得級數(shù)n 4 nun發(fā)散。n =1遠 nn例4:判別正項級數(shù)v 的斂散性。 n ne n!解：利用拉貝判別法，因為lim nn l :j n卅(n +1) enH1(n +1 JqQ所以正項級數(shù)'、nnn i n衛(wèi) e n!nnn!發(fā)散。用x替換1，貝U n 時,n1僅eF面是以上極限的算法

5、X0xe1e ln (1+x)+1x2x(1 + x)丿 x ' limlimx > o xex oln 1 x 11 x ln 1 x -xx(1+x)丿2x2 1 x所以In 1 x 2x 3x21 ln (1 +x)=lim limx « o 2 亠 3x x 1 o1In 1 x 鼻2 3xlim nn廠,.n +W+1 )_ en 1 n 1 !nne n!2) 一般項級數(shù)審斂法：萊布尼茨判別法、條件收斂和絕對收斂。 例5:判別下列級數(shù)的斂散性£ (-廿(1)nn=2 . n -1n£ (T)(2 ) n2n -1n解：(1)因為 f (

6、1 ),工 m+ (T).n(T) 一 (T)- 1 -n12 nn(T)2n00 (-1而級數(shù)7_nz2 JnO0n=2n / n 、（-1）（-1）亍Lt都收斂n收斂。所以；：'-=1n心Jn+（-盯n(-1)n(-ni n1工UnUnn(-1) +1+J1】=-十一十o 、，n nn00 (-1 而級數(shù)'、-一-n =2Jnn(-noO'nz2 n.nn ” i,;1 ? 1收斂，級數(shù)7 1發(fā)散 nz2I n n心 nn所以云發(fā)散。n =2 . n -1三、函數(shù)項級數(shù)1）函數(shù)項級數(shù)的一般概念2）幕級數(shù)：收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、幕級數(shù)求和、函數(shù)展成幕級數(shù)。函數(shù)f

7、 x的麥克勞琳級數(shù)f "f 0 'f 0 f x = f 0 f 0 xx2xn |l注意運用好幕級數(shù)逐項求導、逐項積分的性質(zhì) 函數(shù)展成幕級數(shù)常用公式J =1 X x2|l| xn | X ： 11 -xx1213e 1 x x x 2!3!1 21 4x 4!cosx =1 x22!丄 x21 川xn m 4!n!-川+ (-1)n 12n!x2n H，13sin x = x x 3!丄x55!-川+(-1)n 12n 1!x2n1"'xnII) x ：1例6:設函數(shù)f x-求f n 0。1 x x211 _xw解：因為 f x 2x3 ='1 X

8、 '1 +x +x1 -x3nxn=00000- 3n3n 1X xn £n =0n!1x J mxx2 山 mmWmn 12!3）傅立葉級數(shù)(3巧所以 fn 0=£-?3m1!0n =3mn =3m 1n =3m 2匚 1例 7 :設 f x2 xn , x ：. J_0 , 1 n二 n(1)證明：f x f 1x In x In 12JIX飛；(2)計算1 1In xdx。0 x -2解: (1 )設 F x = f x f 1 -x Inx In 1 -x，因為F x = f xf 1 -xIn 1 -x )xIn xan 4n 1=0f C-x)-n4 n

9、1所以F x在10, 1 上恒為常數(shù)。又因為 F 1二f 11心n函數(shù)g x = x ,-x _ -:的傅立葉級數(shù)為g(x尸廣n2 J -12ncos nx4 ：1cosx 2 cos3x 山 一！3 cos 2 n -1 x 川 (2n-1)11 1當 x=0 時，可得 1 -2 一123(2 n_1)TL2“2nF 1 =4St =StS1In xdx =-2n210上： 1In xdx市n -02In xdx由(1)可得2fIn2JT22 二f I n222 12 2，即1 1二 21 2In xdxIn 2。例 8:證明：<esinxdx ： 2二e4 。證明：利用泰勒公式esi

10、nx.2. sin x=1si n x2!nsin x+-n!仝 sinn 1 x n 1 !其中在0 , sin x之間,=3時,，esinxdx 2 sin 1 si n xx2!也dx3!=2m 時,F.2.3. sin x sin x1 sin x2!3!§cos2x dxR0 442,71esinxdx 二esinxdx=2二-31m+zk 22k二 sindx+ 12k !-書-2m4r: e 1 sin x ,dx乜 i2m 1 !n2 sin2k xdx02m 1 !=2-k 142k !2k -12kE4+2m 1 !+2m 1 !m= 2?："2).圧

11、|k 壬 l( k! j當mr :時,qQ Jdx _2二 2二三 |z(k! j<2n1+瓦£y k!< )1 =2 二 e4。旳1V I n x-n n4 a1解：因為lim旦n存 1a例9:求幕級數(shù)a - 0的收斂域。當x =1時，因為=lim an_j:-lim a_1，此幕級數(shù)收斂半徑為1。n ?:1a1a nnln a00 1=>1級數(shù)區(qū)收斂， n# a"n1= 0<1級數(shù)瓦r發(fā)散，nn=1 aod 1當0 ：a叮時，lim nln a 八 1級數(shù)a 1發(fā)散; n“nnln a當 a 1 時，lim -nY J n + Jn +1 n I

12、n a當 a =1 時，lim=一n*J n + Jn +1n In a當x二-1時，對于級數(shù)V Tn. ann當a kn q e k =o k!時，級數(shù) a1n絕對收斂，當a =1時，級數(shù)'、n An疵-1)n發(fā)散, an 1當0 : a ：1時，因為1lim0，n ?：a nn二 _1級數(shù)'_發(fā)散;na a-n:1由以上討論可得,a 1時,級數(shù)71 xn a 0收斂域為-1 , 1 1;當0：a叮時,nWn1級數(shù)瓦Xn nn 4 a例10:設n 1為整數(shù)，F(xiàn) x二°t，證明方程F x 在區(qū)7 2,n內(nèi)至少有一個根。證明:t2tn因為et =1 t，當t 0時,2!n!t2tne 1 t-2!n!n2eneefdt1 -1!-W1! 2!f山2!n! 0tn1詩1+E+C+iii +1!2!(n -1 J 、dt! 2!(n1 )丿dtkn.、= 2e八丄-e八d J k=0 k!k*011)11! 2!n-2 !n nk_n n_n n二 neeek=0 k!nfkk =e k!1 k八k =0 k!n +°e dtk nen J k.八 nn 1_e工n 4 n 12 zk!2n>-2利用介值定理