最經(jīng)典CATIA曲線曲面設計基本理論

1、CATIA曲線曲面設計基本理論一、概述曲面造型(Surface Modeling是計算機輔助幾何設計(Computer Aided Geometric Design,CAGD和計算機圖形學的一項重要內(nèi)容,主要研究在計算機圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對曲面的表示、設計、顯示和分析。它起源于汽車、飛機、船舶、葉輪等的外形放樣工藝,由Coons、Bezier等大師于二十世紀六十年代奠定其理論基礎。經(jīng)過三十多年的發(fā)展,曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(RationalB-spline Surface參數(shù)化特征設計和隱式代數(shù)曲面(Implicit Algebraic Surface表示這兩類方法為主體,以插值(

2、Interpolation、逼近(Approximation這二種手段為骨架的幾何理論體系。形狀信息的核心問題是計算機表示,既要適合計算機處理,且有效地滿足形狀表示與設計要求,又便于信息傳遞和數(shù)據(jù)交換的數(shù)學方法。象飛機、汽車、輪船等具有復雜外形產(chǎn)品的表面是工程中必須解決的問題。曲面造型的目的就在如此。 1963年美國波音(Boeing飛機公司的佛格森(Ferguson最早引入?yún)?shù)三次曲線(三次Hermite 插值曲線,將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式,構造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片,從此曲線曲面的參數(shù)化形式成為形狀數(shù)學描述的標準形式。 僅用端點的位置

3、和切矢控制曲線形狀是不夠的,中間的形狀不易控制,且切矢控制形狀不直接。 1964年,美國麻省理工學院(MIT 的孔斯(Coons 用四條邊界曲線圍成的封閉曲線來定義一張曲面,Ferguson 曲線曲面只是Coons 曲線曲面的特例。而孔斯曲面的特點是插值,即構造出來的曲面滿足給定的邊界條件,例如經(jīng)過給定邊界,具有給定跨界導矢等等。但這種方法存在形狀控制與連接問題。 1964年,舍恩伯格(Schoenberg 提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。1971年,法國雷諾(Renault 汽車公司的貝塞爾(Bezier 發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和 曲面的方法。這種方法不僅簡單易用,而且漂亮地解決了整

4、體形狀控制問題,把曲線曲面的設計向前推進了一大步,為曲面造型的進一步發(fā)展奠定了堅實的基礎。 但當構造復雜曲面時,Bezier 方法仍存在連接問題和局部修改問題。 同期,法國雪鐵龍(Citroen 汽車公司的德卡斯特里奧(de Castelijau 也獨立地研究出與Bezier 類似的方法。 1972年,德布爾(de Boor 給出了B 樣條的標準計算方法。1974年,美國通用汽車公司的戈登(Gorden 和里森費爾德(Riesenfeld 將B 樣條理論用于形狀描述,提出了B 樣條曲線和曲面。這種方法繼承了Bezier 方法的一切優(yōu)點,克服了Bezier 方法存在的缺點,較成功地解決了局部控制

5、問題,又輕而易舉地在參數(shù)連續(xù)性基礎上解決了連接問題,從而使自由型曲線曲面形狀的描述問題得到較好解決。但隨著生產(chǎn)的發(fā)展,B 樣條方法顯示出明顯不足,不能精確表示圓錐截線及初等解析曲面,這就造成了產(chǎn)品幾何定義的不唯一,使曲線曲面沒有統(tǒng)一的數(shù)學描述形式,容易造成生產(chǎn)管理混亂。1975年,美國錫拉丘茲(Syracuse 大學的佛斯普里爾(Versprill 提出了有理B 樣條方法。 80年代后期皮格爾(Piegl 和蒂勒(Tiller 將有理B 樣條發(fā)展成非均勻有理B 樣條方法(即NURBS ,并已成為當前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術。NURBS 方法的突出優(yōu)點是:可以精確地表示二次規(guī)則曲線曲

6、面,從而能用統(tǒng)一的數(shù)學形式表示規(guī)則曲面與自由曲面,而其它非有理方法無法做到這一點;具有可影響曲線曲面形狀的權因子,使形狀更宜于控制和實現(xiàn);NURBS 方法是非有理B 樣條方法在四維空間的直接推廣,多數(shù)非有理B 樣條曲線曲面的性質(zhì)及其相應算法也適用于NURBS 曲線曲面,便于繼承和發(fā)展。 由于NURBS 方法的這些突出優(yōu)點,國際標準化組織(ISO于1991年頒布了關于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP 國際標準,將NURBS 方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學描述方法,從而使NURBS 方法成為曲面造型技術發(fā)展趨勢中最重要的基礎。曲線、曲面的顯式、隱式、參數(shù)表示曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示。

7、顯式:形如z =f(x,y的表達式。對于一個平面曲線,顯式表示一般形式是:y=f(x。在此方程中,一個x值與一個y值對應,所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線,例如,不能用顯式方程表示一個圓。隱式:形如f(x,y,z=0的表達式。如一個平面曲線方程,表示成f(x,y=0的隱式表示。隱式表示的優(yōu)點是易于判斷函數(shù)f(x,y是否大于、小于或等于零,也就易于判斷點是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側。參數(shù)表示:形如x =f(t,y =f(t,z =f(t的表達式,其中t為參數(shù)。即曲線上任一點的坐標均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。如平面曲線上任一點P可表示為:P(t = x(t, y(t;空間曲線上任一三維點P可表

8、示為:P(t = x(t, y(t, z(t;如圖: 最簡單的參數(shù)曲線是直線段,端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為:P(t = P1 + ( P2 - P1 t t0, 1;圓在計算機圖形學中應用十分廣泛,其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為: 其參數(shù)形式可表示為: 參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點,計算機圖形學中通常用參數(shù)形式描述曲線、曲面。其優(yōu)勢主要表現(xiàn)在:(1可以滿足幾何不變性的要求,坐標變換后仍保持幾何形狀不變(2有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為: 只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達式為: 有8個系數(shù)可用來控制此

9、曲線的形狀。(3對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換,必須對其每個型值點進行幾何變換,不能對其方程變換(因不滿足幾何變換不變性;而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。(4便于處理斜率為無窮大的情形,不會因此而中斷計算。(5參數(shù)方程中,代數(shù)、幾何相關和無關的變量是完全分離的,而且對變量個數(shù)不限,從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學公式處理幾何分量。,使其相應的幾何分量是有界的,而不必用另外的參數(shù)去定義邊(6規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1界。(7易于用矢量和矩陣表示幾何分量,簡化了計算。位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率(見高等數(shù)學

10、 插值、逼近、擬合插值:給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi,i=0, 1, , n,構造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點,稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值,所構造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等。逼近:構造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點,稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近,所構造的曲線為逼近曲線。擬合:插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合(fitting。光順、連續(xù)性光順:通俗含義指曲線的拐點不能太多,曲線拐來拐去,就會不順眼,對平面曲線而言,相對光順的條件是:a具有二階幾何連續(xù)性(G2;b不存在多余拐點和奇異點;c曲率變化較小。連續(xù)性:設計一條復雜曲線時,常常通過多段曲線組合而成,這需要解決曲線段之間如

11、何實現(xiàn)光滑連接的問題,即為連續(xù)性問題。曲線間連接的光滑度的度量有兩種:一種是函數(shù)的可微性,把組合參數(shù)曲線構造成在連接處具有直到n階連續(xù)導矢,即n階連續(xù)可微,這類光滑度稱之為C n或n階參數(shù)連續(xù)性。另一種稱為幾何連續(xù)性,組合曲線在連接處滿足不同于C n的某一組約束條件,稱為具有n階幾何連續(xù)性,簡記為G n。曲線光滑度的兩種度量方法并不矛盾,C n連續(xù)包含在G n連續(xù)之中。 對于上圖所示二條曲線P(t 和Q(t,參數(shù),若要求在結合處達到G0連續(xù)或C0連續(xù),即兩曲線在結合處位置連續(xù):P(1 = Q (0 。若要求在結合處達到G1連續(xù),就是說兩條曲線在結合處在滿足G0連續(xù)的條件下,并有公共的切矢: (

12、1-1當時,G1連續(xù)就成為C1連續(xù)。若要求在結合處達到G2連續(xù),就是說兩條曲線在結合處在滿足G1連續(xù)的條件下,并有公共的曲率矢: (1-2代入(1-1得: 這個關系為:(1-3 即Q”(0在P”(1和P(1確定的平面內(nèi)。為任意常數(shù)。當,時,G2連續(xù)就成為C2連續(xù)。在弧長作參數(shù)的情況下,C1連續(xù)保證G2連續(xù),C1連續(xù)能保證G2連續(xù),但反過來不行。也就是說C n連續(xù)的條件比G n連續(xù)的條件要苛刻。 簡單代數(shù)曲面在造型系統(tǒng)中常見,但遠遠不能滿足復雜曲面造型的要求。給定空間n+1個點的位置矢量Pi (i=0,1,2,n ,則Bezier 參數(shù)曲線上各點坐標的插值公式是: 將其寫成矩陣表達形式為:P (

13、t = Pn P P t B t B t B n n n n .(.(10,1,0其中,P i 構成該Bezier 曲線的特征多邊形,B i,n (t是n 次Bernstein 基函數(shù): 注意:約定 0 = 1, 0! = 1n=0, B 0,0(t = 1n=1, B 0,1(t= 1-t B 1,1(t = t n=2, B 0,2(t = (1-t2 B 1,2(t = 2t(1-t B 2,2(t = t 2n=3, B 0,3(t = (1-t3 B 1,3(t = 3t(1-t2 B 2,3(t = 3t 2(1-t B 3,3(t = t 3 如圖所示是一條三次Bezier 曲線

14、實例,即 n = 3 。 圖 三次Bezier 曲線對于三次Bezier 曲線,其表達式為(3,3t B P t P i i i = t 0,1式中:B 0,3(t = (1-t3 ,B 1,3(t = 3t(1-t2, B 2,3(t = 3t 2(1-t, B 3,3(t = t 3將其寫為矩陣表達式則為:P (t = B 0,3(t B 1,3(t B 2,3(t B 3,3(t P 0 P 1 P 2 P 3 T= 32102300010033036313311P P P P t t t 式中若求P X (t 的值,則取P i 的x 坐標進行計算,同理求P y (t 、P z (t 的

15、值,具體如下: P x (t = B 0,3(t B 1,3(t B 2,3(t B 3,3(t P 0x P 1x P 2x P 3x T P y (t = B 0,3(t B 1,3(t B 2,3(t B 3,3(t P 0y P 1y P 2y P 3y T P z (t = B 0,3(t B 1,3(t B 2,3(t B 3,3(t P 0z P 1z P 2z P 3z T 注意:上式基函數(shù)的計算僅需一次,不必三次。2.Betnstein 基函數(shù)的性質(zhì)注意:是基函數(shù)的性質(zhì),并非曲線的性質(zhì)。(1正性 (2端點性質(zhì) (3權性 由二項式定理可知: (4對稱性 因為(5遞推性。,其計算

16、過程表示為:B i,n(t B i,n-1(t B i,n-2(t B i,n-3(t B i-1,n-1(t B i-1,n-2(t B i-1,n-3(t B i-2,n-2(t B i-2,n-3(t B i-3,n-3(t 即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。(6導函數(shù) (7最大值:在處達到最大值。 (1端點性質(zhì)a. 曲線端點位置矢量由Bernstein基函數(shù)的端點性質(zhì)可以推得,P(0 = P0,P(1 = P n由此可見,Bezier曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。b. 端點切矢量,因為 即 P(0 = n(P

17、1-P0,P(1 = n(P n-P n-1這說明Bezier曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。 c. 端點二階導矢 即:,上式表明:2階導矢只與相鄰的3個頂點有關,事實上,r階導矢只與(r+1個相鄰點有關,與更遠點無關。(2對稱性。 顛倒控制點順序,即控制頂點構造出的新Bezier曲線,則與原Bezier 曲線形狀相同,僅走向相反。因為: 這個性質(zhì)說明Bezier曲線在起點處有什么幾何性質(zhì),在終點處也有相同的性質(zhì)。(3凸包性由于,且,這一結果說明當t在0,1區(qū)間變 化時,對某一個t值,P(t是特征多邊形各頂點的加權平均,權因子依次是。在幾何圖形上, 意

18、味著Bezier曲線P(t在中各點是控制點P i的凸線性組合,即曲線落在P i構成的凸包之中,如圖所示。 (4幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標變換而變化的特性。Bezier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點 的位置有關,它不依賴坐標系的選擇,即有:(參變量u是t的置換(5變差縮減性。若Bezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形,則平面內(nèi)任意直線與C(t的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù),這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小,也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。 (6仿射不變性對于任意的仿射變換A: 即在仿射變換下,的形式不

19、變。4.Bezier曲線的遞推(de Casteljau算法計算Bezier曲線上的點,可用Bezier曲線方程,但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。 如圖所示,設、是一條拋物線上順序三個不同的點。過和點的兩切線交于點, 在點的切線交和于和,則如下比例成立: ,這是所謂拋物線的三切線定理,其幾何意義如下圖所示。 圖拋物線的三切線定理當P 0,P 2固定,引入?yún)?shù)t ,令上述比值為t:(1-t,即有: t 從0變到1,第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊,它們正好是兩條一次Bezier 曲線。將一、二式代入第三式得: 當t 從0變到1時,它正好表示了由三頂點P 0、

20、P 1、P 2三點定義的一條二次Bezier 曲線。并且表明:這二次Bezier 曲線P 20可以定義為分別由前兩個頂點(P 0,P 1和后兩個頂點(P 1,P 2決定的一次Bezier 曲線的線性組合。依次類推,由四個控制點定義的三次Bezier 曲線P 30可被定義為分別由(P 0,P 1,P 2和(P 1,P 2,P 3確定的二條二次Bezier 曲線的線性組合;進一步由(n+1個控制點P i (i=0, 1, ., n定義的n 次Bezier 曲線P n 0可被定義為分別由前、后n 個控制點定義的兩條(n-1次Bezier 曲線P 0n-1與P 1n-1的線性組合: 由此得到Bezie

21、r 曲線的遞推計算公式: 這便是著名的de Casteljau 算法。用這一遞推公式,在給定參數(shù)下,求Bezier 曲線上一點P(t非常有效。上式中:是定義Bezier 曲線的控制點,即為曲線上具有參數(shù)t 的點。de Casteljau 算法穩(wěn)定可靠,直觀簡便,可以編出十分簡捷的程序,是計算Bezier 曲線的基本算法和標準算法。P 0n 1P P P 12 3n-321Pfunction deCasteljau (i ,j beginif i = 0 thenreturn P 0,jelsereturn (1-u * deCasteljau (i -1,j + u * deCasteljau

22、 (i -1,j +1end這一算法可用簡單的幾何作圖來實現(xiàn)。給定參數(shù),就把定義域分成長度為的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割,所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點,對這些中間頂點構成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割,得第二級中間頂點 。重復進行下去,直到n 級遞推得到一個中間頂點即為所求曲線上的點。 下圖所示為幾何作圖求三次Bezier 曲線(給定參數(shù)域上t =1/3的點。把定義域分成長度為1/3 : (1-1/3的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割,所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點10P 、11P 、12P ,對這些中間頂點構成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的

23、定比分割,得第二級中間頂點20P 、21P 。重復進行下去,直到第3級遞推得到一個中間頂點30P 即為所求曲線上的點P (t 。 圖 幾何作圖法求Bezier 曲線上一點(n=3,t=1/3上述過程的de casteljau 算法遞推出的P k i 呈三角形,對應結果如圖所示。遞歸算法是上述過程的逆過程,首先從上向下遞歸,直到最底層后開始返回,最頂部點P 30即為曲線上的點。 圖 n=3時,P i n的遞推關系另外,這一算法隱含說明任一Bezier 曲線均可被分割為兩段Bezier 曲線。第一段由P 0、P 01、P 02、P 03確定,參數(shù)空間為0,1/3;第二段P 03、P 12、P 21

24、、P 3確定,參數(shù)空間為1/3,1,分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。 圖Bezier曲線的分割(n=3,t=1/3幾何設計中,一條Bezier曲線往往難以描述復雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù),會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高,而高次多項式又會帶來計算上的困難,實際使用中,一般不超過10次。所以有時采用分段設計,然后將各段曲線相互連接起來,并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達到不同階幾何連續(xù)的條件。給定兩條Bezier曲線P(t和Q(t,相應控制點為P i(i=0, 1, ., n和Q j(j=0,1,., m,且令,如圖所示,我們現(xiàn)在把兩條曲線連接

25、起來。(1G0連續(xù)的充要條件是:P n= Q0; (2G1連續(xù)的充要條件是:P n-1,P n = Q,Q1三點共線,即(3G2連續(xù)的充要條件是:在G1連續(xù)的條件下,并滿足方程。 圖Bezier曲線的拼接 我們將、和,、代入,并整理,可以得到: 選擇和的值,可以利用該式確定曲線段的特征多邊形頂點,而頂點、已被連續(xù)條件所確定。要達到連續(xù)的話,只剩下頂點可以自由選取。如果從上式的兩邊都減去,則等式右邊可以表示為和的線性組合: 這表明、和五點共面,事實上,在接合點兩條曲線段的曲率相等,主法線方向一致,我們還可以斷定:和位于直線的同一側。所謂升階是指保持Bezier曲線的形狀與方向不變,增加定義它的控

26、制頂點數(shù),也即是提高該Bezier 曲線的次數(shù)。增加了控制頂點數(shù),不僅能增加了對曲線進行形狀控制的靈活性,還在構造曲面方面有著重要的應用。對于一些由曲線生成曲面的算法,要求那些曲線必須是同次的,應用升階的方法,我們可以把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù),使得各條曲線具有相同的次數(shù)。曲線升階后,原控制頂點會發(fā)生變化。下面,我們來計算曲線提升一階后的新的控制頂點。設給定原始控制頂點P0,P1,.,P n,定義了一條n次Bezier曲線: 增加一個頂點后,仍定義同一條曲線的新控制頂點為P0*,P1*,.,P n+1*,則有: 對上式左邊乘以(t+(1-t,得到: 比較等式兩邊t i(1-tn+1-

27、i項的系數(shù),得到: 其中P-1=P n+1=0。此式說明: 升階后的新的特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)。特征多邊形更靠近曲線。三次Bezier曲線的升階實例如圖所示。 圖 Bezier 曲線的升階2.Bezier 曲線的降階降階是升階的逆過程。給定一條由原始控制頂點P i (i =0,1,.,n 定義的n 次Bezier 曲線,要求找到一條由新控制頂點P i *(i =0,1,.,n -1定義的n -1次Bezier 曲線來逼近原始曲線。 假定P i 是由P i *升階得到,則由升階公式有: 和 其中第一個遞推公式在靠近P 0處趨向生成較好的逼近,而第二個遞推公式在靠近P n 處趨向生成較

28、好的逼近。 對上面的Bezier 曲線進行升階,得到如下圖所示曲線。4個控制點4階3次 5個控制點5階4次 三、Bezier曲面基于Bezier曲線的討論,我們可以方便地可以給出Bezier曲面的定義和性質(zhì),Bezier曲線的一些算法也可以很容易擴展到Bezier曲面的情況。設為個空間點列,則次張量積形式的Bezier曲面定義為: 其中,是Bernstein基函數(shù)。依次用線段連接點列中相鄰兩點所形成的空間網(wǎng)格,稱之為特征網(wǎng)格。Bezier曲面的矩陣表示式是:=(.(.(.(,(,1,01111100100,1,0vBvBvBPPPPPPPPPuBuBuBvuPnnnnmnmmnnmmmm在一般

29、實際應用中,不大于4。以雙三次Bezier曲面為例,將其寫為矩陣表達式則為:P(u,v= B0,3(u B1,3(u B2,3(u B3,3(u P ij4x4 B0,3(v B1,3(v B2,3(v B3,3(v T=100010033036313310001313023v v v P P P P P P P P P P P P P P P P u u u其具體計算方法為:P x (u,v= B 0,3(u B 1,3(u B 2,3(u B 3,3(u P ijx 4x4 B 0,3(v B 1,3(v B 2,3(v B 3,3(v TP y (u,v= B 0,3(u B 1,3(u

30、 B 2,3(u B 3,3(u P ijy 4x4 B 0,3(v B 1,3(v B 2,3(v B 3,3(v TP z (u,v= B 0,3(u B 1,3(u B 2,3(u B 3,3(u P ijz 4x4 B 0,3(v B 1,3(v B 2,3(v B 3,3(v T注意:上式中各基函數(shù)的值只需計算一次。線框圖繪制方法:先按等參數(shù)方向均勻離散成網(wǎng)格點,在按一定規(guī)則繪制網(wǎng)格線。 除變差減小性質(zhì)外,Bezier 曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bezier 曲面:(1Bezier 曲面特征網(wǎng)格的四個角點正好是Bezier 曲面的四個角點,即:,。(2Bezier 曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂

31、點定義Bezier 曲面的四條邊界,且每條邊界曲線仍為一Bezier 曲線,該邊界Bezier 曲線由對應的一條邊界特征網(wǎng)格頂點確定,即:P (u ,0= B 0,m (u B 1,m (u B m,m (u P 00 P 10 P m 0 T P (u ,1= B 0,m (u B 1,m (u B m,m (u P 0n P 1n P m n T P (0,v = P 00 P 01 P 0n B 0,n (v B 1,n (v B n,n (v T P (1,v = P m0 P m1 P m n B 0,n (v B 1,n (v B n,n (v T推廣之:沿Bezier 曲面任何等

32、參數(shù)的截線均為一Bezier 曲線(讀者證明。(3Bezier 曲面邊界的跨界一階切矢只與定義該邊界的頂點及相鄰一排頂點(共二排頂點有關,且P 00P 10P 01、和(圖上打上斜線的三角形組成的平面與曲面在對應的角點相切;其跨界二階導矢只與定義該邊界的及相鄰兩排頂點(共三排頂點有關。 (4幾何不變性。 (5對稱性。 (6凸包性。下圖以雙三次Bezier 曲面。P (t = B 0,3(u B 1,3(u B 2,3(u B 3,3(u P ij 4x4 B 0,3(v B 1,3(v B 2,3(v B 3,3(v T 為例,我們可以清楚看出它的幾何特性。圖 雙三次Bezier 曲面及邊界信

33、息3.Bezier 曲面片的拼接如圖所示,設兩張m×n 次Bezier 曲面片 分別由控制頂點和定義。vu 圖Bezier曲面片的拼接如果要求兩曲面片達到連續(xù),則它們有公共的邊界,即: (3-1于是有。如果又要求沿該公共邊界達到連續(xù),則兩曲面片在該邊界上有公共的切平面。因此曲面的法向矢量應當是跨界連續(xù)的,而曲面的偏導切向矢量不必跨界連續(xù),如下圖所示,僅需P v(1,v、Q v (0,v共線,P u(1,v、P v(1,v,Q u(0,v、Q v(0,v共面即可。由此: (3-2下面來研究滿足這個方程的兩種方法。(1鑒于(3-1式,(3-2式最簡單的取解(但更苛刻是: (3-3這相當于

34、要求合成曲面上v為常數(shù)的所有曲線,在跨界時有切向的連續(xù)性。為了保證等式兩邊關于v 的多項式次數(shù)相同,必須取(一個正常數(shù)。于是有: 即。如圖所示為兩張三次Bezier曲面的拼接示意圖(2式使得兩張曲面片在邊界達到連續(xù)時,只涉及面和的兩列控制 式作為連續(xù)的條件,而以式,這僅僅要求位于和所在的同一個平面內(nèi),也就是曲面片 邊界上相應點處的切平面,這樣就有了大得多的余地,但跨界切矢在跨越曲面片的邊界時就不曲面的拼接條件僅需相應頂點同樣,為了保證等式兩邊關于v的多項式次數(shù)相同,須為任意正常數(shù),是v的任意線性函數(shù)。為了實現(xiàn)多張曲面拼接,需要更多的自由度和更為寬松的條件才可能實現(xiàn)。為實現(xiàn)這一目標往往需要更高階

35、的曲面,對低階曲面可通過升階方法提高階次。四、B樣條曲線與曲面Bezier曲線具有很多優(yōu)越性,但有二點不足:1特征多邊形頂點數(shù)決定了它的階次數(shù),當n 較大時,不僅計算量增大,穩(wěn)定性降低,且控制頂點對曲線的形狀控制減弱;2不具有局部性,即修改一控制點對曲線產(chǎn)生全局性影響。1972年Gordon 等用B 樣條基代替Bernstein 基函數(shù),從而改進上述缺點。1.均勻B 樣條曲線(1 一次均勻B 樣條曲線的矩陣表示空間n+1個頂點i P (i = 0,1,。,n 定義n 段一次(k =1,二階均勻B 樣條曲線,即每相鄰兩個點可構造一曲線段P i (u ,其定義表達為:10 ;,.,1 0111 1

36、(1=u n i u u P i i i P P=(1-u P i -1 + uP i = N 0,1(u P i -1 + N 1,1(u P i 第i 段曲線端點位置矢量:i i i i P P P P =1(,0(1,且一次均勻B 樣條曲線就是控制多邊形。(2 二次均勻B 樣條曲線的空間n+1個頂點的位置矢量i P (i=0,1,。,n 定義n -1段二次(k =2,三階均勻B 樣條曲線,每相鄰三個點可構造一曲線段P i (u (i=1,。,n -1,其定義表達為: 10 ;1,.,1 011022121 121(112=+u n i u u u P i i i i P P P=!21(

37、1 - 2 u + u 2P i -1 + !21(1 + 2 u - 2u 2P i + !21u 2 P i +1 = N 0,2(u P i -1 + N 1,2(u P i + N 2,2(u P i +1P 1P 2 端點位置矢量:(5.00(1i i i P P P +=,(5.01(1+=i i i P P P ,即曲線的起點和終點分別位于控制多邊形P i-1P i和P i P i+1的中點。若1i P 、i P 、1+i P 三個頂點位于同一條直線上,(u P i 蛻化成1i P i P 1+i P 直線邊上的一段直線。端點一階導數(shù)矢量:10(=i i i P P P ,i i

38、 i P P P =+11(,i i i P P P =+10(,121(+=i i i P P P ,即曲線的起點切矢和終點切矢分別和二邊重合,且相鄰兩曲線段在節(jié)點處具有一階導數(shù)連續(xù)。二階導數(shù)矢量:(1(20(11t P P P i i i i i i =+=+P P P ,即曲線段內(nèi)任何點處二階導數(shù)相等,且相鄰兩曲線段在節(jié)點處二階導數(shù)不連續(xù)。(3 三次均勻B 樣條曲線空間n+1個頂點的位置矢量i P (i=0,1,。,n 構造n -2段三次(k =3,四階均勻B 樣條曲線段,每相鄰四個點可定義一曲線段P i (u (i=1,。,n -2,其定義表達為:1(21123=+u n i u u

39、u u P i i i i i P P P P = !31(1-u 3 P i -1+!31(4-6u 2+3u 3P i +!31(1+3u +3u 2-3u 3P i +1+!31u 3 P i+2= N 0,3(u P i -1 + N 1,3(u P i + N 2,3(u P i +1+ N 3,3(u P i +2端點位置矢量:4(610(11+=i i i i P P P P ,4(611(21+=i i i i P P P P ,即起點位于三角形P i-1P i P i+1中線P i M 1的1/3處,終點位于三角形P i P i +1P i+2中線P i +1M 2的1/3處

40、?？梢夿 樣條曲線的端點并不通過控制點。端點一階導數(shù)矢量:2/(0(11+=i i i P P P ,0(2/(1(12+=i i i i P P P P ,即曲線起點的切矢平行于P i-1P i P i+1的底邊P i-1P i+1,其模長為底邊P i-1P i+1長的1/2,同樣曲線終點的切矢平行于P i P i+1P i+2的底邊P i P i+2,其模長也為底邊P i P i+2長的1/2。且相鄰兩曲線段具有一階導數(shù)連續(xù)(因0(1(1=+i i P P 。二階導數(shù)矢量:1120(+=i i i i P P P P ,0(21(121+=+=i i i i i P P P P P ,即曲

41、線段在端點處的二階導數(shù)矢量等于相鄰兩直線邊所形成的平行四邊形的對角線,且兩曲線段在節(jié)點處具有二階導數(shù)連續(xù)(因0(1(i i P P =。若1i P 、i P 、1+i P 三個頂點位于同一條直線上,三次均勻B 樣條曲線將產(chǎn)生拐點;若1i P 、i P 、1+i P 、2+i P 四點共線,則(u P i 變成一段直線;若1i P 、i P 、1+i P 三點重合,則(u P i 過i P 點。P i-1P iP i+1P i+2 思考:用作圖法繪制下圖均勻三次B 樣條曲線。 B 樣條曲線段與段之間具有天然的連續(xù)性,具有整體的光滑特性,而Bezier 曲線段與段之間必須光滑拼接。因此在商用系統(tǒng)中

42、B 樣條方法應用更為廣泛。2.B 樣條曲線的性質(zhì)(1 局部性空間n+1個控制頂點i P (i=0,1,。,n 構造(n -k +1段k 次(k +1階B 樣條曲線段,且每一曲線段i P (u (i = 1,。,n -k +1由1i P 、i P 、。、1+k i P 等k +1個控制頂點確定,與其它控制點無關。 (2 整體性和連續(xù)性一般情況下(即無重節(jié)點、重頂點,n+1個控制頂點所構造的(n -k +1段k 次(k +1階B 樣條曲線段組成一完整的B 樣條曲線,曲線段與段之間具有Ck -1階函數(shù)連續(xù)性(或Gk -1階幾何連續(xù)性,當有K 重頂點時,將可能產(chǎn)生尖點(前面已介紹,雖然仍滿足函數(shù)連續(xù),

43、但不滿足幾何連續(xù)。 (3 幾何不變性改變坐標系不改變曲線形狀。(4 變差縮減性與Bezier 曲線性質(zhì)相同。(5造型的靈活性由于其良好的局部特性,可以方便構造低次的復雜曲線,且編輯頂點對曲線形狀的改變是局部的; 由于其整體性和連續(xù)性,曲線具有整體的光滑性。正因如此,B 樣條曲線比Bezier 應用更為廣泛,為商用系統(tǒng)普遍采用。 缺點:首末兩端點不通過控制頂點,與其優(yōu)點比較微不足道。3.均勻雙二次B 樣條曲面已知曲面的控制點2,1,0,(=j i ij P ,參數(shù)w u ,且10,w u ,2=l k ,構造步驟是: a 、沿w 向構造均勻二次B 樣條曲線,即有: =02010002010020

44、 011022-121 1P P P WM P P P P w ww (經(jīng)轉置后:T T B w W M P P P P 0201000=(同上可得:T T B w W M P P P P 1211101=(,T TB w W M P P P P 2221202=(。b 、再沿u 向構造均勻二次B 樣條曲線,即可得到均勻二次B 樣條曲面:TT B B B w w w w u W M P P P P P P P P P UM P P P UM S =222120121110020100210(,( 簡記為:TTB B w u W PM UM S =,(。4.均勻雙三次B 樣條曲面已知曲面的控制點

45、3,2,1,0,(=j i j i P ,參數(shù)w u ,且10,w u ,3=l k ,構造雙三次B 樣條曲面的步驟同上述。a 、沿w 向構造均勻三次B 樣條曲線,有:T TB w W M P P P P P 030201000=(,T TB w W M P P P P P 131211101=(, T T B w W M P P P P P 232221202=(,T T B w W M P P P P P 333231303=(b 、再沿u 向構造均勻三次B 樣條曲線,此時可認為頂點沿滑動,每組頂點對應相同的,當值由0到1連續(xù)變化,即形成均勻雙三次B 樣條曲面。此時表達式為:T T B B

46、 B w w w w w u W PM UM P P P P UM S =(,(3210, =3332313003020100P P P P P P P P P P P P P P P P P , =014103030363133161BM 上式也可表達為:S (u,w = N 0,3(u N 1,3(u N 0,3(u N 0,3(u P i j 4x4 N 0,3(w N 1,3(w N 2,3(w N 3,3(w T 對于由控制點,.,1,0,.,1,0(n j m i =j i P 組成的均勻雙三次B 樣條曲面其定義如下:=+(,(3,33,23,13,03,32,31,3,33,22

47、,21,2,23,12,11,1,13,2,1,3,33,23,13,0,w N w N w N w N P P P P P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N w u S j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i ji j i 即任意單張均勻雙三次B 樣條曲面片S i,j (u ,w是由P k,l (k = i, . , i+3, l = j, , j+3等16個控制點定義而成。下圖為一均勻雙三次B 樣條曲面的示意圖。B 樣條曲面具有B 樣條曲線的多種性質(zhì),曲面片與片之間具有天然

48、的連續(xù)性。仍以均勻雙三次曲uwu=1u=0w=1v=0面為例的說明B 樣條曲面的性質(zhì)。(1均勻雙三次B 樣條曲面的頂點不經(jīng)過任何特征網(wǎng)格頂點,且僅與各角點對應的9個特征網(wǎng)格頂點有關,如:S i j (0,0= 1/36 (P i, j +P i, j+2 +P i+2, j +P i+2, j+2 + 1/9 (P i, j+1 +P i+1, j +P i+2, j+1 +P i+1, j+2 + 4/9 P i +1,j+1,同理可得S i j (0,1、S i j (1,0、S i j (1,1。(2均勻雙三次B 樣條曲面的邊界曲線仍為B 樣條曲線,該邊界B 樣條曲線由對應的三條邊界特征

49、網(wǎng)格頂點確定,由B 樣條曲面得定義可得:+=+2,31,3,32,21,2,22,11,1,12,1,3,33,23,13,03,32,31,3,33,22,21,2,23,12,11,1,13,2,1,3,33,23,13,0,6/13/26/16/13/26/16/13/26/16/13/26/1(06/13/26/1(0,(j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i P P P P P P P P P P

50、 P P u N u N u N u N P P P P P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N u S同理可得S i j (u ,1、S i j (0,w 、S i j (1,w 。推廣之:沿B 樣條曲面任何等參數(shù)的截線均為一B 樣條曲線(讀者證明。(3均勻雙三次B 樣條曲面邊界的跨界一階切矢只與定義該邊界的頂點及相鄰二排頂點(共三排頂點有關,1,(6/13/26/16/13/26/16/13/26/16/13/26/1(06/13/26/1(0,(6/13/26/16/13/26/16/13/26/16/13/26/1(6/13/26/10(1,(,

51、12,31,3,32,21,2,22,11,1,12,1,3,33,23,13,03,32,31,3,33,22,21,2,23,12,11,1,13,2,1,3,33,23,13,0,2,31,3,32,21,2,22,11,1,12,1,3,33,23,13,02,31,3,31,32,21,2,21,22,11,1,11,12,1,1,3,33,23,13,01,u S P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N P P P P P P P P P P P PP P P P u N u N u N u N u S P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N P P P P P P P P P P P PP P P P u N u N u N u N u S j i uj i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i uj i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i