橢圓問題中最值得關(guān)注地基本題型

1、實(shí)用文案橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型 題型分析·高考展望橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多. 分析歷年的高考試題，在填空題、 解答題中都涉及到橢圓的題，所以我們對(duì)橢圓知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握 . 對(duì)各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解.常考題型精析題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題x2y21例 1 如圖， 焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 4 b2 1 的離心率 e 2，F(xiàn)，A 分別 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)， P 是橢圓上任意一點(diǎn)，求 PF· PA的最大值和最小值 .點(diǎn)評(píng)熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用a

2、、b、 c 之間的關(guān)系和橢圓的對(duì)稱性可構(gòu)造方程.x2y2變式訓(xùn)練1(2014 ·課標(biāo)全國(guó) ) 已知點(diǎn) A(0 ， 2) ，橢圓 E：a2b2 1( a>b>0) 的離心率為323， F 是橢圓 E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為， O為坐標(biāo)原點(diǎn) .23(1) 求 E 的方程；(2) 設(shè)過點(diǎn) A 的動(dòng)直線 l 與 E 相交于 P，Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求 l 的方程 .標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案題型二直線與橢圓相交問題x2y2例 2 (2015 ·山東 ) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 C：a2b2 1( a b 0) 的離心率為3F1，F(xiàn)2. 以 F1 為圓心、

3、以3 為半徑的圓與以F2 為圓心、以1 為半徑的2 ，左，右焦點(diǎn)分別是圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上 .(1) 求橢圓 C的方程；x 2 y2(2) 設(shè)橢圓 E：4a2 4b21，P 為橢圓 C上任意一點(diǎn)， 過點(diǎn) P 的直線 y kx m交橢圓 E于 A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓 E 于點(diǎn) Q.OQ()求的值；OP( ) 求 ABQ面積的最大值.點(diǎn)評(píng)解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決. 求范圍或最值問題，也可考慮求 “交點(diǎn)”，由“交點(diǎn)”在橢圓內(nèi) ( 外 ) ，得出不等式，解不等式.22xy變式訓(xùn)練2(2014 ·四

4、川 ) 已知橢圓C： a2 b2 1 ( a>b>0) 的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(1) 求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè) F 為橢圓 C的左焦點(diǎn)，T 為直線 x 3 上任意一點(diǎn)，過 F 作 TF的垂線交橢圓C于點(diǎn) P，Q. 證明 OT平分線段 PQ( 其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn) ) ；當(dāng) TF最小時(shí)，求點(diǎn)T 的坐標(biāo) .PQ題型三利用“點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案2x2例 3已知橢圓 y 1，求斜率為2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.點(diǎn)評(píng) 當(dāng)涉及平行弦的中點(diǎn)軌跡， 過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡， 過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程時(shí)，用“點(diǎn)差法”來求解 .x

5、2y21( a>b>0) 的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4) ，離心率 e變式訓(xùn)練 3(2015 ·揚(yáng)州模擬 ) 已知橢圓 a2b25，直線 l 交橢圓于 M，N兩點(diǎn) .5(1) 若直線 l 的方程為 y x4，求弦 MN的長(zhǎng) .(2) 如果 BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線 l 方程的一般式 .高考題型精練11.(2015 ·課標(biāo)全國(guó)改編) 已知橢圓E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為， E 的右焦點(diǎn)與拋物2線 C： y2 8x 的焦點(diǎn)重合， A， B是 C的準(zhǔn)線與 E的兩個(gè)交點(diǎn)，則AB_.：x222.(2014 ·大綱全國(guó)改編 ) 已知橢圓2 y2 1(&

6、gt; >0) 的左、右焦點(diǎn)分別為1、 2，離心率Caba bF F3為 3 ，過 F2 的直線 l 交 C于 A、B 兩點(diǎn) . 若 AF1B的周長(zhǎng)為4 3 ，則 C的方程為 _.22x22P， Q兩3.(2014 ·福建改編 ) 設(shè) P， Q分別為圓 x ( y 6) 2 和橢圓 y 1 上的點(diǎn)，則10點(diǎn)間的最大距離是 _.4. 若橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)1，2，離心率分別為1，2， 是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，F(xiàn)Fe eP標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案且滿足12，則 12 12的值為 _.PFPFe1e2225. 橢圓：x2y2 1 (> >0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)為1， 2，為橢圓上一

7、點(diǎn)，且1·2的最大值的Caba bFFMMFMF取值范圍是 c2,2c2 ，其中 c 是橢圓的半焦距，則橢圓的離心率取值范圍是_.6.(2014x2y2·遼寧 ) 已知橢圓 C： 1，點(diǎn) M與 C的焦點(diǎn)不重合 . 若 M關(guān)于 C的焦點(diǎn)的對(duì)稱94點(diǎn)分別為 A， B，線段 MN的中點(diǎn)在 C上，則 AN BN _.1x2y27.(2014·江西 ) 過點(diǎn) M(1,1)作斜率為 2的直線與橢圓C： a2 b2 1( a>b>0) 相交于 A， B 兩點(diǎn)，若 M是線段 AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于 _.8.(2014122y21·安徽 ) 設(shè) F

8、， F 分別是橢圓 E： xb2 1(0< b<1) 的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F 的直線交橢圓E于 ，兩點(diǎn).若13 1，2x軸，則橢圓E的方程為 _.A BAFF BAF9.(2014·江蘇 ) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn) ，F(xiàn) 分別是橢圓 a2212xy2 b2 1( a>b>0) 的左，右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 (0 ，b) ，連接 BF2 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié) F1C.4 1(1) 若點(diǎn) C的坐標(biāo)為 3， 3 ，且 BF2 2，求橢圓的方程；(2) 若 F1C AB，求橢圓離心率 e 的值 .22x2y2

9、的左，右焦點(diǎn)分別為110.(2015 ·重慶 ) 如圖，橢圓 a b 1( a b 0)F ，F(xiàn) ，過 F 的直線交橢圓于P、 Q兩點(diǎn)，且 PQPF.221標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(1) 若 PF1 2 2，PF2 2 2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若 PF1 PQ，求橢圓的離心率 e.11.(2015·陜西 ) 已知橢圓x2y2 0) 的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn) (c,0) ，：2 2 1(Eaba b(0 ， ) 的直線的距離為 1.b2c(1) 求橢圓 E 的離心率；(2) 如圖， AB是圓 M： ( x 2) 2 ( y 1) 25的一條直徑，若橢圓E 經(jīng)2過 A， B

10、 兩點(diǎn)，求橢圓E 的方程 .x2y2612.(2015 ·泰州模擬 ) 已知橢圓G： a2 b2 1( a>b>0) 的離心率為3 ，右焦點(diǎn)為 (2 2， 0).斜率為 1 的直線 l 與橢圓 G交于 A，B兩點(diǎn)，以 AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P( 3,2).標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(1) 求橢圓 G的方程；(2) 求 PAB的面積 .標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案答案精析第 29 練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型常考題型典例剖析例 1解設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x0， y0). 由題意知 a 2，c 1222e a 2， c 1， b a c 3.x2y2所求橢圓方程為1.43 2 x0 2

11、，3 y03.又 F( 1,0) ， A(2,0) ， PF ( 1 x0， y0) ，(2x0，y0) ，PA221 212PF· PA x0 x0 2 y04x0 x0 1 4( x0 2).當(dāng) x00， 2 時(shí)， PF· PA取得最小值當(dāng) x0 2 時(shí)， PF· PA取得最大值 4.223變式訓(xùn)練1 解(1) 設(shè) F( c, 0) ，由條件知，c3，得 c 3.c3222又 a 2 ，所以 a2， b a c1.x2故 E 的方程為 4 y2 1.(2) 當(dāng) l x 軸時(shí)不合題意，故設(shè) l ： y kx 2，P( x1， y1) ， Q( x2， y2) ，

12、x22將 y kx 2 代入 4 y 1得22(1 4k ) x 16kx 12 0.223當(dāng) 16(4 k 3)>0 ，即 k>4時(shí)，x1,28k± 2 4k23.214k24 k2 1· 4k2 3從而 PQ k 1| x1 x2| 4k2 1.又點(diǎn) O到直線 PQ的距離 d2，k2 1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案 OPQ144k2 3所以 OPQ的面積 S2· d·PQ 4k2 1 .設(shè)2 OPQ4t44k 3t ，則 t >0， S t2 44.t t4t 2，因?yàn)?t 4，當(dāng)且僅當(dāng)t7即 k± 2 時(shí)等號(hào)成立，且滿足 >0

13、，77所以，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)l 的方程為 y 2 x 2 或 y 2 x 2.例 2解(1) 由題意知2a4，則 a2，又c 3， a2 c2 b2， a 2x22可得 b 1，所以橢圓C的方程為 4 y 1.x2y2(2) 由 (1) 知橢圓 E 的方程為 16 4 1.OQ()設(shè) (0，0) ，由題意知( x0，y0).P xyOPQ2因?yàn)閤02 y0 1，4x02y0222x02又1641，即 44 y0 1，所以 2，即OQ 2.OP()設(shè) (1，1)， (2，y2).A xyB x將 y kx m代入橢圓 E 的方程，2) x22可得 (1 4k 8kmx 4m 160，由22

14、 0，可得 m 416k，28km4m 16則有 x1 x2 1 4k2， x1x2 1 4k2 .4 16k242122m所以 | x x| 1 4k.因?yàn)橹本€ykx 與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0 ， ) ，mm1所以 OAB的面積 S 2| m| x1x2|222222 16k4 m| m| 216k 4 m m1 4k21 4k2標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案22mm24 1 4k24k2.12m設(shè) 1 4k2 t ，將 y kx m代入橢圓 C的方程，222可得 (1 4k ) x 8kmx 4m 4 0，2 2由 0，可得 m 14k . 由可知0 t 1，因此 S 24 tt 2 t 2 4t ，故

15、 S2 3，22時(shí)取得最大值 2 3.當(dāng)且僅當(dāng) t 1，即 m1 4k由( ) 知， ABQ面積為 3S，所以 ABQ面積的最大值為 6 3.a2b2 2b，變式訓(xùn)練2(1) 解由已知可得2c 2a2 b2 4，解得 a2 6， b2 2，x2y2所以橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 1.62(2) 證明由 (1)可得 F 的坐標(biāo)是 ( 2,0) ，設(shè) T 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 3， m) ，則直線TF的斜率kTFm 0 . 3m21當(dāng) m 0 時(shí)，直線 PQ的斜率 kPQ ， m直線 PQ的方程是 x my 2.當(dāng) m 0 時(shí)，直線 PQ的方程是x 2，也符合 x my 2 的形式 .x my 2，設(shè) P(

16、x1， y1) ， Q( x2， y2) ，將直線 PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得x2y2621.消去x，得 (2 3)y2 4 20，mmy其判別式22， 16m 8( m 3)>0所以 y1 y2 24m ， y1y2 2 2 ，m 3m 3標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案 12x1x2 m( y1 y2) 4 2.62m所以 PQ的中點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ( 2， 2).m3m 3m所以直線 OM的斜率 kOM 3.m又直線 OT的斜率 kOT 3，所以點(diǎn) M在直線 OT上，因此 OT平分線段 PQ.解由可得 TF2m 1，PQxx2y y2122121 y1y22 412my y24m2 2m 1

17、24· 2m 3m3242m1.2m 3TF122m3所以24·2 1PQm1241324m 1 2 1 4 244 4 3 .m當(dāng)且僅當(dāng)24，即± 1 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)TF1 2取得最小值 .mm 1mPQTF所以當(dāng)最小時(shí)， T 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( 3,1) 或( 3， 1).PQ例 3解設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為M( x1， y1) ，N( x2， y2) ，MN的中點(diǎn)為 R( x， y) ，2 2y222 2，則 x112，x22y2兩式相減并整理可得，y1y2x1 x2xxx2y y，222y1112將y y 2 代入式，x1x2得所求的軌跡方程為x 40( 2&l

18、t;x<2).yc5c21變式訓(xùn)練3解(1) 由已知得 b 4，且 a 5，即 a2 5，a2 b212a2 5，解得 a 20，x2y2橢圓的方程為20 16 1.則 4x2 5y2 80 與 y x4 聯(lián)立，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案240消去 y 得 9x 40x 0， x1 0， x2，所求弦長(zhǎng) MN 1 12| x2 x1| 402.9(2) 如圖，橢圓右焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)為 (2,0)，設(shè)線段 MN的中點(diǎn)為 Q( x0， y0) ，由三角形重心的性質(zhì)知BF 2FQ，又 B(0,4) ， (2 ， 4) 2( x02， y0) ，故得 x0 3， y0 2，即得 Q的坐標(biāo)為 (3 ， 2).

19、設(shè) M( x1， y1) ， N( x2， y2) ，則 x1 x2 6， y1 y2 4，2222x1y1x2y 2且 20 16 1， 20 161，x x2x x2y y2y y21111以上兩式相減得2016 0，MNy1 y24 x1 x2k ·y1 y2x1 x254665×45，6故直線 MN的方程為 y 2 5( x3) ，即 6x 5y 28 0.?？碱}型精練1.6c12x2y2解析因?yàn)?e a 2，y 8x 的焦點(diǎn)為 (2,0)，所以 c 2，a 4，故橢圓方程為16 12 1，將 x 2 代入橢圓方程，解得y± 3，所以 AB 6.x2y22

20、. 3 21解析由 3得 c3. ea33又 AF1B 的周長(zhǎng)為4 3，由橢圓定義，得 4a 43，得 a 3，代入得 c 1， b2a2 c2 2，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案故 C的方程為 x2 y2 1.323.62解析如圖所示，設(shè)以 (0,6)為圓心，以r 為半徑的圓的方程為 x2 ( y 6) 2 r2( r >0) ，與橢圓方程 x2y2 1 聯(lián)立得方程組，10消掉 x2 得 9y212y r 2 46 0.令 122 4× 9( r 2 46) 0，解得 r 2 50，即 r 52.由題意易知P， Q兩點(diǎn)間的最大距離為r 2 62.4.2解析由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

21、2 ，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2 ，不妨令P在雙曲線am的右支上 . 由雙曲線的定義知 | 1| |2| 2 ，PFPFm由橢圓的定義知| PF1| | PF2| 2a，又 PF1 PF2， F1PF2 90°， | PF1| 2 | PF2| 2 4c2，式的平方加上式的平方得2222| PF1| | PF2| 2a2m，由得22 2，即 a22ac22m2 2，mcc11222.e1e25. 3， 232222解析 設(shè) M( x0， y0) ，則 MF1( c x0， y0) ，MF2 ( c x0 ， y0) ， MF1·MF2 x0 c y0222x20b22 2 2 c2

22、 222x0 c b1 a2 1 a2x0 c b a2x0cb . x0 a， a ，當(dāng) x0± a 時(shí)，2MF· MF有最大值 b，12c2 b2 2c2， c2 a2 c2 2c2， 2c2 a23c2，121， e3，c22.3a2326.12解析 橢圓 x2 y2 1 中，a 3.94如圖，設(shè) MN的中點(diǎn)為 D，則 DF1 DF2 2a 6.標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案D， F1， F2 分別為 MN， AM， BM的中點(diǎn)，BN 2DF2，AN 2DF1， 2(12) 12.ANBNDFDF7.2222x1y1解析設(shè) (，y) ， (，y) ，則a2 b2 1，22A x11

23、B x2222x2 y2 1，abx1 x2x1 x2y1y2y1y2a22 0，by1 y2b2x1 x2x2·.x2ay y211y y 1，12x1x22x1x2 2， y1 y22，2b1a2a2 2b2. 又 b2 a2 c2，22222c2a 2(a c) ， a 2c， a 2 .2 3 28. x 2y 1解析設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( x0， y0).2 y2 x b2 1，1222F(1 b，0) ，F(xiàn) (1 b ， 0).AF2 x 軸， A(1 b2， b2).AF1 3F1B， AF1 3F1B，( 21b2， b2) 3( x01 b2， y0 ).52b2x

24、0 31 b ， y0 3.點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 52b2.31 b ，3將B51 b2， b22代入 x2y21，33b標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案2 2得 b .32 3 2橢圓 E 的方程為 x 2y 1.9. 解 設(shè)橢圓的焦距為2c，則 F ( c,0) ， F ( c, 0).12(1) 因?yàn)?0 ，) ，所以22c2 .BbBFba24，1又 BF2，故 a 2.因?yàn)辄c(diǎn) C33在橢圓上，161992所以 a2 b2 1，解得 b1.2故所求橢圓的方程為x y2 1.2(2) 因?yàn)?B(0 ， b) ， F2( c, 0) 在直線 AB上，x y所以直線 AB的方程為 c b1.xy2a2cc b

25、1，x1a2 c2，x2 0，解方程組得x2y21b c2 a2y2 b.a2b2 1，y a2 c2，所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為2a2cbc2 a2.a2c2，a2 c2又 AC垂直于 x 軸，由橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn) C的坐標(biāo)為2a2cba2 c2.a2c2，a2 c2ba2 c21a2 c2 0b a2 c2因?yàn)橹本€ F C的斜率為 223 23 ，a cca cca2 c2b直線 AB的斜率為 c，且 F1C AB，b a2 c2b 1.所以3a2c c3· c又 b2 a2 c2，整理得 a2 5c2.215故 e 5，因此e 5 .10. 解 (1) 由橢圓的定義，得2 12(2

26、 2) (2 2) 4，故a 2.aPFPF設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1 PF2，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案22因此 2c F1F2PF1 PF222222223，即 c3，從而 ba2 c21.2x2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y 1.(2)方法一如圖，設(shè)點(diǎn) P( x， y ) 在橢圓上，且PFPF，則00122y2x0022222 1， x0 y0c ，aba22求得 x0± ca 2b ，2b由 PF1 PQ PF2 得 x0 0，從而2a a2 2b22b4PF c .1cc22( a2 b2) 2aa2 2b2( aa2 2b2) 2.由橢圓的定義， PF1 PF2 2a，QF1 Q

27、F2 2a，從而由 PF1 PQPF2 QF2，有 QF1 4a2PF1.又由 PF1 PQ， PF1 PQ，知 QF12PF1，因此， (2 2) PF14a，即(2 2)( a a2 2b2) 4a，于是 (2 2)(1 2e2 1) 4，解得142e1 1 6 3.22 2方法二如圖，由橢圓的定義，得PF1 PF2 2a，QF1QF2 2a.從而由 PF1 PQ PF2 QF2，有 QF1 4a 2PF1.又由 PF1 PQ， PF1 PQ，知 QF12PF1，因此， 4a2PF12PF1，得 PF1 2(2 2) a，從而22 1 2a2(2 2)2( 21)a.PFaPFa2222由 PF1 PF2，知 PF1 PF2 F1F2 (2c) ，因此c22PF1 PF2e2aa標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案2222 12 962 6 3.11. 解 (1)過點(diǎn) ( c, 0) ， (0 ，b) 的直線方程為bx cy bc 0，則原點(diǎn) O到該直線的距離dbcbcb2 c2 a ，122c3由 d 2c，得 a 2b2a c ，解得離心率 a 2 .(2)