浙江省金麗衢十二校2020屆高三數學第一次聯考試題

1、浙江省金麗衢十二校2020 屆高三數學第一次聯考試題（含解析）1. 設集合 Mx |( x3)(x2)0, xR , Nx |1x3, x R ，則 MN（ ）A. 1,2B.1,2C.2,3D.2,3【答案】 A【解析】因為 Mx | (x3)( x2)0, xR x | 3x 2, Nx |1 x 3, xR，因此可知 M N1,2，選 Ax2y22. 已知雙曲線C :221(a0,b0) 一條漸近線與直線2 x4 y20 垂直，則該雙曲線的ab離心率為（）A.5B.5C.2D.222【答案】 A【解析】【分析】先求得漸近線的方程，利用兩條直線垂直斜率相乘等于1列方程， 結合 c 2a 2

2、b2 求得雙曲線離心率 .【詳解】由題可知雙曲線的漸近線方程為yb x ，則b11，即 b2，又，所以aa2a2e 1b.故選 A.5a【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線以及離心率的求法，考查兩條有斜率的直線相互垂直時，斜率相乘等于1，屬于基礎題 .x2 y203. 若實數 x ， y 滿足約束條件 xy2，則 xy 的最大值等于（）y2A. 2B. 1C. -2D. -4- 1 -【答案】 A【解析】【分析】作出可行域，平移目標函數，找到取最大值的點，然后可求最大值.【詳解】根據題意作出可行域如圖：平移直線 l : xy 0x2 y20可得在點 A 處取到最大值， 聯立y2可得 A(2,0

3、) , 代入 x yx0可得最大值為2，故選 A.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃，作出可行域，平移目標函數，求出最值點是主要步驟，側重考查直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng).4. 已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.1B.1C.1D.1312336124【答案】 C【解析】【分析】- 2 -觀察三視圖可知，幾何體是一個圓錐的1 與三棱錐的組合體，然后計算出兩個簡單幾何體的4體積，相加可得出結果.【詳解】觀察三視圖可知，幾何體是一個圓錐的1 與三棱錐的組合體，其中圓錐的底面半徑4為 1，高為 1三棱錐的底面是兩直角邊分別為1、 2 的直角三角形，高為 1則幾何體的體積 V1112 1

4、111 2 11，故選： C.3432123【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，解題時要利用三視圖得出幾何體的組合方式，并計算出各簡單幾何體的體積，然后將各部分相加減即可.5. 己知 a ， b 是實數，則 “ a2 且 b2 ” 是 “ a b4 且 ab 4 ” 的（）A. 充分而不必要條件B.必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】 A【解析】【分析】根據充分條件與必要條件的定義判斷即可。【詳解】因為 “ a2 且 b 2”“ ab4 且 ab 4 ”“ a b 4 且 ab 4 ” ? “ a2 且 b 2 ”所以 “ a 2 且 b2 ” 是 “ ab

5、4 且 ab4” 的充分而不必要條件故選 A【點睛】本題考查充分條件與必要條件，屬于基礎題。6. 口袋中有 5 個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為0，1， 2， 3， 4 ，從中任取3 個球，以表示取出球的最大號碼，則 E=（）A. 3.55B. 3.5C. 3.45D. 3.4【答案】 B【解析】【分析】根據的可能值，計算出每個可能值的概率，再計算E。- 3 -【詳解】依題意知可取 2,3,4則P(11,C323C4262)P(3)C53, P(4)C53C53101010所以 E=21 +33 +46=3.5101010故選 B【點睛】本題考查數學期望，屬于基礎題。7. 如圖，在正四棱

6、柱 ABCDA1B1C1D1 中， AB3, AA14, P 是側面 BCC1B1 內的動點，且 APBD1, 記 AP 與平面BCC1 B 所成的角為，則 tan的最大值為A. 4B. 5C. 2D. 25339【答案】 B【解析】【分析】建立以點 D 為坐標原點，DA 、 DC 、 DD 1 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸的空間直角坐標系，設點 P m,3, n ，利用 APuuuv uuuuv0 ，得出 n3 m ，利用空間向量BD1 ，轉化為 AP BD14法求出 sin的表達式，并將n3 m 代入 sin4最大值，再由同角三角函數的基本關系求出tan的表達式，利用二次函數的

7、性質求出sin的的最大值?！驹斀狻咳缦聢D所示，以點D 為坐標原點， DA 、 DC 、 DD1 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z軸建立空間直角坐標系Dxyz ，則 A3,0,0 、 B 3,3,0 、 D10,0,4，設點 P m,3, n ，則 0m3 ， 0 nuuuvuuuuv3,3,4 ，4， APm 3,3,n ， BD1- 4 -uuuv uuuuv3 m ，Q AP BD1 ，則 AP BD13 m 3 33 4n 3m 4n 0 ，得 n4平面 BCC1B1 的一個法向量為v0,1,0a，uuuvv33sinAP auuuvvm2n22所以，APa3923m39m43=25

8、 m26m 18 ，16當 m6480,3時， sin取最大值，此時， tan22525也取最大值，16sin353max234 ，此時， cos1 sin 2且254848，61834162525因此， tan5345max343，故選： B。3【點睛】本題考查立體幾何的動點問題，考查直線與平面所成角的最大值的求法，對于這類問題，一般是建立空間坐標系，在動點坐標內引入參數，將最值問題轉化為函數的問題求解，考查運算求解能力，屬于難題。ex 1 2, x 08. 己知函數 f x4，函數 y f xa 有四個不同的零點，從小到大依次x3, x 0x- 5 -為 x1 ， x2 ， x3 ， x4

9、 ，則x1x2x3x4 的取值范圍為（）A. 3,3eB.3,3eC.3,D.3,3 e【答案】 D【解析】【分析】畫出函數 f ( x) 的草圖，結合題意得到a(1,e 。且 x1x20x3x4 ，則可解出 x1 +x2 =2 ， x3 +x4 =3+a ， x3x4 =4 ，即可求出x1 x2x3 x4 的取值范圍。【詳解】當 x 0時， f (x)e x 12( x 1) 2et, 令 t， f (x)單調遞增又 t (x1)2 ，在 (,1) 單調遞減，在 ( 1，0單調遞增，所以 f ( x)e x 12，在 (,1) 單調遞減，在 (10， 單調遞增，且f (0)e，f (1) 1

10、。當 x 0 時， f ( x)=x43，在 (0, 2) 單調遞減，在 (2，+) 單調遞增，且f (2)1 。x畫出函數 f xe x 1 2, x0x4的圖像，如圖所示：3, x 0x又 yfx a 有四個不同的零點，等價于y fx與 ya 有四個不同的交點。所以 a(1,e 。且 x1x20 x3 x4 。當 x0 時， f ( x1 )e x1 1 2， f ( x2 ) e x21 2 ，即 e x1 1 2e x2 1 2x1 +x2 = 2所以1x1 x20當 x0 時， 解 x43=a ，化簡得 x2(3+ a) x40 ，所以 x3 +x4 =3+a ， x3 x4 =4x

11、- 6 -又 a (1,e ，所以 4x3 + x4e3所以 3x1 x2x3x4e3故選 D【點睛】本題考查函數的性質，畫出草圖，判斷出交點的位置，是首要任務。屬于難題。9. 函數 f x2）的圖像大致為（x1 ln xA.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】取特值 1 判斷正負，即可得出答案。e【詳解】 f12= 12e1101 lnee2e故選 B【點睛】本題考查函數圖象的識別，根據函數的定義域、值域、單調性、對稱性及特值是解決問題的關鍵，屬于基礎題。- 7 -10. 設等差數列a1 ， a2 ， ， an （ n3 ， nN * ) 的公差為 d ，滿足a1 a2an a1 1 a

12、2 1an1 a1 2 a2 2an 2 m ，則下列說法正確的是（）A. d3B.n 的值可能為奇數C. 存在 iN* ，滿足 2ai 1D.m 的可能取值為 11【答案】 A【解析】【分析】根據題意，設出絕對值函數f (x) x x dx 2dL x ( n 1)d ,n 3 ，根據絕對值函數的性質判斷即可?！驹斀狻恳騛1a2ana1 1 a21an 1 a12 a22an 2 m所以a1a1 +da1(n1)da11a11+da11(n1)da12a12 da12+(n1)dm令 f ( x)xx dx 2d Lx (n 1) d , n 3則 f ( a1 )f (a1 1)f (a1

13、2) m（ ） 當 d0 時， f (x)n x，不滿足（），舍去。 當 d0 時，由（）得 f ( x) 為平底型，故 n 為偶數 ( n 4)。f ( x) 的大致圖像為：nd a1 1 a1a1n則2 ( 1)d22- 8 -所以( n1) + nd=d3，故 A 正確。2d2n da11nn由21da121)d( n(a121)d222當 i 1,2,L, n時 aia1(i1)d2( n1)d(i1)d(in )d2222當 in +1,n +2,L, n時 aia1(i1)d1n d(i1)d =1+(in1)d 12222故不存在 iN *，滿足2ai1， C錯m f (a1 )

14、 a1a2LananLan212( a1a2Lan ) (ananLan )21222na1 )n2d= (an4221由于 n4, dn2d 12 ，故 D 錯3 所以 m4 當 d 0時，令 dd0由于 f ( x)的圖像與 f (x) 的圖像關于 y 軸對稱，故只需研究f ( x)故令 g ( x)f ( x)xx dx 2d Lx (n 1)d ,n 3xx dx 2d Lx (n 1)d , n 3因為 f ( a1 )f ( a1 1) f ( a12) m所以 g ( a1 ) g( a1 1) g( a12) m由 知 g( x) 為平底型，故 n 為偶數 (n 4) ，故 B

15、 錯令 a1a11,aia1(i1)dai1- 9 -所以 g (ai ) g( ai1)g(ai2)mdd3，故 A正確由 知，不存在 iN* ，滿足2ai12ai1 12 ai 1，故 C 錯由 知， m g (ai )n2d12，故 D錯4綜上所述， A 正確 ,BCD 錯誤故選 A.【點睛】本題結合等差數列綜合考查絕對值函數的性質，屬于難題。11. 算法統(tǒng)宗中有如下問題： “ 啞子來買肉，難言錢數目，一斤少三十，八兩多十八，試問能算者，合與多少肉” ，意思是一個啞子來買肉，說不出錢的數目，買一斤( 16 兩 ) 還差 30文錢，買八兩多十八文錢，求肉數和肉價，則該問題中，肉價是每兩_文

16、，他所帶錢共可買肉 _兩【答案】(1).6(2).11【解析】【分析】設出肉的單價，列出等式，解出即可?！驹斀狻吭O肉價是每兩x文 , 則 16 x 30 8x18 ，解得 x=6 ，他所帶錢共可買肉16630=11兩6故第一空填 6, 第二空填 11【點睛】本題考查一元一次等式的應用，屬于基礎題12. 若 z 34i5 ( i 為虛數單位 ) ，則 z， z 的實部【答案】(1).1(2).3【解析】【分析】。5解出 z ，根據模長與實部的定義寫出即可。-10-【詳解】因為 z 3 4i5 ，所以 z34 i1，實部為 355即 z5【點睛】本題考查復數的基本運算，屬于基礎題。13. 在 (x

17、21)9 的展開式中，常數項為_，系數最大的項是 _ 2x【答案】(1).21(2).9x1216【解析】【分析】根據 ( a b)n 的二次展開式公式Tr 1Cnran r br，寫出 ( x21 )9 的展開式，再判斷即可。2x【詳解】 (x21)9 的展開式中第 r1項為 Tr 1C9r ( x2 )9r (1 )r =C9r (1 )r x18 3r ，2x2x2常數項為 T7 =C96 (1)6= 21，216項的系數為 C9r (1) r ，要使系數最大，r 顯然為偶數，2經檢驗，當 r=2 時，系數最大，即系數最大的項是T3C92 (1)2 x12 =9x122故第一空填 21,

18、 第二空填 9x12 。16【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題r rr r rr1, 5r r14. 設平面向量 a ， b 滿足 a , b , ab，則 a b 的最大值為 _，最小值為 _95【答案】 (1).(2).24【解析】【分析】-11-r rrr2rr2rr 2r 2rr(a b )(a b)r ab(a b )利用 a b4與 a b22即可求出最值?！驹斀狻?rr 2r 2rr2rab(ab )5+5 19a b222r rrr2rr2rr25(a b)(a b )( a b )a b444故第一空填9, 第二空填5。2

19、4rr 2rr 2r 2r2rr 2r r (ab)(ab )r rab(ab)【點睛】本題考查極化恒等式a b4與 a b2，屬于中檔題。215. 已知 F1 ， F2 是橢圓 C1 ： xy21與雙曲線 C2 的公共焦點，P 是 C1 ， C2 的公共點，若3OPOF1 ，則 C2 的漸近線方程為_.【答案】 yx【解析】【分析】先 由 C1 的 方 程 ， 確 定 F1 的 坐 標 ， 設 P 3 cos ,sin，根據題意 OP OF1， 得 到3cos 2sin 2c2 ，求出 P 點坐標，代入雙曲線方程，再由a2b24 ，即可求出結果 .【詳解】因為F1 ， F2 是橢圓 C1 ：

20、 x2y21與雙曲線 C2 的公共焦點，所以F1 (2,0) ，3設點 P3 cos,sin，由 OPOF13cos 2sin 2c2cos2 ，不妨取正即 P2 ,6，222代入雙曲線方程得：621 ，4a24b2又 a2b24 ，即 a b1 ；-12-即 C2 的漸近線方程為yx .故答案yx【點睛】本題主要考查求雙曲線的漸近線方程，熟記橢圓與雙曲線的簡單性質即可，屬于?？碱}型 .16. 如圖，在四邊形ABCD中，BAC90 BC4 CD1 AB 2AD，AC是BCD，的角平分線，則 BD_【答案】21【解析】【分析】設出 ADx ，根據ACB ACD ，利用余弦定理建立等式解出AD =

21、 3 ，再求出ACB ACD 的值，在 VBCD 中利用余弦定理，解出BD 的值?！驹斀狻吭OADx ，則 AB2x , AC164 x2 ,又AC是BCD 的角平分線，即ACBACD ,AC22AD2cos ACBcos ACDACCDx3,BC2AC CD即 AD3， AC2 ，ACBACD =60 o ， BCD =120oBD421224 1cos120 o21故填21【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎題。17. 設函數 f i ( x) ( x)ix4 i ( x R, i 0,1) ，若方程 a f1 ( x)f0 (x) 0 在區(qū)間 1,3 內有24 個不同的實數解，則

22、實數a 的取值范圍為 _-13-17【答案】, 2 26【解析】【分析】根 據 題 意 寫 出 f1( x) ， f 0 ( x) 。 根 據 函 數f 0 ( x)1x4 的 單 調 性 ， 判 斷 出 方 程a f1( x)f 0 ( x)0 在區(qū)間 1,3 內有 4 個不同的實數解等價于在在1 ,1 與1,3 各有兩不22同的實數解。再分區(qū)間討論即可得出答案?！驹斀狻坑深}意知f1( x)xx3, f0 (x) 1x4，(x0) ,所以方程 af1 (x)f0 (x)0在區(qū)間 1,3 內有 4 個不同的實數解等價于12a xx31x4在區(qū)間 ,3 內有 4 個不同的實數解。2記 g(x)a

23、xx3， h( x)1x4 ，因為 h(x) 在 1 ,3 上單調遞減且 h( x)0 ，則 a0 ，2要使 g ( x)h(x) 在區(qū)間 1,3 內有 4 個不同的實數解，則在 1 ,1 上有兩不同的實數解，在221,3有兩不同的實數解。1）當 1x1， g (x)a( x3x) ,g ( x)a(3 x21) ,a 02所以 g ( x) 在 1 ,3 單調遞減，在 3,1 單調遞增。233又 h( 1)1117 ， g( 1 )= 3 a ， h(3 )10 ， g( 3 )2 3 a 。21616283939要使 g ( x)h(x) 在區(qū)間 1,1 上有兩不同的實數解，則：2g( 1

24、 ） h( 1 )2217a53 。3 ） h(3 )g(63332）當1x3時， g( x)a( x3x) ，令 k (x)g ( x)h( x)a( x3x) x41則 k ( x)在 1,3有兩不同的實數解，-14-k ( x) 4 x3 +3ax2a ， k (x) 12 x2 +6ax =6x(2 xa)由 1）知a1，2所以k ( x)在(1,a 單調遞減，在a， 單調遞增，且 k (1) 4+2a0 ，2(23k (3) 108+26a0，則在 1,3上存在唯一03+3ax02a0 ，即 k( x) 在1, x0 單調遞減，在x 使得 k ( x0 )4x0 x0，3 單調遞增。

25、又 k(1)=20， k(3)24a820 ， k (x) 在 1,3 有兩不同的實數解，只需k( x0 ) 0 ，k ( x0 )4x032a，+3ax00聯立4+ax03，k( x0 ) x0ax0 1 04x3又 知 a0代入 化簡得 x02 313x20又由 m( x)4x3在1,3上單調遞增，13x2所以 a4(23 )3223) 213(2綜上所述：17a22617,22故填6【點睛】本題考查根據函數的零點的個數求參數的取值范圍，屬于難題。18. 設函數 fxsin xcosx ， x R .（ ）求 fxfx的最小正周期；（ ）求函數 gxsin3 x cos3 x 的最大值 .

26、【答案】（ ）最小正周期為；（ ）最大值為 1.【解析】-15-【分析】（ ）代入化簡即可求出答案。（ ）利用輔助角公式化簡fx2 sinx2,2，利用立方和公式因式分解4g x 并用 fx 將其表示出來，再換元判斷復合函數單調性，再求最值。【詳解】解：（ ）因為f xfxsin xcos xsin xcosxsin2 xcos2 x所以 f xfx 的最小正周期為；（ ）由題 fxsin xcosx2 sinx42,2而 gxsin xcosxsin 2xsin x cos xcos2 xsin xcos x21sin xcos x12fx3f 2 x1f 3x3fx2222令 fxt ，則

27、 gx 的的最大值即為函數y1 t3 3 t ， t22由 y3t21可得函數在2,1和1,2上遞減，在 1,12又 x2 時， y2 ； x1 時， y 1.2所以函數 gx 的最大值為 1.19. 在數列an 中， a12 ， an 14an 3n 1 ， n N * .（ ）證明：數列 ann 是等比數列；（ ）記 bn(an n) n ，求數列bn 的前 n 項和 Sn .3n1 4n1【答案】（ ）證明見解析； （ ） Sn9cos2x2,2 的最大值，上遞增。-16-【解析】【分析】（ ）利用等差數列的定義證明an 1( n 1)q 即可。ann（ ）由（ ）求出數列 ann 的通

28、項公式， 代入 bn(ann)n ，再利用錯位相減求數列bn的前 n 項和?！驹斀狻拷猓海?）證明：由 an14an3n1 ，可得 an 1 n 1 4 an n .又 a111，所以數列ann是首項為，公比為4的等比數列；1（ ）由（ ）知 ann4n1，即 an4n 1n ，所以 bnn 4n 1，Sn1 402 41 L n 4n 1 ，4Sn1 412 42 L n 4n ， 得， 3Sn 1 4 42n1n 4n4n1n 4n，L 43所以 Sn3n 1 4n19【點睛】本題考查等比數列的定義，錯位相減求數列的前n 項和，屬于基礎題。20. 如圖，在四棱錐 S ABCD 中， AD 2BC2 3，AB3 ，SASC，AD BC ，AD平面 SAB， E 是線段 AB 靠近 B 的三等分點 .（ ）求證： CD平面 SCE ；-17-（ ）若直線SB與平面SCE所成角的正弦值為1 ，求SA的長 .3【答案】（ ）證明見解析； （ ）392【解析】【分析】（ ）取 AD 中點 F ，連接 CF ，根據題意可