正余弦定理知識(shí)點(diǎn)歸納考點(diǎn)分析及例題講解11

1、最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)正余弦定理考點(diǎn)分析及例題講解4.考點(diǎn)回顧:1.直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C= 90°, AB= c, AC= b, BC=a。(1)三邊之間的關(guān)系：a2+ b2= c2o (勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系：A+ B= 90°；(3)邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)2.abasin A= cos B= , cosA= sin B= , tan A= o ccb2.斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在 ABC中, A B C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、BC的對(duì)邊。3.5.(1)三角形內(nèi)角和：A+ B+ C= n

2、 o(2)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。2R o ( R為外接圓半徑)sin A sin B sin C正弦定理：一J =化 =J= 2R的常見(jiàn)變形：sin A sin B sin C(1)sin A : sin B : sin C= a ： b ： c；a+ b+ c(2) a = -=-="= 2R-sin A sin B sin C sin A+ sinB+sin C ' a = 2Rsin A, b= 2R3in 旦 c = 2Rsin C« a c bc(4)sinA= 2R, sinB=示 sin C=樂(lè)1 1 1三角形面積公式

3、：S= absin C= bcsin A= casin B.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案(附經(jīng)典解析)余弦定理的公式:cos Aa2b2c22bccosAb22 a2 c2accosB 或cosB2 cb22 a2ba cosCcosCb2c2 a22bc22.2acb2ac.222bac2ab6.(1)兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題:1、已知兩角和任意一邊,求其他的兩邊及一、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊(2)兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題:1、已知三邊求三角.、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他7.兩角.判定三角

4、形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化， 統(tǒng)一成邊的形式或角的形式解題中利用ABC 中 ABC，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三角變換的運(yùn)算,9.如：sin (AB)sinC, cos(A B)cosC, tan (AB) tanC,B2解三角形的問(wèn)題一般可分為下面兩種情形:sin AC A B cos ,cos2 2sinC,tan口2 2cotC.2若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形, 則稱為解斜三角形設(shè) ABC的三邊為a、b、c,對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為 A、B、C。(1)角與角關(guān)系：A+B+C= n ;(2)邊與邊關(guān)系：a + b > c, b +

5、c > a, c + a > b,a > b;(3)邊與角關(guān)系：解斜三角形的主要依據(jù)是:a- b < c, b c < a, c典例解析最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案（附經(jīng)典解析）題型1:正弦定理例1、在 ABC中,已知 BC= 12, A= 60°, B= 45°，貝U AC=例 2 .在 ABC中,sin A= sin。，則 ABC是A.直角三角形B.等腰三角形C .銳角三角形D.鈍角三角形題型2:余弦定理例 1、在 ABC中,A、B C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若A=n,a=/3, b= 1,則c等于（）B. 2C.b2 + c2 a2解析由余弦定

6、理得cosA= rc-3 11 = 1 + c 3 2= 2X 1X c ,D-W二 C 2= c,. c= 2 或 c = 1(舍).鞏固練習(xí):1、在 ABC中，(1) 若 a + b C = 0，貝 y C=(2) 若 C = a + b ab，貝U C=若 C2=a2 + b2+ 寸2ab，則 C=在 ABC中，已知 a= 1, b= 2, C= 60°，貝U c 等于()A. V32、在 ABC中，若 b2= a2 + c +ac,則B. 3C.B等于 （）A. 60°B. 45° 或 135°C . 120°D. 30°題型

7、3：正弦、余弦定理求角度例1、（2013湖南文5）在銳角 ABC中,角A、B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asinB= b.則角A等于（）.ujxi屯陽(yáng)】由£憩定專二=呂.國(guó)=書店.羽 illt-A MUff=.刖冇七二= < 臂rT二弓.曲干心M曠是規(guī)曲 siilK J 弓sin-1 jn21.3、在 ABC中,A. 30°B.已知b= 3, c= 33, A= 30°，則角 C等于C. 60° D . 150°120°2.4、在 ABC中,角A B,C所對(duì)的邊分別為a, b, c,已知cos 2O=- 1.求sin C的值;當(dāng)

8、 a= 2,2sinA= sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng).解 (1) cos 2 O= 1-2sin 'g 4, 0</ C< n,A sin C=呼.a 當(dāng) a= 2,2sin A= sin C時(shí)，由正弦定理 一A= 一C 得 c = 4.由 cos 2O= ZcosO 1 = - 1 及 Ov/Cvs 得 cos I 乎.由余弦定理 c2= a2 + b2一 2abcos C,得 b2±y6b- 12 = 0(b>0)，解得 b = P6或 2寸6,b =血c = 4或b= 2心,c= 4.題型2:三角形面積例 1、在 ABC中,a= 10, b= 8, C=

9、 30°，則 ABC的面積 S=例2、在 ABC中, A= 60°, b= 1, 5ab=73，則 ABC外接圓的面積是例 3、在 ABC中，若/ A= 120°, AB= 5, BC=乙求 ABO的面積.題型3:正、余弦定理判斷三角形形狀在 ABC中，已知a2ta nB= b2ta nA,試判斷 ABC勺形狀.例2、在ABC中，已知2sinAcosB sinC，那么 ABC 一定是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀. 例1、1、在 ABC中, acos A+ b

10、cos B= ccos C,試判斷三角形的形狀.由余弦定理知.2 2 2 2 2.2cosb + c aa + c bA=r，coscos代入已知條件得.222 2 2.2 2 2.2b + c a a + c b c a b a-r+b'10廠+c-10廠=°，通分得 a (b + c a) + b(a + c b) + c (c a b ) = 0, 展開整理得(a2 b2)2= c.2I 2丄 2 口仃 2I 22 亠 I 222a b = ± c，即 a = b + c 或 b = a + c .根據(jù)勾股定理知 ABC是直角三角形.2A c- b2、在 AB

11、C中，sin =2c ( a,b.c分別為角A, B, C的對(duì)應(yīng)邊），則 ABC勺形狀A(yù).正三角形.直角三角形C.等腰直角三角形.等腰三角形答案3、D.解析cos2A 1 cos A c b sin 2II 222A= c=2；廠? a + b c，符合勾股定理.故 ABC為直角三角形.已知a、b、c為 ABC的三邊長(zhǎng)，若滿足（a+ b c）（ a + b+ c） = ab,則/ C的大小為A . 60°C.120°150°解析/ (a+ b c)( a+b+ c) = ab, cos C= 1,A/ C= 120。.5、在 ABC中，若 2cos Bsin A=

12、 sin C 則 ABC的形狀一定是A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D.等邊三角形Asin B= 0,即 sin( A解析/2cosBsinA= sinC= sin(A+B)，二 sinAcos B- cosB) = 0,二 A= B6、在 ABC中,已知sin A： sin B： sin C= 3 : 5 :乙則這個(gè)三角形的最小外角為A. 30° 60° 90° 120°解析 Ta： b : c= sin A： sinB : sin C= 3 : 5 :7,不妨設(shè) a= 3, b= 5, c= 7,C為最大內(nèi)角，則cOs C= 32；

13、557 = 1 C= 120°.最小外角為60°.7、 ABC的三邊分別為a, b, c且滿足b2= ac, 2b= a+c,則此三角形是（D.A 等腰三角形直角三角形等腰直角三角形等邊三角形在 ABC中,角A, B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a, b, C,若C= 120。,c=/2a,則()A. a>b a<b小關(guān)系不能確定答案 A解析 在 ABC中，由余弦定理得，c2= a2+ b2 2abcos 120 ° = ai2+ b2 + ab./ c=走a, 2a2 = a2+b2+ ab.a b = ab>0, a >b , a>b.

14、9、如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀是A-銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D. 由增加的長(zhǎng)度確定解析：設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為 a, b, c,且a2+ b2= c2,則(a + x)2 + ( b+ X)2 ( c+ X)22 2 2 2 2 2=a + b+ 2x + 2( a + b)x c 2cx x = 2( a + b c)x + x >0, c+ x所對(duì)的最大角變?yōu)殇J角10、在 ABC中, sinA= sinB,則 ABC是 ()A.直角三角形.銳角三角形 C .鈍角三角形等腰三角形11、在 ABC中,若 cos A cos B cosABC是 ()A.

15、直角三角形B.等邊三角形C .鈍角三角形等腰直角三角形答案 Bsin A sin解析由正弦定理知：cosa= corgcosc,tan A=tan B=tan CA=BB sin C12、在 ABC中, sin3A= 4, a= 10,貝也長(zhǎng)c的取值范圍是（15A. ,+sC. (0,10)40D. 0, 5解析a 404040sin C sir?=亍，二 c=§Sin C 二 0<c?.13、在 ABC中, a= 2bcos C,則這個(gè)三角形一定是（A.等腰三角形.直角三角形等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析由 a= 2bcossin A= 2sin EBDos Csin

16、(B+ C) = 2sinBcosC,sinBcos C+ cosBsinC= 2sinBcos C,sin(B C) = 0,.B= C14、在 ABC 中，已知(b + c) : (c + a):(a + b) = 4 : 5 :6,則sin A: sin B: sin C等于（）C. 3 : 5 : 7D. 4 : 5 : 6115、已知三角形面積為4,外接圓面積為 n,則這個(gè)三角形的三邊之積為 （C.A. 1答案解析設(shè)三角形外接圓半徑為 R則由n R =n,abc 14, abc= 1.1abc得 R= 1,由 S = 2absin C=涼4116、在 ABC中，已知 a= 3/2,

17、cos C= 3 , S ab= 刃3,貝y b=解析 / cos C= 3,. sin C= -2,33二 2absin C= 4羽，二 b= 2yJ3.17、在 ABC中，角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 A= 60°, a=/3, b= 1,則a byf311解析由正弦定理爲(wèi)=,得=sn飛二sin B=1故B=30°或 150° .由 a>b,得B= 30°，故 C= 90°,由勾股定理得c = 2.a b2ca+ b+ c18、在單位圓上有三點(diǎn)A, B,C,設(shè) ABC三邊長(zhǎng)分別為a, b,c,則2市+ 礦C何在

18、厶 ABC中，A= 60°, a= 6込 b= 12, SABC= “83,則sin A+ sin B+ sin Ca+ b+ c解析 sin A+sin B+ sin C=曲= =佗21LC=寸 3 X 12sin1sinC 2，.csina-=12C sin A ,c = 6.20、在 ABC中，求證:a ccos B sin b ccos A= sin Aa證明因?yàn)樵?ABC中, A-sin BsincC= 2R2R3in A 2Fsin Gcos B所以左邊=2Rsin B 2Fsin Gcos AsinB+ C sinCcos B sinBcosCsinA+ C sinCcos A= sinAcosC= sinAa ccos B sin B所以等式成立，即E7= s.22、在 ABC中, B= 60°,最大邊與最小邊之比為 （3+ 1）2,則最大角為（A. 45°C . 75°D . 90°解析 設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A+ C= 120°,sin C= sin(120° Asin A sin A1+ =2tan A+ 2V3