點集拓撲學(xué)期末考試練習(xí)題含答案

1、點集拓撲學(xué)期末考試練習(xí)題（含答案）、單項選擇題（每題1分）1、已知X=abc,d,e;下列集族中；（）是X上的拓撲. T =X, ,a, a,b, a,c,e T=X, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,eSXbb, c, d答案：1 /17 T =X,a,b T=X, ,a, b, c, d, e答案:2、設(shè)X=a,b,c;下列集族中;（）是X上的拓撲. T =X, ,a, a,b, C T =X, ,a, a, b, a,c答案: T =X, ,a, b, a,c3、已知X二a,b,c,d；下列集族中；（）是X上的拓撲. T =X, ,a, a,b, a,c,d T =X, ,a,

2、b,c, a, b, d答案:4、設(shè)XAa,b,c;下列集族中;（）是X上的拓撲. T =X,b, a,c,d T =X, ,b, c, a,b T =X, ,a, b, a,b,a,c答案: T =X, ,a, b, a,c T =X, ,a, b, c5、已知X二a,b,c,d；下列集族中；（）是X上的拓撲. T =X,b, a,c,d T= X, c, a,c答案：6設(shè)Xqabc;下列集族中；（）是X上的拓撲. T =X, ,a, b, b,c T =X, ,a,b, b,c T =X,b, c答案：7、已知 X=a,b,c,d；拓撲 T=X, ,a；則面=()8、已知 X 二abc,d

3、；拓撲 T=X, ,a；貝!jbod=()3/179 已知Xbb,c,d答案：二a,b；拓撲 T 二X, ,a；則a=(ab答案：ab11、已知 X =a,b,c,d；拓撲T= X,a；則a =a,bb, c,d答案：12、已知 X 二a,b,c,d；拓撲T= X,貝yc =SXa,cb,c, d答案：= a,b；拓撲 T=X, ,a；則b=(10、已知X設(shè) X =abcd13、答案:二X, ,a, b,c,d；則X的既開又閉的非空真子集個數(shù)4答案：14、設(shè) X 二abc；拓撲=X, ,a, b,c；則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為4答案：15、X 二abc；拓撲 Y是拓撲空間X到丫的一個映

4、射；若它是一個單射；并且是從X到它的象集f(X)的一個同胚；則稱映射f是一個答案：嵌入25/19、f： XY是拓撲空間X到丫的一個映射；如果它是一個滿射；并且丫的拓撲是對于映射f而言的商拓撲；則稱f是一個20、設(shè)X,Y是兩個拓撲空間；f:X Y是一個映射；若X中任何一個開集U的象集f(U)是丫中的一個開集；則稱映射f是一個答案：開映射21、設(shè)X,丫是兩個拓撲空間；f:X 丫是一個映射；若X中任何一個閉集U的象集f(U)是丫中的一個閉集；貝U稱映射f是一個答案：閉映射22、若拓撲空間X存在兩個非空的閉子集代B；使得/VB，A .B-X；則X是一;答案：不連通空間23、若拓撲空間X存在兩個非空的開

5、子集代B；使得A*B=； AB = X；則X是一個一24、25、 ;答案：不連通空間答案：不連通空間若拓撲空間X存在著一個既開又閉的非空真子集；則X是一個 設(shè)丫是拓撲空間X的一個連通子集；ZX滿足丫 ZY;則Z也是X的一個26、;答案：連通子集拓撲空間的某種性質(zhì)；如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有；則稱這個性質(zhì)是_個 ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓撲空間的某種性質(zhì)；如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有;則稱這個性質(zhì)是一個 ;答案：可商性質(zhì)28、若任意n_1個拓撲空間Xi,X2jl(,Xn ；都具有性質(zhì)P；則積空間XiX2川Xn也具有

6、性質(zhì)P ;則性質(zhì)P稱為答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)X是一個拓撲空間；如果X中有兩個非空的隔離子集A,B；使得A B二X;則稱X是一個 ;答案：不連通空間三判斷(每題4分；判斷1分；理由3分)1、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射0答案:V理由：設(shè)X是離散空間；丫是拓撲空間；f:X Y是連續(xù)映射；因為對任意A 丫 ；都有f(A)X ：由于X中的任何一個子集都是開集；從而f- (A)是工中的開集；所以f：xY是連續(xù)的2、設(shè)口丁2是集合X的兩個拓撲；貝U Tv T2不一定是集合X的拓撲0答案：X理由：因為Ti,T2是X的拓撲；故X,Ti； X/T2：從而X,TvT2；(2)對任意的A,BTiT

7、2；則有A,BTi且A,BT2；由于Ti；廠是X的拓撲；故A - B三Ti且A B T2；從而 A B T八 T 2 ;(3)對任意的T Ti -T2；則廠 r,T T2；由于Ti； T2是X的拓撲；從而U tU Ti;U T2；故 uT, U Ti- T2 ；綜上有TT2也是X的拓撲.3、從拓撲空間X到平庸空間丫的任何映射都是連續(xù)映射()答案：V理由：設(shè)f:X丫是任一滿足條件的映射；由于丫是平庸空間;它中的開集只有YJ ;易知它們在fF的原象分別是X,打均為X中的開集；從而f:X； Y連續(xù).4、設(shè)A為離散拓撲空間X的任意子集；則d理由：設(shè)P為X中的任何一點；因為離散空間中每個子集都是開集;所

8、以p是X的開子集；且有dn A-Cp.； i= r ；即pdA;從而d(A)V5、設(shè)A為平庸空間X ( X多于一點)的一個單點集；貝udA()答案：X理由：設(shè)A=y;則對于任意XX,x=y ； x有唯一的一個鄰域X ;且有倂XAx)；從而X- (A-x)=;因此X是A的一個凝聚點；但對于y的唯一的鄰域X ;有X - (A- y)=所以有d A二X-At6設(shè)A為平庸空間X的任何一個多于兩點的子集；貝U d A二X(理由：對于任意X,因為A包含多于一點；從而對于X的唯一的鄰域X ;且有X(A-x)=；因此X是A的一個凝聚點；即d(A)；所以有d Ai； =X.7、設(shè)X是一個不連通空間；則X中存在兩

9、個非空的閉子集代B；使得B二;a_.B二X理由：設(shè)X是一個不連通空間；設(shè)代B是X的兩個非空的隔離子集使得A B二X;顯然Ap|B；并且這時有:B 二 BX = (BA)(BB) = B從而B是X的一個閉子集；同理可證A是X的一個閉子集；這就證明了代B滿足8、若拓撲空間X中存在一個既開又閉的非空真子集；則X是一個不連通空間0 V理由：這是因為若設(shè)A是X中的一個既開又閉的非空真子集；令A(yù);則A,B都是X中的非空閉子集；它們滿足AB二X ;易見A,B是隔離子集；所以拓撲空間X是一個不連通空五簡答題(每題4分)1、設(shè)X是一個拓撲空間；代B是X的子集；且AB試說明d(A)d(B)答案：對于任意d(A)；

10、設(shè)U是X的任何一個鄰域；則有U - (A-x)： 二由于AB :從 而 U-(B -X) - U- (AX)；因此 X d(B)； 故 d(A) d(B) 2、設(shè)X,Y,Z都是拓撲空間f:X Y； g:YZ都是連續(xù)映射；試說明gQf:XZ也是 連續(xù)映射.答案：設(shè)W是Z的任意一個開集；由于g： YZ是一個連續(xù)映射；從而gJ(W)是丫的一個開 集;由f:X Y是連續(xù)映射；故f(W)是X的一開集；因此(gQ f)*(W) = f-C(W)是X的開集；所以gOf :XrZ是連續(xù)映射.3、設(shè)X是一個拓撲空間；A X 試說明：若A是一個閉集；則A的補集A是一個開集答案：對于-xA；則xA；由于A是一個閉集

11、；從而X有一個鄰域U使得U - (A-x)-* ；因此U 力二為即UA;所以對任何A； A是X的一個鄰域；這說明A是一個開集.4、設(shè)X是一個拓撲空間；A X 試說明：若A的補集A是一個開集；則A是一個閉集.答案：設(shè)xA;則xA ;由于A是一個開集；所以A 是X的一個鄰域；且滿足A、A h因此xA；從而A二A;即有A二A;這說明A是一個閉集.5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:xy=x,y（：，1）或者 x,y 1,2）或者 x,y 2,二）設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫 =0,1,2：試寫出丫的商拓撲答案：T 珂,Y,0,0,16、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系: xy = x, y （-打或

12、者 X, y （1,2或者 X, y （2,：:）設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二 1, 2, 3；試寫出丫的商拓撲T答案：th ,Y,3,2,37、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:Xy： = x,y （-： : ,1）或者 X, y1,2）或者 x,y2,二）設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二1,1,2;試寫出丫的商拓撲T 答案：TJ5J,Y,-1M-1L1 &在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:xy=x,y （-： : ,1）或者 x,y 1,2）或者 x,y2,二）設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫 =2,1,2；試寫出丫的商拓撲答案：T= ,Y,-2,1 9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系: x

13、y = x, y （7 ,1或者 x, y （1,2或者 x, y （2,：:）設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二0,2,3;試寫出丫的商拓撲T.答案：T= ,Y,3,2,3 10.在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:xy = x,y (f,1或者 x,y (1,2或者 x,y (2,：:)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二0,2,4;試寫出丫的商拓撲T答案：T 珂,4,2,411s在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:Xy 二 x,y (-： : ,1或者 X, y (1,2或者 x,y (2,設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二1,2,4;試寫出丫的商拓撲T答案：T=,T,4,2,4 六、證明題(每題8分)

14、1、設(shè)f ：X Y是從連通空間X到拓撲空間丫的一個連續(xù)映射則f(X)是丫的一個連通子集證明：如果f(X)是丫的一個不連通子集；則存在丫的非空隔離子集A,B使得f(X) =A 一 B于是fJ(A),f(B)是X的非空子集；并且:(f, (A)fi(B)(fJ(Brfi(A)(fJ(Ap f(B)h, r(B)十(A)二f(A-B) (A-B)=所以f(A), f(B)是X的非空隔離子集此外;fJ(A)十(二B), f(A, )B;這說明X不連通；矛盾從而f (X)是丫的一個連通子集-8分2、設(shè)丫是拓撲空間X的一個連通子集；證明：如果A和B是X的兩個無交的開集使得Y A- B ；則或者丫 A ；或

15、者丫 B.證明：因為A,B是X的開集；從而AY,BY是子空間Y的開集.又因Y A B中；故Y=(AY) (BY)由于Y是X的連通子集；則A-Y, B-Y中必有一個是空集若BY=: ；則YA;若A =；則Y B3、設(shè)丫是拓撲空間X的一個連通子集；證明：如果A和B是X的兩個無交的閉集使得丫 A-B；則或者丫 A ；或者丫 B.證明：因為A,B是X的閉集；從而Y,BY是子空間Y的閉集 又因 Y A B 中；故 Y =(A Y) (B Y)由于Y是X的連通子集；則AY,BY中必有一個是空集若B遼二、；則Y A ；若Y=: 貝!J Y B4、設(shè)丫是拓撲空間X的一個連通子集；ZX滿足丫 ZY ;則Z也是X

16、的一個連通子集證明：若Z 是X的一個不連通子集；則在X中有非空的隔離子集 代B使得Z二AB因此YAB由于丫是連通的；所以丫 A或者丫 B;如果丫 A;由于ZYA;所以6力-3=,因此B=ZB=-同理可證如果丫 B;則&= ;均與假設(shè)矛盾故Z也 是X的一個連5、設(shè)Y二是拓撲空間X的連通子集構(gòu)成的一個子集族如果仃一，則U丫是X的一個連通子證明：若U 丫是X的一個不連通子集唄9 X有非空的隔離子集代B使得U 丫二 A B任意選取x.Y ；不失一般性；設(shè)A；對于每一個r；由于丫連通；從而U 丫 A及B=矛盾;所以UY是連通的6設(shè)A是拓撲空間X的一個連通子集；B是X的一個既開又閉的集合證明：如果AB；則

17、A B.證明：若B-X ：則結(jié)論顯然成立.下設(shè)B = X;由于B是X的一個既開又閉的集合；從而AB是X的子空間A的一個既開又閉的子集4分由于= 及A連通；所以AB=A；故A二B7、設(shè)A是連通空間X的非空真子集證明:A的邊界：（A）證明：若JA）=：=由于：（A）二A7V；從而4、單位閉區(qū)間I與S不同胚。答：這個說法是正確的。F面用反證法證明；反設(shè)I與S同胚；則f|2號卜：?*LSi卡f身律也是同胚映射；ir?不連通；貝U SW?不連通;故矛盾；所以單位閉區(qū)間I與S不同胚。5、緊致性具有可遺傳性質(zhì)。答：這個說法是錯誤的反例：0,1 緊致但0J不緊致。三、證明題（每題10分；共50分）I、明f是連

18、續(xù)映射；但不是同-X, X0規(guī)定 f : E 0,1 )T E 為 f(x)= I ；證X-1 XK1胚映射。證明：由于f限制在:，0與1,=上連續(xù)；由粘接引理；f連續(xù)。但f 一 不連續(xù);如？-處,0是0,1的閉集；但f 1，0 二 f Ml q ,0不是的閉集；所以f不是同胚映射。2、證明：Hausdorff空間的子空間也是Hausdorff空間。證明：設(shè)X是Hausdorff空間；丫是X的任一子空間；需證Y是Hausdorff空間。- X, y 丫 ；由X是Hausdorff空間；所以存在X, y在X的開鄰域U、V使得U；U Y是X在、了中開鄰域；V 丫是y在丫中開鄰域;U 丫 V 丫 U V 丫八；故丫是 Hausdorff 空間。證明：要證明f*: 丫 X連續(xù)；只需證f是閉映射；設(shè)A是X的閉子集緊致；所以A是緊致的。又因為緊致空間在連續(xù)映射下的像也緊致；所以f A是、了的緊致 子集；又由于