正態(tài)曲線下面積

1、第二節(jié)正態(tài)曲線下面積直方圖是以直方的面積表示數(shù)量的。直方頂端連成曲線后，整個(gè)曲線下面積就表示總頻數(shù)，用1或100%表示。一定區(qū)間曲線下面積就是出現(xiàn)在此區(qū)間的頻數(shù)與總頻數(shù)之比，或出現(xiàn)在該區(qū)間的各個(gè)變量的概率之和。例如以7歲男童102人為100%，則若要知道坐高在66至68cm間的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，只要知道曲線下橫坐標(biāo)為66至68cm區(qū)間內(nèi)的面積就可以了。因此求出曲線下面積有其實(shí)用意義。曲線下某區(qū)間的面積，可根據(jù)曲線方程用積分求得，但若每次應(yīng)用時(shí)都要用積分計(jì)算，那是很麻煩的。前人已將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下0至各u值的面積計(jì)算出來的了。由于各書列的方式不完全相同，所以使用時(shí)要注意表上的圖示或說明，仍用7

2、歲男童坐高資料為例說明正態(tài)曲線下面積表（附表2）的使用方法。該表左側(cè)及上端為u值，表中數(shù)字為橫軸自0至u曲線下的面積。例5.1根據(jù)表4.3的資料計(jì)算得坐高的X=66.72，S=2.08，試估計(jì)總體中坐高在間。（2）6668cm間及（3）6870cm間的人數(shù)各占總?cè)藬?shù)的百分比。（1）求坐高在66.7268.80cm 之間曲線下面積。求u（u=(X-)/，這里分別以X、S作為與的估計(jì)值）（66.72-66.72）/2.08=0（66.80-66.72）/2.80=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積見圖5.3（a）。查附表2，u自0至1的面積，即查u=1.00，得/2=0.3413。坐高在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的

3、34.13%。（2）求坐高在6668cm之間曲線下面積。求u標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積見圖5.3(b)查附表2u=0.346，得/2=0.1353(經(jīng)內(nèi)插法求得，下同)坐高在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的36.61%，即102×0.3661=37.3人，與實(shí)際觀察所得38人相近。圖5.3正態(tài)曲線下面積之計(jì)算（3）求坐高在6870cm間的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比。求u標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積見圖5.3(c)坐高在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)點(diǎn)總?cè)藬?shù)的21.18%，即有102×0.2118=21.6人。與實(shí)際觀察所得20人相近。從例5.1可見，因?yàn)檎龖B(tài)曲線對(duì)稱于原點(diǎn)，所以不論u為正還是負(fù)，絕對(duì)值相同時(shí)，自0至u的面

4、積相同。查附表2時(shí)，若兩個(gè)u值中有一個(gè)是0，按另一u值查得/2；若兩個(gè)u異號(hào)，將查出的兩個(gè)/2值相加；若兩個(gè)u同號(hào)，則將大的/2值減去小的即得。但不能將兩個(gè)u值相加（或減）后再查面積。例5.1已求得u從0-1時(shí)，/2=0.3413,所以u(píng)從-11，曲線下面積為0.6827，說明有68.27%的變量值在±的范圍內(nèi)（見圖5.2）。查附表2，當(dāng)u=1.96時(shí)，/2=0.475，因此±1.96的范圍內(nèi)包含有95%的變量值，只有5%的變量值在此范圍外。由于曲線左右對(duì)稱，因此有2.5%的變量值等于或小于-1.96;2.5%變量值等于或大于+1.96。同理，查附表2，u=2.58時(shí),/2=0.495,因此±2.58范圍內(nèi)有99%的變量值，在此范圍外的僅占1%。u=1.96和u=2.58（準(zhǔn)確說是u=2.5758）是正態(tài)分布中兩個(gè)重要的界值，稱5%界和1%界，今后在正常值范圍估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等中常常要用到。如果已知資料呈正態(tài)分布，那么理論上只要知道和就可根據(jù)曲線下面積表求出任兩值