純策略納什均衡

1、純策略納什均衡純策略納什均衡(Pure Strategy Nash Equilibrium )編輯什么是純策略納什均衡純策略納什均衡是指在一個純策略組合中，如果 給定其他的策略不變，該節(jié)點不會單方面改變自己的 策略，否則不會使節(jié)點訪問代價變小。編輯存在純策略納什均衡的有限次重復(fù)博弈1如果重復(fù)博弈中有惟一純策略納什均衡，那么我 們怎么找出它的純策略納什均衡呢？首先看下面囚徒 的困境的博弈的例子：tad 不加白囚徒1坦由-5,-5O-S不坦白亠比07廠1009囚徒的困境的蟻弈我們現(xiàn)在考慮該博弈重復(fù)兩次的重復(fù)博弈，這可 以理解成給囚徒兩次坦白機會，最后的得益是兩個階段博弈中各自得益之和在兩次博弈過程

2、中，雙方知 道第一次博弈的結(jié)果再進(jìn)行二次博弈用逆推歸納法 來分析，先分析第二階段，也就是第二次重復(fù)時兩博弈方的選擇很明顯，這個第二階段仍然是兩囚徒之 間的一個囚徒的困境博弈，此時前一階段的結(jié)果已成 為既成事實，此后又不再有任何的后續(xù)階段，因此實 現(xiàn)自身當(dāng)前的最大利益是兩博弈方在該階段決策中的 惟一原則.因此我們不難得出結(jié)論，不管前一次的博弈得到 的結(jié)果如何，第二階段的惟一結(jié)果就是原博弈惟一的 納什均衡（坦白，坦白），雙方得益（-5，-5） 現(xiàn)在再回到第一階段，即第一次博弈理性的博 弈方在第一階段就對后一階段的結(jié)局非常清楚，知道 第二階段的結(jié)果必然是（坦白，坦白），因此不管第一 階段的博弈結(jié)果是

3、什么，雙方在整個重復(fù)博弈中的最 終得益，都將是第一階段的基礎(chǔ)上各加-5.因此從第 一階段的選擇來看，這個 重復(fù)博弈與圖I中得益矩陣 表示的一次性博弈實際上是完全等價的.-10,-10-5.-13 I-1JTS6,-6囚徒2國徒1坦白不坦口坦白 不如白BU ft-址!(酪均衛(wèi)的育附次夏廨奔于是我們可以得出惟一純策略均衡的 有限次重復(fù) 博弈的結(jié)果就是重復(fù)原博弈惟一的純策略納什均衡， 這就是這種重復(fù)博弈惟一的子博弈完美納什均衡路 徑.如果重復(fù)博弈中有多個純策略納什均衡，設(shè)某一 市場有兩個生產(chǎn)同樣 質(zhì)量產(chǎn)品的廠商，他們對產(chǎn)品的 定價同有高(H)、中(M)、低(L)三種可能設(shè)高價時市 場總利潤為10個單

4、位，中價時市場總利潤為 6個單 位，低價時市場總利潤為2個單位.再假設(shè)兩廠商同 時決定價格，價格不等時低價格者獨享利潤，價格相 等時雙方平分利潤這時候兩廠商對價格的選擇就構(gòu) 成了一個靜態(tài)博弈問題我們看一個三價博弈的重復(fù) 博弈的例子：0,Od6,03,30,22,0AO|廠裔I廠曲2H M圈3三價t#弈的顯然，這個得益矩陣有兩個純策略納什均衡（M , M）和（L, L），我們也可以看出實際上兩博弈方最大的 得益是策略組合（H， H），但是它并不是納什均衡.現(xiàn) 在考慮重復(fù)兩次該博弈，我們采用一種觸發(fā)策略 （Trigger Strategy ）:博弈雙方首先試圖合作，一旦發(fā) 覺對方不合作也用不合作相

5、報復(fù)的策略使得在第一 階段采用（H，H）成為子博弈完美納什均衡，其雙方的 策略是這樣的：博弈方1 :第一次選H ;如果第一次結(jié)果為（H， H），則第二次選M,如果第一次結(jié)果為任何其他策略 組合，則第二次選擇L .博弈方2 :同博弈方1在上述雙方策略組合下， 兩次重復(fù)博弈的路徑一定為第一階段（H , H），第二階 段（M，M），這是一個子博弈完美納什均衡路徑因為 第二階段是一個原博弈的納什均衡，因此不可能有哪 一方愿意單獨偏離；其次，第一階段的（H，H）雖然不 是原來的博弈納什均衡，但是如果一方單獨偏離，采 用M能增加1單位得益，這樣的后果卻是第二階段至 少要損失2單位的得益，因為雙方采用的是

6、觸發(fā)策略， 即有報復(fù)機制的策略，因此合理的選擇是堅持H 這 就說明了上述策略組合是這個兩次重復(fù)博弈的 子博弈 完美納什均衡從上述的例子我們可以看出，有多個純策略納什 均衡的博弈重復(fù)兩次的子博弈完美納什均衡路徑是， 第一階段采用(H , H)，第二階段采用原博弈的納什均 衡(M , M) 如果這個重復(fù)博弈重復(fù)三次，或者更多次，結(jié)論 也是相似的，仍然用觸發(fā)策略，它的子博弈完美納什 均衡路徑為除了最后一次以外，每次都采用(H，H)， 最后一次采用原博弈的納什均衡(M , M) 編輯存在純策略納什均衡的無限次重復(fù)博弈1與有限次重復(fù)博弈一樣，無限次重復(fù)博弈也是基 本博弈的簡單重復(fù)，但是無限次重復(fù)博弈沒有

7、最后一 次重復(fù)，因此無限次重復(fù)博弈與有限次有一些不同.任何博弈中博弈方策略選擇的依據(jù)都是得益的大 小，這在重復(fù)博弈中仍然是成立的.但是重復(fù)博弈又 與一次性博弈有所不同，因為在重復(fù)博弈中，每一階 段都是一個博弈，并且各博弈方都有得益，因此對于重復(fù)博弈，我們要計算的就是博弈結(jié)束時的一個總的 得益由于前一次博弈和后一次博弈之間會有損失， 因此我們采用一種方法，就是將后一階段的得益折算 成當(dāng)前階段得益的（現(xiàn)在值）的貼現(xiàn)系數(shù)有了貼現(xiàn)系 數(shù)那么在無限次重復(fù)博弈中，某博弈方各階段得 益為n, n.,則該博弈方總得益的現(xiàn)在值為：C-7T =町+ 62 +用眄+=刀滬一t=l對于存在惟一純策略納什均衡博弈的無限

8、次重復(fù) 博弈，我們從下面的例子來看：H霽方】S4存在惟一地覽路的卄均窗博弈的無BI次握博葬其中博弈方1和博弈方2分別表示兩個廠商，H 和L分別表示高價和低價顯然，該博弈的一次性博 弈有惟一的純策略納什均衡（L, L），但是這個納什均 衡并不是最佳策略組合，因為策略組合（H，H）的得益 （4，4）比（1，1）要高的多但是由于（H，H）不是該博 弈的納什均衡，所以在一次性博弈中不會被采用根 據(jù)上面的分析，此博弈在有限次重復(fù)博弈并不能實現(xiàn)潛在的合作利益，兩博弈方在每次重復(fù)中都不會采用 效率較高的（H，H） 為了實現(xiàn)效率較高的合作利益（H， H），假設(shè)兩博弈方都采用 觸發(fā)策略，也即報復(fù)性策略： 第一階

9、段采用H，在第t階段，如果前t-l階段的結(jié)果 都是（H，H），則繼續(xù)采用L.假設(shè)博弈方1已經(jīng)采用 了這種策略，現(xiàn)在我們來確定博弈方 2在第一階段的 最優(yōu)選擇如果博弈方2采用L,那么在第一階段能 得到5，但這樣會引起博弈方1 一直采用L的報復(fù)， 自己也只能一直米用L，得益將永遠(yuǎn)為1，總得益的 現(xiàn)在值為 存<57T = 5 + 1 x 6 + 1 x + . = 5+ J1 G如果博弈方2采用H,則在第一階段他將得4, 下一階段又面臨同樣的選擇.若記V為博弈方2在該 重復(fù)博弈中每階段都采用最佳選擇的總得益現(xiàn)在值， 那么從第二階段開始的無限次重復(fù)博弈因為與從第一 階段開始的只差一階段，因而在無限次重復(fù)時可看作 相同的，其總得益的現(xiàn)在值折算成第一階段的得益為 因此當(dāng)?shù)谝浑A段的最佳選擇是 H時，整個無限 次重復(fù)博弈總得益的現(xiàn)在值為&丄V = 4 + 6yV 或者 L-6461因此，當(dāng)L 一解得：時，博弈方2 會采用H策略