(完整版)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略

1、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中可謂 “神通廣大 ”，是解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問(wèn)題 的“利器 ”因.而近幾年來(lái)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往成為高考函數(shù)壓軸題.在面對(duì)這些壓軸題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)碰到導(dǎo)函數(shù)具有零點(diǎn)但求解相對(duì)比較繁雜甚至無(wú)法求解的問(wèn)題.此時(shí)，我們不必正面強(qiáng)求， 可以采用將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來(lái)而不必求出來(lái)， 然后謀求一種整體的轉(zhuǎn) 換和過(guò)渡，再結(jié)合其他條件，從而最終獲得問(wèn)題的解決 .我們稱這種解題方法為 “虛設(shè)零點(diǎn) 法.下面筆者就一些高考題，來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中 “虛設(shè)零點(diǎn) ”法的具體解題方法和策略 .策略 1 整體代換將超越式化簡(jiǎn)為普通式如果f (X)是超越形式(對(duì)字母

2、進(jìn)行了有限次初等超越運(yùn)算包括無(wú)理數(shù)次乘方、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算的解析式，稱為初等超越式，簡(jiǎn)稱超越式)，并且f'( X)的零點(diǎn)是存在的，但我們無(wú)法求出其零點(diǎn)，這時(shí)采用虛設(shè)零點(diǎn)法，逐步分析出 “零點(diǎn)”所在的范 圍和滿足的關(guān)系式， 然后分析出相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性， 最后通過(guò)恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的極值與零點(diǎn) 所滿足的 “關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果 .通過(guò)這種形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)渡，從而將超越式化簡(jiǎn)為普通式，有效破解求解或推理證明中的難點(diǎn) .例1 (2015年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷文 21)設(shè)函數(shù)f (X) =e2x-alnx.(1)討論f (x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零

3、點(diǎn)的個(gè)數(shù)；( 2)證明：當(dāng) a>0 時(shí)， f( X) 2a+aln2a.解(1) f (x)的定義域?yàn)?0, +) , f X x) =2e2x-ax (x>0).由 f ( X) =0 ,得 2xe2x=a. 令 g (X) =2xe2x , g( (x) = (4x+2) e2x>0 (x>0),從而 g (x)在(0, +)單調(diào)遞增， 所以 g( x)>g(0)=0.當(dāng)a>0時(shí)，方程g (X) =a有一個(gè)根，即f'(x)存在唯一零點(diǎn);當(dāng)a0寸，方程g (X) =a沒(méi)有根，即f'(x)沒(méi)有零點(diǎn).(2)由(1),可設(shè)f'(X)在(O

4、, +)的唯一零點(diǎn)為X0 ,當(dāng)x( 0, X0)時(shí)，f (x) <0；(1 于 2宀-=OJ.!tjo=r, JflIlI11峯樸22暫-In lj. = hi * - 2rt h fl'J( I, J = IlIflI ll -"-亦* 22 Jrqj. a * a AI 2 _ * « 宀肌上 -2ll) * .+ 2rt-tll 4 <rh 3 2× 2dta22jrIir1 2j22+ f Eei= 2肚 + al IaJI2故 Ir a > O 時(shí) N 3 In 4 IrrIll -Q評(píng)析 -'fi<2)網(wǎng)痊応$屮

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8、-aInx0=a2x0-a(Ina2-2x0 )=a2x0+2ax0+aln2a 2a2x0 × 2ax0+aIn2a=2a+aln2a.廉rt稈鄲權(quán)一的“ E(-= DLFtfTn 1 - 2 c l C 11 1.4rp( ) c,f<!) f c( j-t =F=-ta" - IHfXIi + 2).宀IZitlM 駅 T(JM- -S ÷ -飛Jb Q» + *<1 * 2皿品門(mén)、O.UP a-( O、<).丈N丄1 B iktlIK) > O-¢-2, ÷> L4f* 的爭(zhēng)也九ki.扎站怕仁斛1

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24、,快速將超越 式 e2x0-alnx0 化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式 a2x0+2ax0+aln2a ，然后使用均值不等式求出最小值， 同時(shí)消掉了 x0.在求解的過(guò)程中，不要急于消掉x0,而應(yīng)該著眼于將超越式化簡(jiǎn)為普通的 代數(shù)式 .借助 f(x0) =0 作整體代換，竟能使天塹變通途！其實(shí)，這種做法早已出現(xiàn)在以下兩 道試題中 .我們一起來(lái)體會(huì)一下如出一轍的解法帶給我們的便捷 .例2 (2013年全國(guó)高考新課標(biāo)U卷理 21)已知函數(shù) f(x) =ex-ln (x+m ) .(1) 設(shè)x=0是f (X)的極值點(diǎn)，求m并討論f (X)的單調(diào)性；(2) 當(dāng) m2 時(shí)，證明 f (x) >0.解(1) m=

25、1，f (X)增區(qū)間為(0，+)'減區(qū)間為(-1，0).(2)當(dāng) m2 時(shí)，x+nx+2，ln (x+m) ln(x+2) ， -In (x+m) ln (x+2)，所以 f (X) exln (x+2 )，令 g (X) =ex-ln (x+2)，貝U g'(x) =ex-1x+2，g''(X) =ex+1 (x+2) 2>0 ,所以g' (X)在(-2，+)上單調(diào)遞增.又 g( -1 ) =e-1-1<0 ， g( 0) =1-12>0 ，所以存在唯一的x0( -1 , 0),使g' (x0) =0.所以當(dāng)-2<X&l

26、t;X0 時(shí)，G (X0) x0 時(shí)，g' (x0) >0, g (x)單調(diào)遞增.評(píng)析在本題中，在確定出函數(shù) g' (x) =ex-1x+2在(-2, +)上存在唯一的零點(diǎn)x0 后，無(wú)法直接求解x0 ,在形式上虛設(shè)后，通過(guò)對(duì)x0滿足的等式條件ex0=1x0+2 , Xo=-In (x0+2)的合理代換使用，快速將超越式 g(x0)=ex0-In (x0+2)化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式 g( xo) =1xo+2+xo ,為證貌似不可能證的不等式 g(xo) >o 掃除了障礙 .例3(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷文21第2問(wèn))設(shè)函數(shù)f (x)=ex-ax-2.若a=1 , k為整數(shù)

27、， 且當(dāng)x>0時(shí)，(x-k)f' (X) +x+1>0 ,求k的最大值.解由于 a=1 ,所以(x-k) f'( X) +x+1= (x-k) (ex-1 ) +x+1>0k0 恒成立.令 g (X) =x+1ex-1+x ,原命題k評(píng)析本題中，在確定出 h (X) =ex-x-2在(0, +)上存在唯一零 點(diǎn)的情形下，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)x0,并借助ex0=x0+2來(lái)簡(jiǎn)化g (x0) =x0+1ex0-1+x0 ,為估 計(jì) g(x0 的范圍創(chuàng)造了條件 .虛設(shè)零點(diǎn),讓我們感受到 “柳暗花明又一村 ”的奇妙詩(shī)意 .如果f'(x)不是超越形式，而是可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

28、，這時(shí)很容易想當(dāng)然，用求根公式 把零點(diǎn)求出來(lái),代入極值中去 .但接下來(lái)要么計(jì)算偏繁,要么無(wú)法化簡(jiǎn),復(fù)雜的算式讓人 無(wú)處下手,導(dǎo)致后繼工作無(wú)法開(kāi)展 .正所謂“思路簡(jiǎn)單,過(guò)程煩人 ”這.時(shí)有兩個(gè)策略：策略 2 反代消參構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)如果問(wèn)題要求解(或求證)的結(jié)論與參數(shù)無(wú)關(guān), 這時(shí)我們一般不要用參數(shù)來(lái)表示零點(diǎn), 而是反過(guò)來(lái)用零點(diǎn)表示參數(shù), 然后把極值函數(shù)變成了關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù), 再次求導(dǎo)就可 解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明 .例4 (2014年全國(guó)高考新課標(biāo)U卷文 21第2問(wèn))已知函數(shù)f (X) =x3-3x2+x+2 ,曲 線y=f (X)在點(diǎn)(0, 2)處的切線與X軸交點(diǎn)

29、的橫坐標(biāo)為-2.證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).解曲線y=f (X)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)g (X) =f (X ) -kx+2的圖象與X軸只有 一個(gè)交點(diǎn) .g( x =x3-3x2+ ( 1-k x+4, g( x =3x2-6x+1-k.(1) 當(dāng) =3612 (1-k) =24+12k0,即 k2 時(shí)，g' (x) 0 所以 g (x)在 R 上 為增函數(shù).因?yàn)間 (-1) =k-1<0 , g (0) =4>0 ,所以存在唯一 x0 ( -1 , 0)使得g (x0) =O ,所以g (X)的圖象與X軸只有一個(gè)交點(diǎn).(

30、2) 當(dāng) =3612 (1-k) =24+12k>0 ,即-2<K0 , g' (1) =-2-k<0 ,所以 0<X1<1 , 1<X20 , g (x)在(-, x1)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) X (x1 , x2)時(shí)，g'(x) <0, g (x)在(x1 , x2)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng) x(x2, +)時(shí)，g' (X) >0 , g (X)在(x2, +)內(nèi)為增 函數(shù).g (x)的極小值點(diǎn)是x2.所以g (x)的圖象與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需要g (x2) >0.由 g' (x2) =3x22-6x2+1-k=0 得

31、1-k=-3x22+6x2 , g (x2) =x32-3x22+ (1-k) x2+4=x32-3x22+(-3x22+6x2) x2+4=-2x32+3x22+4.令 x2=t, g (x2) =h (t) =-2t3+3t2+4 (1<Th (2) =0 ,即 g (x2) >0.所以當(dāng)-2<K<>綜上(1 )、( 2)可知，當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f (x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).評(píng)析本題當(dāng)-2<K0.x2是可以求出的(實(shí)際上x(chóng)2=1+6+3k3 ),但我們證關(guān)于k的不等 式g (x2) =g (1+6+3k3 ) >0 ,讓人無(wú)處下

32、手.于是，我們虛設(shè)零點(diǎn)x2 ,采用反代”的方 法,用零點(diǎn) x2 來(lái)表示參數(shù),有 1-k=-3x22+6x2. 巧妙地回避了這些繁雜的計(jì)算,簡(jiǎn)潔而利 索,可謂妙哉 .例5 (2009年全國(guó)高考U卷理22第2問(wèn))設(shè)函數(shù)f (x) =x2+aln (1+x)有兩個(gè)極值 點(diǎn)，證明：f (x)的極小值大于1-2In24 ;證明 f'(X) =2x+a1+x=2x2+2x+a1+x(x>-1).令 g (x) =2x2+2x+a ,函數(shù) f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)g (x) =2x2+2x+a在(-1, +)上有兩個(gè)不等實(shí)根 =48a>0g ( -1 ) =a>00<A<

33、>設(shè) x1、x2 是方程 g( x)=0 的兩個(gè)均大于 -1 的不相等的實(shí)根，且 x10 ，其對(duì)稱軸為 x=-12 ,所以-1<X1<-12 , -12<X20, f (X)在(-1 , x1)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) x( x1 , x2) 時(shí)，f '(x) <0, f (X)在(x1 , x2)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng) X (x2, +)時(shí)，f'(x) >0 , f (X) 在(x2 , +)內(nèi)為增函數(shù).所以，f (x)的極大值點(diǎn)是x1 , f (X)的極小值點(diǎn)是x2.由 g( x2) =2x22+2x2+a=0 得 a=- (2x22+2x2 )，所以 f

34、(x2) =x22+aln1+x2=x22- (2x22+2x2 ) In (1+x2 ).令 x2=t ,設(shè) f (x2) =h (t) =t2- (2t2+2t) In (1+t), 其中-12<T0 , h (t)在-12 , 0)單調(diào)遞增.所以當(dāng) t (-12 , 0)時(shí)，h (x) >h (-12) =1-2ln24. 故 f(x2) =h(t) >1-2In24.評(píng)析 f(x) =x2+aln1+x 的極小值點(diǎn) x2 來(lái)自 f(x) =2x2+2x+a1+x 的零點(diǎn)，按常規(guī)思 路，要證明f (x2) >1-2In24 ,就要將x2=-1+1-2a2代入f (X)求解，其本質(zhì)就是用參數(shù) a表示零點(diǎn)x2 ,再證明關(guān)于a的不等式，-1+1-2a22+aIn1+-1+1-2a2>1-2In24 ,復(fù)雜的算 式讓人無(wú)處下手 .于是，我們采用 “反代”的方法，用零點(diǎn) x2 來(lái)表示參數(shù) a=- (2x22+2x2 ) 事實(shí)