2016年高考四川理科數(shù)學(xué)試題及答案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2016年四川，理1，5分】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由題可知， ，則中元素的個(gè)數(shù)為5，故選C【點(diǎn)評(píng)】集合的概念及運(yùn)算一直是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題一般是結(jié)合不等式，函數(shù)的定義域值域考查，解題的關(guān)鍵是結(jié)合韋恩圖或數(shù)軸解答（2）【2016年四川，理2，5分】設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開式中含的項(xiàng)為（ ）（A）

2、（B） （C） （D）【答案】A【解析】由題可知，含的項(xiàng)為，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可二項(xiàng)式的展開式可以改為，則其通項(xiàng)為，即含的項(xiàng)為（3）【2016年四川，理3，5分】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（ ）（A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 （B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 （C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 （D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】D【解析】由題可知，則只需把的圖象向右平移個(gè)單位，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意人“”的影

3、響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個(gè)單位得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，向左平移個(gè)單位得的圖象（4）【2016年四川，理4，5分】用數(shù)字1，2，3，4，5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1，3，5；分為兩步：先從1，3，5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到，則滿足條件的五位數(shù)有，故選D【點(diǎn)評(píng)】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注意整個(gè)事

4、件的完成步驟在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)位置（5）【2016年四川，理5，5分】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）（A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】設(shè)年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元，由題可知，解得，因資金需超過200萬，則取4，即2019年，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看

5、作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可解得結(jié)論（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例。若輸入n，x的值分別為3，2則輸出v的值為（ ）（A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B【解析】初始值，程序運(yùn)行過程如下表所示，跳出循環(huán)，輸出，故選B【點(diǎn)評(píng)】程序框圖是高考的熱點(diǎn)之一，幾乎是每年必考內(nèi)容，多半是考循環(huán)結(jié)構(gòu)，基本方法是將每次循

6、環(huán)的結(jié)果一一列舉出來，與判斷條件比較即可（7）【2016年四川，理7，5分】設(shè)：實(shí)數(shù)，滿足，：實(shí)數(shù)，滿足 則是的（ ）（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖， 表示圓心為，半徑為的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）； 表示內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）實(shí)數(shù)滿足則必然滿足，反之不成立則是的必要不充分條件，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得

7、結(jié)論（8）【2016年四川，理8，5分】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線斜率的最大值為（ ）（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】如圖，由題可知，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，要求最大值，不妨設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù)，或不等式的知識(shí)求出最值，本題采用基本不等式求出最值（9）【2016年四川，理9，5分】設(shè)直線，分別是函數(shù)圖象上點(diǎn)，處的切

8、線，與 垂直相交于點(diǎn)，且，分別與軸相交于點(diǎn)，則的面積的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】解法1：設(shè)，易知，則直線：，與軸的交點(diǎn)為，設(shè)，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)為，則，故解法2：特殊值法，若，可算出，故，排除BC；令，算出，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題首先考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時(shí)可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線垂直求出這兩點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)得出切線方程，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線相交得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實(shí)而基礎(chǔ)，簡單而實(shí)用（10）【2016年四川，

9、理10，5分】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足，動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最大值是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由題意，所以到三點(diǎn)的距離相等，是的外心；，所以，同理可得，從而是的垂心；的外心與垂心重合，因此是正三角形，且是的中心；所以正三角形的邊長為；我們以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 。由，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，而，即是的中點(diǎn)，可以寫出的坐標(biāo)為則， 當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來，解題時(shí)首先對(duì)條件進(jìn)行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫

10、出坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，因此可用圓的性質(zhì)得出最值第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2016年四川，理11，5分】 【答案】【解析】由題可知，（二倍角公式）【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本有許多三角函數(shù)的求值問題一般都是通過三角函數(shù)的公式把函數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值而求解（12）【2016年四川，理12，5分】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是 【答案】【解析】由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功（即至少有一枚硬幣正面向上）的概率為， 2次獨(dú)

11、立試驗(yàn)成功次數(shù)滿足二項(xiàng)分布，則【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的均值（期望），根據(jù)期望公式，首先求出隨機(jī)變量的所有可能取值，再求得對(duì)應(yīng)的概率，則均值為（13）【2016年四川，理13，5分】已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_【答案】【解析】由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如下俯視圖，且三棱錐高為，則面積【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識(shí)圖能力解題時(shí)要求我們根據(jù)三視 圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的三視圖以及各種組合體的三視圖（14）【2016

12、年四川，理14，5分】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則 【答案】【解析】首先，是周期為2的函數(shù)，所以；而是奇函數(shù)，所以， 所以：，即，又，時(shí)，故，從而【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時(shí)，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可（15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題： 若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A； 單位圓的“伴隨曲線”是它自身； 若曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于軸對(duì)稱； 一條直線的“伴隨曲

13、線”是一條直線其中的真命題是_（寫出所有真命題的序號(hào)）【答案】【解析】設(shè)的坐標(biāo)，伴隨點(diǎn)，伴隨點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理可得縱坐標(biāo)為，故 錯(cuò)誤；設(shè)單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，則伴隨點(diǎn)坐標(biāo)為所以也在單位圓上，即：點(diǎn)是點(diǎn)延順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 正確；設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線上，所以點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱。正確； 反例：例如這條直線，則，而這三個(gè)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)分別是，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上下面給出嚴(yán)格證明：設(shè)點(diǎn)在直線，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，則，解得帶入直線方程可知：，化簡得：，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)常數(shù)，的軌跡是一條直線；當(dāng)時(shí)，不是一個(gè)常數(shù)，的軌跡不是一條直線所以，直線“伴隨曲線”不一定是一條直線 錯(cuò)誤【點(diǎn)評(píng)】本題

14、考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問題時(shí)，只要通過這個(gè)載體把問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識(shí)即可本題新概念“伴隨”實(shí)質(zhì)是一個(gè)變換，一個(gè)坐標(biāo)變換，只要根據(jù)這個(gè)變換得出新的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷，問題就得以解決 三、解答題：本大題共6題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或步驟（16）【2016年四川，理16，12分】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)

15、，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi) 為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的值；（2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由解：（1）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，頻率=(頻率/組距)*組距， ，得 （2）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為， 全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：(萬)（3）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：即的居民月均用水量小

16、于2.5噸，同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故，假設(shè)月均用水量平均分布，則（噸） 注：本次估計(jì)默認(rèn)組間是平均分布，與實(shí)際可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力在頻率分布直方圖中，第個(gè)小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ)（17）【2016年四川，理17，12分】在中，角所對(duì)的邊分別是，且（1）證明：；（2）若，求解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解為，和為三角形內(nèi)角 ，則兩邊同時(shí)乘以，可得，由和角公式可知，原式得證（2）由題，根據(jù)余弦定理可知，為為三角形內(nèi)角，

17、則，即，由（1）可知， 【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算能力在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一般是化為代數(shù)式變形問題在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)結(jié)論，否則難以得出結(jié)論（18）【2016年四川，理18，12分】如圖，在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為（1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說明理由；（2）若二面角的大小為，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值解：（1）延長，交直線于點(diǎn)，為中點(diǎn)， ， 即 ， 四邊形為平行四邊形， ，面，面，面， 面 故在面上可

18、找到一點(diǎn)使得面（2）解法1：過作交于點(diǎn)，連結(jié)，過作交于點(diǎn)，與所成角為，面，且，面，面，且，面，為所求與面所成的角，面，即為二面角所成的平面角，由題意可得，而，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形， ，解法2：由已知，所以平面于是從而是二面角的平面角所以由，可得平面設(shè)，則在中，作，以為原點(diǎn)，以，的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得 設(shè)，解得設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)

19、找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個(gè)角另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可（19）【2016年四川，理19，12分】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，（1）若成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：解：（1），當(dāng)時(shí)，故，又 ，則，故當(dāng)時(shí)也滿足，故，（2）由雙曲線的性質(zhì)可知，由（1）可得，為首項(xiàng)

20、為1，公比為的等比數(shù)列，, 故，即，為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為， ，原式得證【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力在第（1）問中，已知的是的遞推式，在與的關(guān)系式中，經(jīng)常用代換（），然后兩式相減，可得的遞推式，利用這種方法解題時(shí)要注意；在第（2）問中，不等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數(shù)列的和另外放縮時(shí)要注意放縮的“度”不能太大，否則得不到結(jié)果（20）【2016年四川，理20，13分】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)證明：