直線和平面的投影(一)

1、第二講 第三章 點(diǎn)、直線和平面的投影（一）本講的學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握點(diǎn)的三面投影的投影規(guī)律及作圖方法。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：點(diǎn)的三面投影的投影規(guī)律及作圖方法。3.1 點(diǎn)的投影 在投影理論中，對(duì)于物體只研究其形狀、大小、位置，而它的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)都不涉及到，這種物體稱為形體。任何形體都是由點(diǎn)、線、面基本元素構(gòu)成的，點(diǎn)是構(gòu)成形體的最基本的幾何元素，點(diǎn)的投影是研究直線、平面、形體的基礎(chǔ)。3.1.1 點(diǎn)的單面投影 在第二章說(shuō)過(guò)，點(diǎn)在某一投影面上的投影，實(shí)質(zhì)上是過(guò)該點(diǎn)向投影面所作垂線的垂足。因此，點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)。如圖3-1所示，過(guò)空間點(diǎn)A向投影面H作投影線，該投影線與投影面的交點(diǎn)a，即為點(diǎn)A在投影面H上的投影。這個(gè)

2、投影是唯一確定的。但是，僅憑a不能確定點(diǎn)A的空間位置，因?yàn)槲挥谕渡渚€上的任何一點(diǎn)（如A1點(diǎn)），其投影都在a處。這就是說(shuō)，僅根據(jù)點(diǎn)的一個(gè)投影還不足以確定點(diǎn)在空間的位置。通常要畫(huà)出點(diǎn)的三面投影。過(guò)空間點(diǎn)A向投影面H作投影線，該投影線與投影面的交點(diǎn)a，即為點(diǎn)A在投影面H上的投影。僅根據(jù)點(diǎn)的一個(gè)投影還不足以確定點(diǎn)在空間的位置。 圖3-1 點(diǎn)的單面投影3.1.2 點(diǎn)的三面投影如圖3-2(a)所示,將空間點(diǎn)A置于三投影面體系中，自A點(diǎn)分別向三個(gè)投影面作垂線（即投射線），三個(gè)垂足就是點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影。點(diǎn)A在H面的投影a，稱為點(diǎn)A的水平投影；點(diǎn)A在V 面的投影a，稱為點(diǎn)A的正面投影；點(diǎn)A在W面的投影a

3、，稱為點(diǎn)A的側(cè)面投影。（a）直觀圖 （b）投影圖圖3-2 點(diǎn)的三面投影在投影法中規(guī)定：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，而在其H面的投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示，在V面的投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母右上角加一撇表示，在W面的投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母右上角加兩撇表示。如點(diǎn)A的三面投影，分別用a、a、a表示。按照三面投影體系的展開(kāi)，空間點(diǎn)A的三面投影在同一平面上的表現(xiàn)形式為圖3-2（b）所示。用細(xì)實(shí)線將點(diǎn)的相鄰?fù)队斑B起來(lái)，如aa、aa稱為投影連線。水平投影a與側(cè)面投影a不能直接相連，作圖時(shí)常以圖3-2(b)所示的借助45º斜角線或圓弧來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)聯(lián)系。3.1.3 點(diǎn)的投影規(guī)律（a）直觀圖 （b）投影圖圖3-3 點(diǎn)的三

4、面投影在圖3-3(a) 中,過(guò)空間點(diǎn)A的兩面投影線Aa和Aa決定的平面，與V面和H面同時(shí)垂直相交，交線分別是aax和aax，因此，OX軸必然垂直于平面Aaaxa，也就是垂直于aax和aax。又aax和aax是相互垂直的兩條直線，即aaxaax、aaxOX、aaxOX。當(dāng)H面繞OX軸旋轉(zhuǎn)至與V面成為一平面時(shí)，點(diǎn)A的水平投影a與正面投影a 的連線就成為一條垂直于OX軸的直線，即aaOX，見(jiàn)圖3-2（b）。同理可分析出，aaOZ。ay在投影面展平之后，被分為ayH和ayW兩個(gè)點(diǎn)，所以aayHOYH和aayWOYW，即aax= aaZ。由上面的分析可得出點(diǎn)在三面投影體系中的投影規(guī)律：（1）點(diǎn)的水平投影

5、與正面投影的連線垂直于OX軸，即aaOX。（2）點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即aaOZ。（3）點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ的距離，即aax= aaZ。這三條投影規(guī)律說(shuō)明了在點(diǎn)的三面投影圖中每?jī)蓚€(gè)投影都有一定的聯(lián)系，只要給出點(diǎn)的任意兩個(gè)投影就可以補(bǔ)出第三個(gè)投影（即“二補(bǔ)三”作圖）。【例3-1】 已知A點(diǎn)的水平投影a和正面投影a，求側(cè)面投影a，如圖3-4（a）所示。分析：已知A點(diǎn)的兩個(gè)投影，根據(jù)投影規(guī)律求出a。作圖：（a）已知a和a （b）過(guò)a引OZ軸的 (c) 在aaZ的延長(zhǎng)線上截取垂線aaZ aaZ= aax，a即為所求。（d）利用圓弧求出a。 （e）利用45

6、º斜線求出a。 圖3-4 點(diǎn)的“二補(bǔ)三”作圖 此題也可利用圖3-4(d)和（e）箭頭所示方向求出a的投影。3.1.4 點(diǎn)的投影與坐標(biāo)在三面投影體系中，若把H、V、W投影面看成坐標(biāo)面，三條投影軸OX、OY、OZ相當(dāng)于坐標(biāo)軸X、Y、Z軸，投影軸原點(diǎn)O相當(dāng)于坐標(biāo)系原點(diǎn)。如圖3-5（a）所示，空間一點(diǎn)到三個(gè)投影面的距離，就是該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)（用小寫(xiě)字母x、y、z表示）。也就是說(shuō)點(diǎn)A到W面的距離A a即為該點(diǎn)的X坐標(biāo)，點(diǎn)A到V面的距離Aa即為該點(diǎn)的Y坐標(biāo)，點(diǎn)A到H面的距離Aa即為Z坐標(biāo)。如果空間點(diǎn)的位置用A（x，y，z）形式表示，那么它的三個(gè)投影的坐標(biāo)應(yīng)為a（x，y，0），a（x，0，z），a（

7、0，y，z）。利用點(diǎn)的坐標(biāo)就能較容易地求作點(diǎn)的投影及確定空間點(diǎn)的位置，如圖3-5(b)。 （a）立體圖 （b）投影圖圖3-5 點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 顯然，空間點(diǎn)的位置不僅可以用其投影確定，也可以由它的坐標(biāo)確定。若已知點(diǎn)的三面投影，就可以量出該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)；或已知點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以作出該點(diǎn)的三面投影?！纠?-2】 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)x=20, y=10, z=15，即A為（20，10，15），求點(diǎn)A的三面投影a、a和a。分析：從點(diǎn)A的三個(gè)坐標(biāo)值可知，點(diǎn)A到W面的距離為20，到V面的距離為10，到H面的距離為15。根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律和點(diǎn)的三面投影與三個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系，即可求得點(diǎn)A的三面投影。作圖方法見(jiàn)圖3

8、-6所示。作圖：（a）在OX軸上取 （b）過(guò)ax作OX軸的垂直線， （c）根據(jù)a和a´求出a。Oax=20mm。 使aax=10mm.、a´ax=15mm，得a和a´。圖3-6 已知點(diǎn)的坐標(biāo)求其三面投影【例3-3】 在立體圖中畫(huà)出點(diǎn)A（20，12，15）的投影及其空間位置。作圖：（a）畫(huà)出H、V、W三投影 （b）分別量取Oax=20， （c）分別過(guò)a、a、a作面的立體圖。 Oay =12，OaZ=15， OZ、OY和OX的平行 求得ax、ay和aZ，分 線，這三條線的交點(diǎn)即別過(guò)ax、ay和aZ作相 為空間點(diǎn)A。 應(yīng)軸的平行線，求出a、a和a。圖3-7 求點(diǎn)的空間位

9、置3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)3.1.5.1 兩點(diǎn)的相對(duì)位置 空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置可以用三面正投影圖來(lái)標(biāo)定；反之，根據(jù)點(diǎn)的投影也可以判斷出空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置。在三面投影中，規(guī)定：OX軸向左、OY軸向前、OZ軸向上為三條軸的正方向。 在投影圖中，x坐標(biāo)可確定點(diǎn)在三投影面體系中的左右位置，y坐標(biāo)可確定點(diǎn)的前后位置，z坐標(biāo)可確定點(diǎn)的上下位置。 因此，可通過(guò)比較兩點(diǎn)在投影圖中同名投影坐標(biāo)值的大小來(lái)判斷兩點(diǎn)的相對(duì)位置。比較x坐標(biāo)的大小，可以判斷兩點(diǎn)左右的位置關(guān)系，x大的點(diǎn)在左，x小的點(diǎn)在右；比較y坐標(biāo)的大小，可以判斷兩點(diǎn)前后的位置關(guān)系，y大的點(diǎn)在前，y小的點(diǎn)在后；比較z坐標(biāo)的大小，可以判斷兩點(diǎn)上下的

10、位置關(guān)系，z大的點(diǎn)在上，z小的點(diǎn)在下。如圖3-8分別給出了A、B兩點(diǎn)的三個(gè)投影。從圖中可見(jiàn)，A點(diǎn)的x坐標(biāo)小于B點(diǎn)的x坐標(biāo)，所以A點(diǎn)距W面較近，A點(diǎn)在B點(diǎn)的右方；A點(diǎn)的y坐標(biāo)大于B點(diǎn)的y坐標(biāo)，所以A點(diǎn)距V 面較遠(yuǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)的前方；A點(diǎn)的z坐標(biāo)大于B點(diǎn)的z坐標(biāo)，所以A點(diǎn)距H面較遠(yuǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方，綜合A、B兩點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)大小的比較，可以判定A點(diǎn)在B點(diǎn)的右前上方。圖3-8 兩點(diǎn)的相對(duì)位置【例3-4】 已知點(diǎn)A的三個(gè)投影（圖3-9（a），另一點(diǎn)B在點(diǎn)A上方8mm。左方12mm，前方10mm，求點(diǎn)B的三面投影。作圖方法： （a）已知條件 （b）在a左方12mm，上方 （c）過(guò)b作OX軸的垂線，在 8m

11、m處確定b； 其延長(zhǎng)線上a前10mm處確定b；根據(jù)三面投影關(guān)系求得b。圖3-9 已知相對(duì)位置求另一點(diǎn)3.1.5.2 重影點(diǎn)及其投影的可見(jiàn)性如果兩點(diǎn)位于同一投射線上，則此兩點(diǎn)在相應(yīng)投影面上的投影必重疊，重疊的投影稱為重影，重影的空間兩點(diǎn)稱為重影點(diǎn)。水平投影重合的兩個(gè)點(diǎn)，叫水平重影點(diǎn)；正面投影重合的兩個(gè)點(diǎn)，叫正面重影點(diǎn)；側(cè)面投影重合的兩個(gè)點(diǎn)，叫側(cè)面重影點(diǎn)。如圖3-10中，A、B是位于同一投射線上的兩點(diǎn)，它們?cè)贖面上的投影a和b相重疊。沿投射線方向觀看，A在H面上為可見(jiàn)點(diǎn)，B為不可見(jiàn)點(diǎn)。 圖3-10 重影點(diǎn)在投影圖上判別重影點(diǎn)的可見(jiàn)性時(shí)，要求把看不見(jiàn)的點(diǎn)的投影符號(hào)用括號(hào)括起來(lái)。由于某投影面的重影點(diǎn)位

12、于該投影面的同一條投影線上，觀者沿此投射線方向去觀察兩點(diǎn)時(shí)，則必會(huì)有一點(diǎn)看得見(jiàn)，另一點(diǎn)看不見(jiàn)，這就是重影點(diǎn)的可見(jiàn)性問(wèn)題。在投影圖上判別重影點(diǎn)的可見(jiàn)性，也是讀圖中的重要問(wèn)題。重影點(diǎn)投影可見(jiàn)性的判別方法是：對(duì)水平重影點(diǎn)，觀者從上向下看，上面一點(diǎn)看得見(jiàn)，下面一點(diǎn)看不見(jiàn)（上下位置可從正面投影或側(cè)面投影中看出）；對(duì)正面重影點(diǎn)，觀者從前向后看，前面一點(diǎn)看得見(jiàn)，后面一點(diǎn)看不見(jiàn)（前后位置可從水平投影或側(cè)面投影中看出）；對(duì)側(cè)面重影點(diǎn)，觀者從左向右看，左面一點(diǎn)看得見(jiàn)，右面一點(diǎn)看不見(jiàn)（左右位置可從正面投影或水平投影中看出）?！纠?-5】已知點(diǎn)C的三面投影如圖3-11（a），且點(diǎn)D在點(diǎn)C的正右方5mm，點(diǎn)B在點(diǎn)C的正下方10mm，求作D、B兩點(diǎn)的投影，并判別重影點(diǎn)的可見(jiàn)性。 作圖方法： （a）已知條件 （b）d與c重合，且c可見(jiàn)，