新高考數(shù)學(xué)新創(chuàng)題型之8.解析幾何(含精析)

1、公眾號：高中資料共享免費分享5000G學(xué)習(xí)資料高考數(shù)學(xué)新高考創(chuàng)新題型之&解析幾何（含精析）一、選擇題。1 .如圖，已知橢圓G： + y2=l ,雙曲線c,：£=1 （a>0, b>0）,若以Q的長軸為直 11cr b1徑的圓與C：的一條漸近線交于A, B兩點，且a與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則G的離心率為（）A、5 B、VT7 C、仃 D、砰52 .如圖所示，已知雙曲線二-二=1（>/2>0）的右焦點為尸，過尸的直線/交雙曲線的漸 6r近線于A、B兩點,且直線/的傾斜角是漸近線04傾斜角的2倍，若衣=2而，則該雙曲線的離心率為（）3 .已知在平

2、面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的方程為丁 + 丁=一2），+ 3,直線/過點（1,0）且與直線xy + l = O垂直.若直線/與圓。交于A、3兩點,則048的而積為（4 .方程如+生產(chǎn)=。與如2+肥2 =1 (帆網(wǎng)0)的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖可能是( )二、填空題,5 .圓錐曲線中不同曲線的性質(zhì)都是有一定聯(lián)系的，比如圓可以看成特殊的橢圓，所以很多圓 22的性質(zhì)結(jié)論可以類比到橢圓，例如；如圖所示，橢圓C:三十專 = 1(4人0)可以被認(rèn)為由圓/ + y2 = cr作縱向壓縮變換或由圓/ + ),2 = b2作橫向拉伸變換得到的。依據(jù)上述論述我 們可以推出橢圓C的面積公式為.6 .若月(孫 在橢

3、圓二+二=l(a60)外，則過兄作橢圓的兩條切線的切點為兒A, cr tr則切點弦月月所在直線方程是號+常 =1.那么對于雙曲線則有如下命題：若月(%, 先)在22雙曲線二一二=l(a>0, 6>0)外，則過其作雙曲線的兩條切線的切點為A，2,則切點弦 cr ZrH月所在的直線方程是.7.我們把離心率e =土！的雙曲線二二=1(>0/>0)稱為黃金雙曲線.如圖是雙曲2cr b線,_* = 1(" > 0力> 0,c =的圖象，給出以下幾個說法：雙曲線d 一二_=1是黃金雙曲線；V5 + 1若/=",則該雙曲線是黃金雙曲線：若石，鳥為左右焦

4、點，4瓜2為左右頂點，BI (0, b), B2 (0)-8)且N"斗4 =900, 則該雙曲線是黃金雙曲線：若MN經(jīng)過右焦點F?且6尼，NMOV = 90°,則該雙曲線是黃金雙曲線.其中正確命題的序號為.8.若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：f(x) 2kx +b和g(x)Wkx+b,則稱直線1： y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x', <b(x)=2eln x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，根據(jù)你的數(shù)學(xué)知識,推斷h(x)與小(x)間的隔離 直線方程為.229 .設(shè)A,3分別為橢圓：二+

5、二=1(“>>0)的左右頂點，尸為右焦點，/為在點8處的 cr切線，P為上異于的一點,直線AP交/于。，M為80中點，有如下結(jié)論:平分ZPFB ，PM與橢圓r相切；0M平分NFPD ;使得PM = BM的點P不存在.其中 正確結(jié)論的序號是.10 .以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)A、8為兩個定點，k為非零常數(shù)，'PA-PB=k ,則動點夕的軌跡為雙曲線：過定圓C上一定點A作圓的動點弦A8, O1 , 為坐標(biāo)原點，若0尸=一（04 + 08）,則動點P的軌跡為圓：設(shè)。是A48C的一內(nèi)角，旦 27sin + cos = ,則x2 sin-y2 cos = 1表示焦點在x軸上的雙

6、曲線；已知兩定點片（1,0）,乃（1,0）和一動點P,若1。611。工1=/（"。），則點P的軌跡關(guān)于原點對稱.其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）.三、解答題°2?11 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C:，+V = l，設(shè)R&o，'o）是橢圓。上的任一點，從原點。向圓R： （x-/y+（y-%）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.（1）若直線。尸，。互相垂直，求圓R的方程：（2）若直線0尸，。的斜率存在，并記為占，k2,求證：2, + 1 = 0：（3）試問。尸+。2是否為定值？若是，求出該值：若不是，說明理由.12 .已知雙曲線。：

7、,一a=1（。0力0）,巴，尼分別是它的左、右焦點，A（l，°）是其左頂點，且雙曲線的離心率為6 = 2 .設(shè)過右焦點F,的直線/與雙曲線C的右支交于尸、。兩 點，其中點位于第一象限內(nèi).(1)求雙曲線的方程：(2)若直線ARA2分別與直線x交于M、N兩點，求證：MK_LNE；(3)是否存在常數(shù)4,使得=恒成立？若存在，求出2的值，若不存在，請說明理由。13 .如圖，橢圓二十二=1 (.>/2>0)的左焦點為尸，過點尸的直線交橢圓于A,8兩 cr b-點. 14日的最大值是“，怛日的最小值是機(jī)，滿足(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)線段A5的中點為G, A3的垂直平分線與x軸

8、和y軸分別交于DE兩點，。是坐標(biāo)原點.記AGH>的而枳為5,。瓦)的面積為S), 求1251工的取值范札sj + 邑-14 .已知橢圓C ：二十二=1(“>>0)過點41.二),其焦距為2. cr2(I )求橢圓G的方程：22(II)已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為1 + % =則橢圓在其上一點cr o4%,九)處的切線方程為士單+也2=1,試運用該性質(zhì)解決以下問題： a- b-(i)如圖(1),點8為G在第一象限中的任意一點，過B作G的切線/，/分別與X軸和y軸的正半軸交于C,。兩點，求AOCD面積的最小值； 22(ii)如圖(2),過橢圓G： +二=1上任意一點尸作G

9、的兩條切線PM和PN,切點 -82分別為M,N.當(dāng)點P在橢圓C?上運動時，是否存在定圓恒與直線A/N相切？若存在，求出 圓的方程：若不存在，請說明理由.1. C【解折】由已如，|0A|=a=7H設(shè)。人所在漸近線的方程為y=蚊（k>0）,于是A點坐標(biāo)可表示為A（X0, k%Hx0>0）于是、耳產(chǎn)卻三方I ,即A（）,進(jìn)而AB的一個三分點坐標(biāo)為（ 詈 愣）3a十月,3d1記11,該點在橢圓孰上,有現(xiàn)滬十白曜二1，即黑曇=1，得卜=2119（1+M）9（1 十妙）,即2=2,于是3=業(yè)+7=6。,所以離心率8=2=仆，選C 4a2. B【解折】雙曲線鳥4 = 1。>以0）的海近線方

10、程為J=±紇, a ba二直線1的傾斜角是漸近線0A傾斜角的2倍,，直線1的方程為y =，* c),CT _b-與 y = ±x聯(lián)立，可得 v = 二叱，.或y =一:一"、, a3a2 -b? ' a2+b2-AF = 2FB, .*y = 2.( %, a2+b23a2-b2/. a = f3b , /. c=2b, e = = v.故選：B. a 33. A【解析】,圓C的方程為i+y2=-2y + 3,即/+(y + l)2=4,，圓C的圓心為。(0,1),半徑為2.直線/過點（1,0）且與直線x-y+l = O垂直直線/:x + y l = 0.

11、圓心C到直線/的距離d =1°一二"=J5.5/2，直線/被圓C截得的弦長|A8| = 2*?-d? = 2>/42 = 2立，又;坐標(biāo)原點。到AB的距離為/ = "A =, y/22A SOAB 的面積為 S =，|AB| x j=Jx 2 JJx 坐=1. 2224. A22【解析】原方程可化為產(chǎn)=一"X,：+=1：當(dāng)7/異號且相0時，為77 J_m n焦點在X，由正半軸上的拋物為焦點在x軸上的改懶或選I頁a、B不符合；當(dāng)鞏典導(dǎo) 號旦 。冽時，為焦點在X軸正半軸上的拋物線，為焦點在y軸上的雙曲選項 人將3、B不符合；當(dāng)小審?fù)柲考?龍 。時，為

12、焦點在X軸負(fù)半軸上的拋物效，為焦點在y軸上的橢圓，選項D不符合；當(dāng)加/同短且0 胡 ,時，為焦點在X軸負(fù)半 軸上的拋物線，無軌跡.5. zzab【解析】圓的面積公式為班"橢圓長半軸、短半軸長分別為故可推出橢圓的面積公 式為Gb.6必力。_1.6. 下一萬 7 .【解析】對于橢圓3+1=1,切點弦產(chǎn)足所在直線方程駕+售=13.a ba if7.類比，雙曲線切點弦產(chǎn)所在的亙線方程為W抄0_aVb2=c2-a2=ac,整理得/-1 = 0解得”=匕,所以雙曲線是黃金雙曲線：對于 2耳=? +,四= +/,"42 =( + c)2 ,由勾股定理得，+a2=1 + c）2,整理得2

13、=“c由可知。=匕9所以雙曲線是黃金雙曲線: 2對于由于F,（c,O）,把x = c代入雙曲線方程得二一二=1,解得,，=±2, NF, cr lrab2由對稱關(guān)系知ACWE為等腰直角三角形，.。=a，即=ac,由可知6 =匕走所以-a2雙曲線是黃金雙曲線.8. y=2>/e xe【解析】容易觀察到h（x）和?。üぃ┯泄颤c（4，e）,又（x五尸20,即一226x-e,所以猜想h（x）和4>（x）間的隔離直線為y=2j?x-e,下面只需證明2elnxW2j?x - e恒成2ye（4e-x）立即可，構(gòu)造函數(shù)入（x）=2elnx2五x+e,由于入'（x）= （x>

14、;0）,即函數(shù)入（x）在區(qū)間（0, JZ）上遞增，在（右，+8）上遞減，故人（x）W入（右）=0,即2elnx-2后x+eWO,得2eln xW2Cx-e,故猜想成立，所以兩函數(shù)間的隔離直線方程為y = 2 W x9. ®【解析】設(shè)0“0，%），則的方程為：），=一（X + 4）,令工=。得 與十。0 cH（4）.X。+ a X。+ a對，尸尸的方程為：'=一（入一。）即丁0工一（/一。）'一%。= 0,所以點M到直線PF的a+c-hk/2 -cx01商面7；) + 4(.%-41 /、I1）通（花一。）7/1_ 凡+上_僅板+（/一。）2/+4:% h J/_ Lf

15、 :軌 y/| _ %飛十。百一不）+府一9/+雙 飛十。亞（-阿氏+起 蒞也好石 與十°即點M到FF到匪禽等于M到TO的距離,所以FM平分4FB ,成立；對,直線PB的斜率為每廣£=嗎=坐聾=一黎，將三+M=ig>b>0）求導(dǎo)得 %及 _ _。,0。 a b與+粵=仇v=岸,所以過點P的切線的斜率為k=一注（也可用A = 0求。a ya y0得現(xiàn)戔的斜率），所以確圖在點？處的切線即為PM, ©成立；對，延長耳?與直線1交于點尸由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，NM抄= 4?0 = "P叔于是PM平分4V打）若PA上PB,則PM為&ABOP的斜邊中

16、線，PM = BM ,這樣的P有4個，故不成立.10. 【解析】對于，由雙曲線的定義可知，動點尸的軌跡為雙曲線的一支，所以不正確：對于，由P = ±（OA+OB）,可知點P為弦AB的中點，連結(jié)CP,則有CPLA5即2CP上PA,而A,C均為定點，所以P點的軌跡是以AC為直徑的圓，所以正確：對于,749120由sin8 + cos8 =一兩邊平方可得l + 2sin6cos6 = ,所以2sin6cos6 =，因為813169169是AABC的一個內(nèi)角，可判斷夕為鈍角，所以sinCcos。且sin-cos = 71 -2sincos = 1 + -=,聯(lián)立C c 7 sin 6 +co

17、s 6 = 13n A C 17 sin -cos = 13sin 0 = 2213，從而方程Fsine-y2cose = i為£ = 表示COS0 = -1312 5焦點在y軸上的橢圓，所以錯誤：對于，設(shè)動點P(x,y),則由IP耳lIP工l=a2(aH0)可得+1)2 + / . _以+ 9 = a2,將p(_x, y)代入等式左邊可得 (-x+l+C-y)2 (-x-l+C-y)2 = yj(x-l)2 + y2 yj(x+)2 + y2 =a2,所以動點尸 的軌跡關(guān)于原點對稱，即正確；綜上可知，真命題的序號是.11. (1) (x±2V2)'+(y±

18、;2>/2)- =8： (2) 24生+1 = 0； (3)定值為 36.【解析】(1)因為直線0尸，?；ハ啻怪?，且和圓R相切，所以|。用=揚 =4：再結(jié)合 點R在橢圓。上，得到關(guān)于的方程組進(jìn)行求解：(2)設(shè)出OP,OQ的直線方程，利用 直線與圓相切，得到勺，原與與，%的關(guān)系；再根據(jù)(，)")在橢圓上，得出關(guān)系，整理即可:(3)分別聯(lián)立兩直線與橢圓的方程，得出P,。的關(guān)系，借助24自+1 = 0進(jìn)行證明.試題解析：(1)由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑， = 2點，因為直線OP, O0互相垂直，且和圓R相切，所以|。國=揚=4,即k2 + >，02=16,又點R在橢圓C上

19、，所以工+至=1,聯(lián)立，解得“> =工2?'24 12b0=±2>/2.所以所求圓R的方程為(x ±+卜± 2&=8.(2)因為直線OP： y = 3, OQt y = k2x ,與圓R相切，所以族"%=272，化簡得3 - 8)6-2%匕+ >，； -8 =。同理(焉-8)攵：-2xoyok2 +)，； _ 8 = 0,所以人,攵2是方程(片一8)公_ 2xoyQk + y： -8 = 0的兩個不相等的實數(shù)根，k/k? =-4ac -h-yjb2 -4ac c -82aci 玉;-8因為點/?（%,%）在橢圓C上，所以

20、E +亞=1,即），：=12 上尺, 2 122所以"2=官=g即2g+。.（3） 0P?+。2是定值，定值為36,理由如下:法一： 當(dāng)直線OP,。不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)尸（占,凹）,。（,乃）,rrML -A-.聯(lián)y = k、x,x2 v2 解得+ = 1124 12v2 一)1 一24 + 2k224婷1 + 21、，2,24(1+ 2) 一皿 儂 22 24(1+ V)，1加以內(nèi)+凹= 二'同理，得大2 +丁2 = 1 ,2 '由%#2=-51 + ZK11 + ZK Z所以 OP2+ OQ1 = Xj2 +)； + x22 + y2224(1 +。24(1+ V

21、)= +；-1 + 2-1 + 2k.2.24(1 + - ) + 2k；24(1+ (一卜)22 k,36 +72k.”+H=7- = 361+2(一41 + 2攵2K（ii）當(dāng)直線O只OQ落在坐標(biāo)軸上時，顯然有OP2 + OQ2= 36,綜上：OP2+OQ2 =36.法二：（i）當(dāng)直線O?O。不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)尸（為,凹）,。（.，為），因為2攵#2 + 1 = 0,所以生包X62+ 1 =。,即寸式=；x：¥，因為尸。2。（&，為）在橢圓C上，所以24 12a； y；+ 24 12=1=1所以（12，x；）（i2-lx；）= _Lx；¥，整理得%；+考=24

22、, 22所以。尸2+。2=36.='12-，才+'12-止=12, 2 U I 2 J（ii）當(dāng)直線。PQC落在坐標(biāo)軸上時,顯然有。產(chǎn)+。2 = 36,綜上：OP2 + OQ1 = 36.12. （1） /一=1；（2）見解析；（3）存在，Q2,理由祥見解析.【解析】1）由已知首先得到°三"再由離心率為2可求得c的值，最后利用雙曲線中基 本量的關(guān)系0十方=U求出b值,從而就可寫出所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線Z的 方程為：”=學(xué)+2,與雙曲方程聯(lián)立，消去兀得到關(guān)于 ）的一個一元二次方程；再設(shè) 乎（瑪，出卜色（9，為），則由韋達(dá)定理就可用,的式子表示出總+

23、）%總內(nèi)，再用點P,Q 的坐標(biāo)表示出直線AP及AQ的方程，再令就可寫出WM, N的坐標(biāo)，進(jìn)而就可寫出 向星何，麗的坐標(biāo)，再計算:得也.麗=0,即證明得班，叫j（3）先取直線 的科率不存在的特列情形，研究出對應(yīng)的”的值，然后再對料率存在的情形給予一般性的證 明：不難獲得衣2,從而假設(shè)存在展2使得功不二九夕世恒成立，然后證明tan /PF、A = tan 2/PAF,即可.試題解析：（1）由題可知：。=1C/<? = = 2:.c = 2a,x2_/ ：./+=/.b = .雙曲線C的方程為： 3（2）設(shè)直線，的方程為：x=ty + 2,另設(shè)：尸（西切）、g（x2,j2）2尸一x -T-1=

24、>（3/2-l）j2+12（y+9 = 0.x=（y + 2-12/.必+%=月7必二月又直線AP的方程為y=；、(x + l),代入工二？P_3 M2'23+1）1），9yM9322（+1）同理，直線AQ的方程為=代入x = => N 23%3 /. MF.=-23%2（ + 1）,2（± + 1）1 =1= =1=3T4 4（xi+1）（x2 + 1） 4 4（佻+3乂優(yōu)+3）4 4 內(nèi)仍+攵（弘+%）+99x33廠一1J、9 r -12/4 r x5+ 3/xs+ 93廣一 13r-l.MF. ± NF、(3)當(dāng)直線/的方程為=2時，解得尸(2,3

25、).易知此時24此尸為等腰直角三角形，其中NAF,尸=工，ZP4F. =-, KP ZAF,P = 2ZPAF.,也即：幾二2 -2 一 4-下證：ZAF.P = 2ZPAF,對直線/存在斜率的情形也成立. 一2x上-2 tan ZPAF72A/m x +1 2y(毛 + 1)tan 2ZPAF,=；-=一察一 =!r =I-l-tan2ZPAF2 -丁 i ( y, X (+1)2-2/. tan2ZPAF.一2y(a+ 1)_2%(/+1)(x,+1)2-3(x12-1) -2(x,+1)(x1-2)yX 2/. tan ZAF2P = -kPF天一2=tan 2ZPAF1結(jié)合正切函數(shù)在(

26、0,£U(二/上的圖像可知，NA居尸=2NPAF, I 2J (2，c 1913. (1) « = = ： (2) (0,一).a 241【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，設(shè)出F點坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)3合，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，得到M=a+c,/w = a-G代入已知”加=一。2中,得到。=勿，計 4算出橢圓的離心率：第二問，根據(jù)題意，設(shè)出橢圓方程和直線方程，兩方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到凡+七和凡占，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范同 試題解析：(D設(shè)E(c,0)(

27、c>0),則根據(jù)橢圓性質(zhì)得"=4 + C,2 = 4-C,而 M ? =二所以有 a? 一匹2 =_/,即 / =二，4 = 2(7, 44C 1因此橢圓的離心率為e =.a 2(2)由(1)可知 = 2c, b = JU =瓜,橢圓的方程為二+二=1.4廠 3廠根據(jù)條件直線AB的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為y =攵(x + c),y = A(x + c)并設(shè) A(x, %), B(x2 , y2)則由 <f y2 _消去y并整理得,47+37 = 1(4 攵 2 +3)x2 +Sck2x + 4k2c2-12c2 =0“8c二，/-、 6ck從 ifu 1X1+X2 =- J-,片 + y2 =k(x1+x2+ 2c) = ?QK + 34K + J所以G（/展）3ck因為OG_LA8,所以一4+3一.攵=一1, x =一_Ack2 .4K+3- 5mf由必/%)與必/XEOD相似，所以4c/ ck2