高中數(shù)學數(shù)列總復習(所有知識點總結)精編材料word版

1、數(shù)列數(shù)列一、數(shù)列的概念與簡單表示法1 .數(shù)列的相關概念定義：按照一定順序排列的一列數(shù)叫數(shù)列.（例如：1,3,5, 7, 9）.項與項數(shù)：數(shù)列中每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，排在第一位的叫做第一項（通常叫首項），以此類推，排在第n位的叫做數(shù)列的第 n項.表示：數(shù)列一般形式可以寫成：ai ,a2 ,a3 ,L , an ,L ,簡記為aj .2 .數(shù)列的分類按照數(shù)列中項數(shù)有限和無限分為：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列.按照數(shù)列的項的變化趨勢分類：遞增數(shù)列（an 1an）；遞減數(shù)列（an1an）；常數(shù)列（an1an）；擺動數(shù)列（an 1與an隨著n的變化大小關系不確定）.例如：1, 3, 5, 7, 9（無窮遞增數(shù)列）

2、，10,7,4, 1,-2，-14 （有窮遞減數(shù)列），2, 2, 2,2,（常數(shù)列），1, -1,1,-1, 1（擺動數(shù)列）.3 .數(shù)列與函數(shù)的關系一. _ _ * 、 -數(shù)列可以看成以正整數(shù) N （或它的有限子集1,2,L ,n）為定義域的函數(shù)an f（n）,當 自變量從小到大依次取值時，所對應的一列函數(shù)值.4 .數(shù)列的表示方法通項公式：如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.*例如：1,3,5,7, 9可表本為an 2n 1 , n N .注意：不是所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式；對于一個確定的數(shù)列，通項公式不一定唯一.直接列出： a

3、1,a2,a3,L , an ,L .圖像表示：在平面直角坐標系中，數(shù)列可以用一群孤立的點（n,an）表示.遞推公式：給出數(shù)列的第一項（或前幾項），再給出后面的項用前面的項來表示的式子，這種表示數(shù)列的方法叫遞推公式法.1例如：數(shù)列an中，有a1 1 , an 1 ，根據(jù)此遞推公式，我們就可以依次寫出數(shù)列an 1中的每一項.5. an與S的關系數(shù)列前n 項和記為Sn,則Sna1a2a3L an 1 an ,Sn 1a1a2a3Lan1 ,兩式相減，得an Sn Sn 1 ,由于n只能取正整數(shù)，當n 1時Sn 1不存在，不能使用上式， 但當n 1時很明顯有a1故我們得到通項 an與前n項和Sn的關

4、系：S1 (n 1)an.nSn Sn1 (n 2):、等差數(shù)列1 .等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.遞推式表示為 an 1 an d或 an an 1 d (n 2).例如：數(shù)列an滿足an 1 an 2,則數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列.注：d 0時，為遞增數(shù)列；d 0時，為遞減數(shù)列；d 0時，為常數(shù)列.2 .等差中項若三個數(shù)a, A, b成等差數(shù)列，則 A叫作a與b的等差中項.，一，a b此時 a b 2A, A .23 .等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列an的首項為a1,公差為

5、d,則an a1 (n 1)d .4 .等差數(shù)列的性質(1)等差數(shù)列an的第m項為am ,則an am (n m) d . 例如：a8 a1 7d a2 6d a3 5d a10 2d L .(2)若 mnp q ,則amanaaq,若 m n2p ,則aman2ap. 例如：a1a9a2 a8a3a7a4a6 2a5 , a1an a2an 1 a3an 2 L.(3)下標成等差數(shù)列且公差為 m的項ak, ak m , ak 2m ,L組成公差為md的等差數(shù)列.例如：a1 , a3 , a5 ,a7 ,L ,a2n 1 ,L組成公差為2d的等差數(shù)列；a5 , a10 , a15, a?。，L

6、 , a5n ,L組成公差為5d的等差數(shù)列.(4) an是公差為d的等差數(shù)列，則kan b也是等差數(shù)列，公差為 kd.(5)an,bn都是等差數(shù)列，則an bn,pan qbn也是等差數(shù)列.5 .判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法(1)定義法：an 1 an d (常數(shù)).(2)等差中項法：2an+產an+an+2 或 2an=an-i+an+i . (3)通項公式法：an=kn b (公差為k).(4)前n項和公式法：Sn An2 Bn (不含常數(shù)項的二次函數(shù)).三、等差數(shù)列的前n項和1 .等差數(shù)列前n項和公式Sn "a、an) (類似梯形面積公式)Sn nai n(n 1)d (帶入a

7、n通項公式得到) 2d 2d,，、，1,一一Sn n (a1 )n (以n為變重，體現(xiàn)二次函數(shù)) 22-2_一一Sn An Bn (簡化寫法，不含常數(shù)項的二次函數(shù))2 .和的有關性質等差數(shù)列an,公差為d,前n項和為Sn,那么：(1) S 也成等差數(shù)列，其首項與an首項相同，公差是an公差的-n2(2)等差數(shù)列bn,前n項和為Tn,則有包 SU , ( S2n 1 蜘1)an ) . bn T2n 1(3)數(shù)列& , 82k Sk ,S3k 32k ,L是等差數(shù)列，公差為 k2d . (4) 8f表示奇數(shù)項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，則有：當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶S奇nd ,昆-aS 禺

8、 an 1Sn當項數(shù)為奇數(shù)2n 1時，S奇 S禺an, .S偶n 13.和與函數(shù)的關系及和的最值d 2d2Sn 2n （ai萬）n簡寫為Sn An Bn （n N ）,可以把（n,&）看作是二次函數(shù)圖像上孤立的點，因此可以用二次函數(shù)的性質來研究和的性質，比如對稱和求最值.Sn最大值最小值最值條件a1 0,d 0a1 0, d 0通項法an 0 且 an 10在n處&取最大值an 0 且 an 10在n處Sn取最小值二次函數(shù)法Sn ,Si=a i>0"4:' d < 0仆SnJi 1:d > 0B/O； Jr!對稱軸是整彳值，對稱軸彳軸最近bn

9、4=-2Ai11:*數(shù)，在對稱軸取最大;是整數(shù)，在距離對稱的整數(shù)取最大值O對稱軸是整 值，對稱軸彳 軸最近TS1=a1<0數(shù)，彳 ;是整 二的整彳7n軍對稱軸取最小數(shù)，在距離對稱數(shù)取最小值四、等比數(shù)列1 .等比數(shù)列的定義那么這個數(shù)列就叫作如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù),等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示（q 0）.遞推式表示為羋qan9 | 10或-a q (n 2).an 1例如：數(shù)列4滿足an i 24 ,則數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列.則此數(shù)列一特別注意：等比數(shù)列中任何一項都不為 0,公比q 0,若一個數(shù)列是常數(shù)列,定是等差數(shù)列，除

10、了 0,0,0,L這樣的常數(shù)列之外，其余的也都是等比數(shù)列.注：ai 0, q 1時，%是遞增的等比數(shù)列；ai 0,0 q 1時，an是遞減的等比數(shù)列；ai 0,0 q 1時，an是遞增的等比數(shù)列；ai 0, q 1時，4是遞減的等比數(shù)列；q 1時，an是非零常數(shù)列；q 0時，4是擺動數(shù)列.2 .等比中項若三個數(shù)a, G, b成等比數(shù)列，則 G叫作a與b的等比中項.此時 G2 ab , G Tab .例如：2和8的等比中項為 4.注：一個等比數(shù)列，從第 2項起，每一項都是它的前后兩項的等比中項，即a21 anan 2每一項都是前后距離相同兩項的等比中項，即a2 an man m .當三個數(shù)成等比

11、數(shù)列時，常設這三個數(shù)為：a , a , aq ,當四個數(shù)成等比數(shù)列時，常設這q四個數(shù)為斗，a, aq , aq3.q q3 .等比數(shù)列的通項公式 n 1等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則an aq .4 .等比數(shù)列的性質(1)等比數(shù)列an的第m項為am ,則an amqn m. 7-62例如：a8 aqa?q a3q a"L .，一、 It-IIt-4I2A(2)右m n p q ,貝Uamanapaq ,右 mn 2p,貝Uamanap. 2例如：a1a9a2a8a3a7a4a6a5,a1ana2an1a3an2 L .(3)下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak ,ak m,ak

12、2m,L組成公比為qm的等比數(shù)列.例如： , a3 , a5 ,a7 ,L ,a2n 1 ,L組成公比為q2的等比數(shù)列；5 ,a5 ,期，歌，a20 ,L ,a5n ,L 組成公比為 q的等比數(shù)列.(4) an是公比為q的等比數(shù)列，則kan也是等比數(shù)列，公比為 q.(5) an,bn都是等比數(shù)列，則kan, | % | ,a2, ,anbn,亙也是等比數(shù)anbn列.5 .判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法 a-“(1)定義法：q q (常數(shù)). an2,、2(2)等比中項法：an 1=anan+2或 an=an-ian+1 (3)通項公式法：an=a1qn1 (公比為q).(4)前 n項和公式法：S

13、n Aqn A(A 0,q 0).五、等比數(shù)列的前n項和1 .等比數(shù)列前n項和公式n3 (q 1)Sn 3(1 qn) A anq1(q 1)1 q 1 q注意：應用求和公式時，要先看q是否等于1,必要時需討論.2 .和的有關性質等比數(shù)列an,公比為q,前n項和為Sn,那么:(1)數(shù)列 Sk,S2kSk,S3kS2k ,Lk是等比數(shù)列，公比為 q . (2)SmnSmqmSnSn qS .(3)s奇表示奇數(shù)項的和， S禺表示偶數(shù)項的和，則有:當項數(shù)為偶數(shù)2n時，q;S當項數(shù)為奇數(shù)2n 1時,六、求數(shù)列通項公式專題1 .公式法等差數(shù)列通項公式：an闞(n 1)d, an am (n m)d .等

14、比數(shù)列通項公式：an a1qn1 , an amqn m .2 .已知Sn與%的關系求通項八一、Sl(n 1)已知Sn求an公式：an.nSn Sn 1 (n 2)3 .累加法適用形式：an 1 an f(n).變?yōu)閍n 1 % f (n),下標依次遞減1寫出等式，直至寫到a2 a1f(1),最后把n 1個等式相加即可得到結果.4 .累乘法適用形式：an 1 anf(n).變?yōu)閍 f(n),下標依次遞減1寫出等式，直至寫到三 f(1), ana1最后把n 1個等式相乘即可得到結果.5 .構造法(1)形如an 1 qan p ,用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列.即令 an 1 x q(an x),則an

15、 1 qan (q 1)x ,與an 1 qan p對比可知x p-,故數(shù)列an 是公比為q的 q 1q 1等比數(shù)列.形如an1 qan f (n),用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，令4 i A(n 1) B qa An B),利用系數(shù)相等求出 A和B.(2)形如an 1 pan qpn 1 ,采用兩邊同除法構造等差數(shù)列.兩邊同除以pn 1得到萼 之q,故數(shù)列是公差為q的等差數(shù)列.p pp(3)形如an1pan ,采用兩邊取倒數(shù)法構造等差數(shù)列.兩邊取倒數(shù)得 qa一p ,qan pan 1 pan即工工 q,故工是公差為q的等差數(shù)列.an 1 an p anp(4)含有an, an 1的二次三項式，通

16、過因式分解轉化為常見數(shù)列求解.(5)形如an 2 pan 1 qan ,用待定系數(shù)法轉化為 an 2an 1 (p)(an 1 an),化簡對比求出，則an1an是公比為p的等比數(shù)列，再根據(jù)情況求出an.數(shù)列(6)形如an i pa：,采用兩邊取對數(shù)法，變形為lgan i r lg an 1g p ,再用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列.(7)換元法：適用于含有根式的遞推關系式，把根式整體代換為一個簡單數(shù)列來表示.6.數(shù)學歸納法根據(jù)數(shù)列前幾項的值猜想數(shù)列的通項公式，首先帶入第一項驗證成立， 然后假設第k項成立，最后證明第k1項也成立，便可證明猜想的公式就是數(shù)列的通項公式.七、數(shù)列求和專題1.公式法等差數(shù)

17、列求和公式：S：第3詛3k 22nai (q 1) 等比數(shù)列求和公式：Sna1(1 qn) a1 anq -1 q 1 q (q 1)常用求和公式：1 1 2 3 L n n(n 1) 212 2232Ln21n(n1)(2n1)613 2333Ln31n(n1)222 .分組求和法如果一個數(shù)列的通項可以寫成 cn an bn的形式，而數(shù)列an , bn是等差或等比數(shù)列或 可轉化為能夠求和的數(shù)列，可采用分組求和法.3 .錯位相減法an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an bn的前n項和時，采用錯位相減法求解， 在等式的兩邊同乘以bn的公比，然后錯位一項與 an bn的同次項對應相減，轉化為特

18、殊 數(shù)列求和問題.需注意bn共比為參數(shù)字母時， 要對公比是否為1做討論.它是等比數(shù)列前 n項和公式的推導方法.10 | 10數(shù)列4.裂項相消法將數(shù)列每一項拆成兩項或若干項,使得相加后有一些項可以相互抵消，從而求得其和.般未被消去的項有前后對稱的特點.常見裂項方法:n(n 1) n1 1k(n1n-k)(2n 1)(2n 1) 2(2n 1/)-n(n 1)(n2)1( . n k .n % n k kn)小1 lOga(1 -) nloga(n 1) loga n注：(1)裂項常見公式沒有必要死記硬背，例如對n(n 5)裂項，可直接把分式從中間截，一、，1 斷，變?yōu)?n5 .、一一n n 5 n(n 5)1 11 、一 ( ) 5 n n 55一，與原式比較分母變?yōu)?5倍，則把裂項，前面乘以1就變?yōu)榕c原式相等的裂項，即 一1一n 55n(n 5)(2)分母為根式相加形式的裂項，本質就是對分母有理化，即1 . -而而不 (如 k Jn)(Jn k Jn) /向 加.(3)對數(shù)形式的裂項