第四節(jié)、一階線性微分方程ppt課件

1、一階線性微分方程一階線性微分方程(一一)、一階齊次線性方程、一階齊次線性方程(二二)、一階非齊次線性方程、一階非齊次線性方程)()(xQyxPdxdy 標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式: :齊次齊次一階線性微分方程一階線性微分方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 322 xyyy, 1cos yy線性的線性的; ;非線性的非線性的.非齊次非齊次0)( yxPdxdy. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(|lnCdxxPy 4.4.齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1.1.一階線性齊次方程一階線性齊次方程(一一).一階線性齊次微

2、分方程的解法一階線性齊次微分方程的解法2.2.分離變量分離變量3.兩邊積分得兩邊積分得 例1解解 02 的通解。的通解。求求xyy ) ,()( 2)(，Cxpxxp故該一階齊線性方程的通解為故該一階齊線性方程的通解為 2d)2(d)(。xxxxxpCeCeCey 例2解解 2 0sin 2。，求解初值問(wèn)題：求解初值問(wèn)題：xyxyy先求此一階齊線性方程的通解：先求此一階齊線性方程的通解： ) ,(sin)(，Cxxp cosdsin。xxxCeCey 2 2代代入入通通解解中中，得得將將xy) 2 (2cosCe因因?yàn)闉?2，C故該初值問(wèn)題的解為故該初值問(wèn)題的解為 2cos。xey (二二)、

3、一階非齊線性方程的解、一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：比較兩個(gè)方程： )()(。xqyxpy 0)(，yxpy我想：它們的解的形式應(yīng)該差不多。但差了一點(diǎn)我想：它們的解的形式應(yīng)該差不多。但差了一點(diǎn) 什么東西呢？什么東西呢？xxpCeyd)(xxpexCyd)()()()(xqyxpy )( )( d)(可可微微，則則，且且待待定定函函數(shù)數(shù)令令xCexCyxxp )()()()(d)(d)(d)(，xxpxxpxxpexCxpexCexCy怎么辦？怎么辦？ 得得的表達(dá)式代入方程中，的表達(dá)式代入方程中，及及將將yy )()()()()()(d)(d)(d)(，xqxpexCexCxpexCxxpx

4、xpxxp 故故 )()(d)(，xqexCxxp即即 )()(d)(， xxpexqxC上式兩邊積分，求出待定函數(shù)CxexqxCxxpd)()(d)( ) (。為任意常數(shù)C )( d)(方程的通解為中，得一階非齊線性代入xxpexCy ) d)( (d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp 以上的推導(dǎo)過(guò)程稱為以上的推導(dǎo)過(guò)程稱為“常數(shù)變易法常數(shù)變易法”。這種方。這種方法經(jīng)常用來(lái)由齊次問(wèn)題推出相應(yīng)的非齊次問(wèn)題、由法經(jīng)常用來(lái)由齊次問(wèn)題推出相應(yīng)的非齊次問(wèn)題、由線性問(wèn)題推出相應(yīng)的非線性問(wèn)題。線性問(wèn)題推出相應(yīng)的非線性問(wèn)題。0)(yxpyxxpCeyd)() d)( (d)(d)(Cxexqeyxxpxx

5、p)()(xqyxpydxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 方法一：常數(shù)變易法方法一：常數(shù)變易法例例1.)1(12dd25的的通通解解求求方方程程 xxyxy解解, 012dd yxxy,1d2d xxyy，Cxyln)1ln(2ln 常數(shù)變易常數(shù)變易(1).)1(2 xCy先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解.,uC 換成換成把把,)1(2 xuy即即令令),1(2)1(dd2 xuxuxy那么那么.)1(,21 xu得得代代入入所所給給非非齊齊次次方方程程.)1(32,21Cxu 得得兩兩端端積積

6、分分再把上式代入再把上式代入(1)式式, 即得所求方程的通解為即得所求方程的通解為.)1(32)1(232Cxxy 方法二：公式法方法二：公式法)()()(CdxexQeydxxPdxxP 12)( xxP25)1()( xxQ)1(122512Cdxexedxxdxx )1()1(225)1ln(2Cdxxxex )1(32)1(232cxx .)1(12dd25的的通通解解求求方方程程 xxyxy 例2解解 cos2 2的的通通解解。求求方方程程xexyyx cos)( 2)( 2，因?yàn)橐驗(yàn)閤exqxxpx所以，方程的通解為所以，方程的通解為) dcos (d)2(d)2(2Cxxeeey

7、xxxxx) Cd cos (222xexeexxx) Cdcos (2xxex ) sin (2。Cxex.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ .cos1Cxx 解解例例3 3 Cxexxeyxxxxdsind1d1 Cxexxexxdsinlnln Cxxxdsin1 例4解解 dd 3的通解。的通解。求方程求方程yxyxy不是線性方程不是線性方程原方程可以改寫為原方程可以改寫為 1dd2，yxyyx這是一個(gè)以這是一個(gè)以 y 為自變量的一階非齊線性方程，其中為自變量的一階非齊線性方程，其中 )( 1)(2，yyqyyp故原方程的通解為故原方程的

8、通解為) d (d)1(2d)1(Cyeyexyyyy 213。Cyy 例例4:yyxy2sincos1視視 x x 為為 y y 函數(shù)函數(shù), ,可化成線性方程可化成線性方程yxydydx2sincos通解為通解為: :2sincoscosCdyeyexydyydy)sin1 (2sinycey例例5 5.)()0()(3xfPQxxyxfyy積積，求求曲曲線線值值上上等等于于陰陰影影部部分分的的面面之之長(zhǎng)長(zhǎng)數(shù)數(shù)截截下下的的線線段段與與軸軸的的動(dòng)動(dòng)直直線線被被曲曲線線如如圖圖所所示示，平平行行于于 ,)(d)(230yxxxfx xyxxy03,d兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分

9、方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy xexCeyxxd3d2d, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx例例6).(.),(sin,tiLREtEEmm求求電電流流都都是是常常量量和和電電感感電電阻阻都都是是常常數(shù)數(shù)、其其中中電電源源電電動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)為為有有一一個(gè)個(gè)電電路路如如圖圖所所示示 。RELK解解列方程列方程) i (由回路電壓定律得出由回路電壓定律得出,當(dāng)電流變化時(shí)當(dāng)電流變化時(shí).ddtiLL 上上有有感感應(yīng)應(yīng)電電動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì), 0 iRdtdiLE.ddLEiLRti 即即.sinddtLEiLRtim (2).2(

10、)(應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程未未知知函函數(shù)數(shù)ti. 00 ti(3), 0 tK閉閉合合的的時(shí)時(shí)刻刻為為設(shè)設(shè)開開關(guān)關(guān)得得代入上式代入上式把把,sin tEEm 還應(yīng)滿足初始條件還應(yīng)滿足初始條件這時(shí)這時(shí))(ti解解方方程程)ii(方程方程(2)是一個(gè)非齊次線性方程是一個(gè)非齊次線性方程.得得代入通解公式代入通解公式,).dsin()( CtteLEetitLRmtLR 應(yīng)用分部積分法應(yīng)用分部積分法, 得得),cossin(dsin2222tLtRLLRettetLRtLR 可以先求出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解可以先求出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解, 然后用常然后用常數(shù)變易法求非齊次方程的通解數(shù)變易法求非齊次方程的通

11、解 . 也可以直接應(yīng)用通解公式來(lái)求解也可以直接應(yīng)用通解公式來(lái)求解.,sin)(,)(tLEtQLRtPm 這這里里將上式代入前式并化簡(jiǎn)將上式代入前式并化簡(jiǎn), 得方程得方程(2)的通解的通解,)cossin()(222tLRmCetLtRLREti .為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中C,222LRLECm 得得將將初初始始條條件件代代入入上上式式為為所求函數(shù)所求函數(shù)因此因此)(,ti).cossin()(222222tLtRLREeLRLEtimtLRm 映的物理現(xiàn)象，映的物理現(xiàn)象，為了便于說(shuō)明上式所反為了便于說(shuō)明上式所反,sin,cos222222LRLLRR 令令于是上式可以寫成于是上式可以寫成

12、),sin()(222222 tLREeLRLEtimtLRm.arctanRL 其中其中.)(變變中中第第二二項(xiàng)項(xiàng)的的形形式式稍稍加加改改下下面面把把ti),sin()(222222 tLREeLRLEtimtLRm;)(,衰減而趨于零衰減而趨于零逐漸逐漸叫做暫態(tài)電流叫做暫態(tài)電流上式右端第一項(xiàng)上式右端第一項(xiàng)增大時(shí)增大時(shí)當(dāng)當(dāng)t.,)( 后后電動(dòng)勢(shì)相同、而相同落電動(dòng)勢(shì)相同、而相同落它的周期和它的周期和是正弦函數(shù)是正弦函數(shù)叫做穩(wěn)態(tài)電流叫做穩(wěn)態(tài)電流第二項(xiàng)第二項(xiàng).),(,0與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系在物體上升過(guò)程中速度在物體上升過(guò)程中速度試求試求比例系數(shù)為比例系數(shù)為空氣阻力與速度成正比空氣阻力與速度成正比為為假設(shè)初始速度假設(shè)初始速度的物體垂直上拋的物體垂直上拋將質(zhì)量為將質(zhì)量為kvm,kv空空氣氣阻阻力力為為根